Математика и информатика. Материалы Международной конференции (Москва, 14 - 18 марта 2016 г.)

компьютерной алгебры Maple. Библиотека была использована для описания резонансных множеств, возникающих при описании множества устойчивости положений равновесия систем Гамильтона некоторых задач теоретической и небесной механики.

Список литературы

1.Батхин А.Б. Выделение областей устойчивости нелинейной системы Гамильтона. //Автомат. и телемех. 2013. № 8. С. 47 – 64.

2.Батхин А.Б. Параметризация дискриминантного множества вещественного многочлена. //Препринты ИПМ им. М.В.Келдыша. 2015. № 76. 36 с. URL: http://library.keldysh.ru/preprints.asp?id=2015-76

22Безверхний В. Н., Логачева Е. С. (Тула, ТГПУ им. Л.Н. Толстого)

Остепенной сопряженности слов в древесном произведении свободных групп с циклическим объединением

Безверхний В. Н., Логачева Е. С. (Тула, ТГПУ им. Л.Н. Толстого)

Logacheva-es@mail.ru

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 15-41-03222 р_центр_а.

Работа посвящена решению проблемы степенной сопряженности слов в древесном произведении свободных групп с циклическим объединением. Данная проблема является обобщением проблемы сопряженности слов, решенных в работах [1,2].

Определение 1. В группе разрешима проблема сопряженности слов, если существует алгоритм, позволяющий установить для любых двух слов 1, 2 из

, существует ли элемент такой, что −1 1 = 2.

Определение 2. В группе разрешима проблема степенной сопряженности слов, если существует алгоритм, позволяющий установить для любых двух слов1, 2 , существуют ли , и элемент такие, что −1 1 = 2 .

Известно [3], что в свободных группах разрешима проблема степенной сопряженности слов.

Пусть и – свободные группы рангов , < ∞, , , и ,

не являются степенями в соответствующих группах, тогда = * есть свободное произведение с объединением = = .

С. Липшуцем была доказана следующая теорема:

Теорема 1. [4] В группе разрешима проблема степенной сопряженности слов.

Определим древесное произведение конечно порожденных свободных групп с циклическим объединением. В соответствии со статьей [5] древесное произведение конечного семейства свободных групп с циклическими объединениями определяется следующим образом. Пусть Γ – конечное дерево, вершины которого обозначены числами из множества {1, 2, ..., }, и пусть каждой вершине сопоставлена свободная группа конечного ранга . Предположим, что для каждой пары и смежных вершин графа Γ в группах и фиксирова-

ны неединичные циклические подгруппы, порождаемые элементами и

соответственно, причем и не являются истинными степенями в соответствующей группе. Древесным произведением 1 , 2 , ... , с объединенными подгруппами и называется фактор-группа Γ свободного произведения групп 1 , 2 , ... , по нормальному замыканию множества, состоящего

∏

=1

Теорема 2. [1,2] В группе Γ разрешима проблема сопряженности слов.

Теорема 3. В группе Γ разрешима проблема степенной сопряженности слов.

Доказательство теоремы 3 проводится индукцией по числу сомножителей в древесном произведении Γ . Базой индукции служит теорема 1. Преобразуем группу Γ следующим образом: выделим в дереве Γ некоторую вершину . Без потери общности можно считать, что вершина является концевой и что смежной с ней является вершина ( − 1). Обозначим через Γ −1 подграф графа

Γ с вершинами {1, 2, ..., − 1} и через Γ −1 соответствующее древесное произведение групп 1 , 2 , ... , −1 с теми же объединенными подгруппами. В соответствии с [5] группа Γ является свободным произведением

Γ = Γ −1 *

групп Γ −1 и с объединенной подгруппой = −−11,, = , , −−11 , где

−−11,, < −1 , , , −−11 < .

Предполагаем, что проблема степенной сопряженности разрешима для группы Γ −1 и доказываем для Γ .

Важное значение в доказательстве теоремы 3 имеют следующие леммы.

Лемма 1. [1] Для группы Γ существуют алгоритмы решения следующих проблем:

I) для любой конечно порожденной подгруппы < Γ и любой циклической подгруппы < , 1, , найти образующие ∩ ;

II) для любого слова Γ и конечно порожденной подгруппы < Γ выяснить, пусто или не пусто пересечение с любой циклической подгруппой< , 1, , то есть ∩ .

