Математика и информатика. Материалы Международной конференции (Москва, 14 - 18 марта 2016 г.)

Оптимальные коэффициенты, псевдослучайный поиск и сложные эконометрические модели111

ного вида: ∏ =1[ ; ], тогда, используя параллелепипедальную сетку

( = 0, . . . , − 1),

по которой можно вести псвдослучайный поиск приближенного решения.

В работе [1] построен общий алгоритм вычисления оптимальных коэффициентов для любого модуля такой, что для обобщенной логарифмической меры качества , ( 1, . . . , ) выполнено неравенство

Теорема 1. Для , — среднего арифметического обобщенной логарифмической меры качества с константой наборов коэффициентов по модулю справедливо равенство

Далее дается определение допустимой последовательности простых и специального модуля, для которых на основе общего алгоритма для = 1 2 . . . , где 1, 2, . . . , — допустимая последовательность простых чисел, строится алгоритм вычисления за ( ) арифметических операций значений 1, . . . , из приведенной системы вычетов по модулю таких, что выполнено неравенство

(1).

Пусть — фиксированное нечетное простое число большее 3, например, любое нечетное простое число большее 3 и непревосходящее 100. Будем говорить, что монотонно возрастающая последовательность 1, 2, . . . , — допустимая

112 Добровольская Л. П., Бочарова О. Е., Серегина Н. К. (г. Тула)

последовательность простых чисел длины для простого , если для этой последовательности простых чисел выполнены условия

Из постулата Бертрана легко следует, что для любого простого нечетного > 3

существует допустимая последовательность простых чисел произвольной длины

.

Непосредственными вычислениями, используя таблицу простых, нетрудно проверить, что для простого = 5 допустимой последовательностью простых длиной 6 будет последовательность 5, 7, 11, 17, 53, 307, которая определяет мо-

дуль = 106493695.

Для заданного фиксированного простого , вообще говоря, существует несколько допустимых последовательностей простых чисел 1, 2, . . . , первого типа длины . Среди них можно выделить одну минимальную допустимую последовательность ′1, ′2, . . . , ′ и одну максимальную ′′1, ′′2, . . . , ′′ , которые обладают свойством

′ < < ′′ (3 ≤ ≤ )

для любой допустимой последовательности 1, 2, . . . , с одним и тем же . Тем самым определяется минимальный модуль ′, = ′1 · ′2 ·. . .· ′ и максимальный

′′, = ′′1 · ′′2 · . . . · ′′ .

Например, для = 5 минимальной допустимой последовательностью длины

6 будет последовательность 5, 11, 43, 919, а максимальной — 5, 7, 11, 19, 67, 751. Соответственно, 5′,6 = 5·7·11·13·23·89 = 10245235 и 5′′,6 = 5·7·11·19·67·751 = 368068855.

Будем предполагать, что заранее перед выполнением алгоритма затабулиро-

что имеется массив всех делителей числа = 1 · . . . · , в котором 2 различных элементов, а также массивы значений функции Мёбиуса и функции Эйлера

Оптимальные коэффициенты, псевдослучайный поиск и сложные эконометрические модели113

для каждого из этих делителей. Вычисление этих массивов потребует не более

√

( ) элементарных арифметических операций, а для хранения — не более

√

( ) байтов объема оперативной памяти.

Теорема 2. Пусть *( ) — количество элементарных операций необходимых для вычисления величин 1, . . . , оптимальных коэффициентов по спе-

где — максимальное количество элементарных операций для вычисления и

Вработе [2] дан модифицированный алгоритм с использованием количественной меры качества оптимальных коэффициентов и его обоснование. Его преимущество связано с тем, что используются более простые для вычисления функции. При этом для специальной последовательности модулей, описанной выше, сохраняется трудоемкость вычисления набора оптимальных коэффициентов за ( ) операций, но временные характеристики оказываются лучше.

Взаключении отметим, что как указывал Н.М.Коробов трудоемкость вычисления оптимальных коэффициентов за ( ) элементарных операций сравнима

струдоемкостью вычисления по квадратурной формуле, а поэтому может считаться приемлемой. Далее заметим, что трудоемкость за (ln ) при больших

на практике может оказаться лучше чем ( ) только при очень больших

значения > 0( ), которые не доступны для реальной реализации.

Список литературы

1.Бочарова Л.П. Алгоритмы поиска оптимальных коэффициентов. //Чебышевский сборник, 2007, Т. 8, вып. 1(21), С. 4 – 109.

2.Серегина Н.К. Алгоритмы численного интегрирования с правилом остановки. //Известия ТулГУ, Естественные науки, 2013, Вып. 3, С. 193 – 201.

Значение минимального многочлена

остаточной дроби в точке − −2

−1

Добровольский Н. М., Добровольский Н. Н.,

Реброва И. Ю. (г. Тула)

dobrovol@tspu.tula.ru

nikolai.dobrovolsky@gmail.com

i_rebrova@mail.ru

Работа выполнена по грантам РФФИ: № 15-01-01540a, № 15-41-03262 р_центр_а,

№ 15-41-03263р_центр_а

Как хорошо известно, для любого вещественного иррационального1 имеет место единственное разложение в бесконечную непрерывную дробь

где неполные частные и остаточные дроби однозначно определяются из

условий

1

= [ ], ≥ 0; = −1 − −1 , ≥ 1.

Как обычно, через и будем обозначать числитель и знаменатель -ой

подходящей дроби к числу .

Определение 1. Пусть

1На протяжении всей работы через обозначается только вещественное иррациональное число.