Лемма 2. Пусть Γ = Γ −1 * . Если −1 = , то = , где

, , Γ −1 .

Лемма 3. Пусть 1 , 2 , где , – объединяемые подгруппы группы Γ . Существует алгоритм, позволяющий эффективно определить, сопряжены ли 1 и 2 или нет.

Из доказательства теоремы 3 непосредственно следуют:

Следствие 2. Пусть , – циклически несократимые элементы группы

Γ , такие что ‖ ‖ = ‖ ‖. Тогда из степенной сопряженности и следует их сопряженность в группе Γ .

Следствие 3. Пусть , – циклически несократимые элементы группы

Γ , такие что ‖ ‖ ̸= ‖ ‖. Тогда из степенной сопряженности и следует сопряженность слов ‖ ‖ и ‖ ‖ в группе Γ .

Следствие 4. Степени двух любых слов и не равной длины сопряжены в Γ тогда и только тогда, когда сопряжены ‖ ‖ и ‖ ‖.

Список литературы

1.Безверхний В.Н., Логачева Е.С. Проблема сопряженности слов в древесном произведении свободных групп с циклическим объединением // Чебышевский сборник. – 2014. – Т.13. – Вып. 1. – С. 20-45.

2.Логачева Е.С. Теорема Магнуса для древесного произведения свободных групп с циклическим объединением // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, тез. Международной конференции, – Тула: ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 2015. – С. 84-87.

3.Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. – М.: Мир, 1980. – 450 с.

4.Lipschutz S. On powers in generalized free products of groups// Arch. Math. Soc. 1968. Vol 19. P. 575–576.

5.Karras A., Solitar D. The subgroups of a free product of two groups with an amalgamated subgroup // Trans. Amer. Math. Soc. 1970. V. 150. P. 227–255.

Абелевы группы без кручения, графы и алгоритмы

Благовещенская Е.А., Денис Д.В., Кунец Д.

Разложение аддитивных структур в прямую сумму неразложимых объектов

– традиционный инструмент алгебраических исследований. Неоднозначность прямых разложений абелевых групп без кручения, определяемых как аддитивные подгруппы элементов линейного пространства над полем рациональных чисел Q, делает актуальной задачу описания различных прямых разложений одной и той же группы. Простотой определения этих групп обусловлена их естественная связь с прикладными исследованиями, а сложность строения создаёт препятствия в связанных с ними вычислениях. Этим обстоятельством объясняется актуальность задачи построения группы с заранее определёнными параметрами двух и более её различных прямых разложений.

Рассматривается класс групп без кручения конечного ранга специального вида, а именно, класс блочно-жестких почти вполне разложимых групп кольцевого типа с циклическим регуляторным фактором. Это означает, что группа

содержит вполне разложимую вполне характеристическую подгруппу

c попарно несравнимыми или совпадающими типами прямых слагаемых ранга

1, изоморфных подкольцам кольца Q, так называемый "регулятор" , факторгруппа по которому / является конечной циклической группой. Изучение прямых разложений групп этого класса проливает свет на структурные особенности их колец эндоморфизмов [1], так как класс с точностью до почти изоморфизма удовлетворяет теореме Бэра-Капланского:

если их кольца эндоморфизмов изоморфны.

Предложенный графический (комбинаторный) метод [3,4], позволил описать с точностью до почти изоморфизма прямые разложения групп из класса

на языке графов, полученных с помощью некоторых допустимых преобразований исходного, "главного" графа, соотнесенного с так называемым "главным" разложением группы. Эти разрешенные преобразования графа, связанные с переходом к новой системе образующих элементов группы регулятора , приводят к другим совокупностям компонент связности. В основе данного алгоритмического подхода лежит соответствие между неразложимыми прямыми слагаемыми группы и компонентами связности графа, отвечающего данному прямому разложению, причём число вершин каждой компоненты совпадает с рангом неразложимого слагаемого, а число вершин графа в целом соответствует рангу самой группы. Принципиально важным для решения прикладных задач является то, что эти появившиеся в теории прямых разложений графы имеют ярусно-параллельную форму, свойственную графам алгоритмов параллельных вычислений: вершины, составляющие отдельно взятый ярус, символизируют одну из однородных компонент регулятора блочно-жесткой группы , а дуги соединяют вершины из разных ярусов и отражают строение фактор-группы по регулятору / .