— произвольный целочисленный неприводимый многочлен2, у которого все корни ( ) ( = 1, 2, . . . , ) — различные вещественные числа, удовлетворяющие условию

тогда алгебраическое число = (1) называется приведённой алгебраической иррациональностью степени .

Определение 2. Пусть

— произвольный целочисленный неприводимый многочлен, у которого корни

( ) ( = 1, 2, . . . , ) удовлетворяют условию

тогда алгебраическое число = (1) называется обобщенным числом Пизо степени .

Теорема 1. Для произвольной вещественной алгебраической иррациональности степени все её остаточные дроби также являются вещественными алгебраическими иррациональностями степени , удовлетворяющими неприводимым многочленам

2В частности, неприводимость многочлена означает, что ( 0, . . . , ) = 1.

116 Добровольский Н. М., Добровольский Н. Н., Реброва И. Ю. (г. Тула)

Справедливы равенства

Определение 3. Обобщенное число Пизо = (1) называется приведённым обобщенным числом Пизо, если выполнены дополнительные условия: для натурального числа 0 = [ (1)] справедливы неравенства

| ( ) − 0| > 1, (2 ≤ ≤ ).

Обозначим через P [ ] множество всех целочисленных многочленов

( ) Z[ ] степени не выше , а через P*[ ] — степени . Таким образом, если

( ) P*[ ], то

Обозначим через *2 группу унимодулярных целочисленных матриц с определителем ±1.

Определение 4. Для произвольной унимодулярной матрицы *2

дробно-линейным преобразованием многочленов ( ) P [ ] назовем преобразование, заданное формулой

Теорема 2. Если — приведённое обобщённое число Пизо, то минималь-

ный многочлен ( ) для остаточной дроби имеет вид

Теорема 3. Пусть — вещественная иррациональность степени > 2 и

0( ) = + . . . + 1 + 0 P*[ ]

— минимальный многочлен, тогда при > 0 для любой подходящей дроби

к приведённому обобщённому числу Пизо и остаточной дроби спра-

ведливы соотношения

Теорема 4. Пусть = 0 — вещественный корень неприводимого целочисленного многочлена

0( ) = + −1 −1 + . . . + 1 + 0 Z[ ], > 0.

Если — приведённое обобщённое число Пизо, то для минимального многочлена ( ) для остаточной дроби справедливо равенство

Доказательство. Согласно теореме 2 минимальный многочлен ( ) для остаточной дроби имеет вид

118 Добровольский Н. М., Добровольский Н. Н., Реброва И. Ю. (г. Тула)

Отсюда следует, что

Список литературы

1.Добровольский Н.М., Добровольский Н.Н. О минимальных многочленах остаточных дробей для алгебраических иррациональностей // Чебышевский сб. 2015. Т. 16, вып. 3. С. 147–182.

2.Добровольский Н.М., Добровольский Н.Н., Балаба И.Н., Реброва И.Ю., Полякова Н.С. Дробно-линейные преобразования многочленов и линейные преобразования форм // Материалы XIII Международной конференции Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения, Дополнительный том. Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого. 2015. С. 134–149.

3.Добровольский Н.М., Юшина Е.И. О приведенных алгебраических иррациональностях // Алгебра и приложения: труды Международной конференции по алгебре, посвященной 100-летию со дня рождения Л. А. Калужнина, Нальчик, 6–11 сентября 2014 г. – Нальчик: из-во КБГУ. С. 44 – 46.

Оценки многочленов от некоторых-адических и -адических чисел

Крупицын Е. С. (Москва, МПГУ) krupitsin@gmail.com

Для каждого простого числа определено -адическое нормирование поля рациональных чисел: для любого Q, =

0, = 0.

Определённая равенствами (1) величина обладает всеми свойствами нормы. Помимо свойства | + | 6 | | + | | выполняется более сильное неравенство

| + | 6 max(| | , | | ),

и если | | ̸= | | , то

| + | = max(| | , | | ).

Пополнение Q по норме | | называется полем -адических чисел. Пусть целое число и > 2, определим -адическую псевдо-норму.

Лемма (Малер [1]). Пусть , и – целые числа, такие что

Тогда существует единственное целое число и пара целых чисел , , таких что

Определение. При условиях предыдущей леммы, и если = , при ̸= 0, положим

Так определённая функция | | называется -адической псевдо-нормой . Рассмотрим некоторые арифметические свойства элементов поля Q . Пусть – фиксированное простое число, ( ), ( ) – натуральнозначные

функции такие, что 1 6 ( ) < , ( ) возрастающая и lim ( + 1) = ∞.

→∞

∞

Обозначим = ∑ ( ) ( ). Тогда выполнена следующая теорема.

=0

Теорема 1. Для любого натурального числа найдется постоянная 0( )

такая, что для каждого многочлена ( ) Z[ ] степени и высоты >

0( ) выполняется неравенство

=1

Тогда для любого натурального числа и любого > 0 существует постоянная 0 = 0( , ) такая, что для любого многочлена ( ) Z[ ] степени и

высоты > 0 выполняется неравенство

Рассмотрим некоторые арифметические свойства элементов кольца Q (кольцо Q является прямой суммой -адических полей, см. [1]).

Любое -адическое число определяется своими компонентами. Пусть –

некоторое -адическое число, имеющее компоненты 1, 2, . . . , . Тогда имеют место следующие утверждения.

Теорема 3. -адическое число будет алгебраическим тогда и только тогда, когда его компоненты – алгебраические числа, т.е. 1, 2, . . . , – алгебраические числа из Q 1 , . . . , Q , соответственно.