Пусть = 1 + 2 + . . . + = 1 + 2 + . . . + , 1 < , < ,— два разбиения натурального числа в суммы натуральных слагаемых. Известно [5], что для того, чтобы существовала абелева группа без кручения ранга из этого класса, допускающая как разложение в прямую сумму неразложимых слагаемых рангов 1, 2, . . . , , так и разложение в прямую сумму неразложимых слагаемых рангов 1, 2, . . . , , необходимо и достаточно, чтобы ≤ − + 1 для всех

≤ и ≤ − + 1 для всех ≤ (решение проблемы 68 для класса из монографии [5]).

В работе предложен алгоритм построения группы из этого класса, обладающей многочисленными (а не только двумя) прямыми разложениями с заданными наборами рангов неразложимых слагаемых. В частности, доказана

Теорема. Пусть > ≥ 3 — натуральные числа. Существует группа

ранга , обладающая разложениями в прямую сумму неразложимых групп

рангов 1, 2, . . . , , удовлетворяющими любым заранее заданным различным разбиениям = 1 + 2 + . . . + , 1 ≥ 2 ≥ . . . ≥ , при условии, что наибольшие слагаемые 1 в соответствующих разбиениях числа совпадают и равны .

Замечание. Очевидно, что для любых двух таких разбиений вышеупомянутые неравенства выполняются, при этом число натуральных слагаемых в различных разбиениях может быть любым.

Список литературы

1.Благовещенская Е.А. Почти вполне разложимые абелевы группы и их кольца эндоморфизмов. – Спб.: Издательство Политехнического Университета, 2009.

2.E. Blagoveshchenskaya, G. Ivanov, P. Schultz. The Baer-Kaplansky theorem for almost completely decomposable groups. //Contemporary Mathematics 273, pp. 85 – 93, 2001.

3.Благовещенская Е.А. Графическое истолкование некоторых абелевых групп без кручения конечного ранга, Прикладная Математика. //Труды С. Петербургского Политехнического Университета, 461, 53 – 59, 1996.

4.Благовещенская Е.А., Гусельникова И.В., Зуев Д.В. Связь прямых разложений абелевых групп без кручения с параллельными формами алгоритмов. //Материалы VIII Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ’2010), 345 – 347, 2010.

5.E. Blagoveshchenskaya, A. Mader. Decompositions of almost completely decomposable abelian groups. //Contemporary Mathematics, vol. 171, pp. 21

– 36, 1994.

6.Фукс Л. Бесконечные абелевы группы, тт. 1, 2. – М.: Мир, 1974, 1977.

Об аддитивной структуре и асимптотике алгебры (5)

Гришин А. В. (Москва, МПГУ)

Пусть = 1, 1, . . . , , . . . — свободная счетнопорожденная ассоциатив-

ная алгебра с единицей над полем характеристики ̸= 2, 3, = /Θ — относительно свободная алгебра, где Θ — унитарно замкнутый -идеал. Через

обозначим пространство всех полилинейных многочленов степени от переменных в алгебре , Θ = ∩ Θ. Пусть, далее, ( ) — подалгебра в

, состоящая из собственных многочленов, т. е. линейных комбинаций произведений коммутаторов произвольной длины от порождающих алгебры (для

упрощения элементы из и из обозначаются одинаково) и Ω — множество

упорядоченных одночленов 1 . . . , где 1 < . . . < .

1

Предложение. = Ω ( ) — свободный правый ( )-модуль со свободными порождающими из Ω.

Наша цель — исследование аддитивной структуры алгебры (5) = / (5), где (5) = ([ 1, . . . , ]) — -идеал, порожденный длинным коммутатором

[ 1, . . . , ]. Учитывая, что аддитивная структура алгебры (4) достаточно хорошо известна, исследуется -идеал (4) в алгебре (5). Точнее, полилинейная

часть пространства ( (5)) ∩ (4), а также пространство / (5). Как пока-

зывает предложение, эти два пространства тесно связаны. Исследование аддитивной структуры по существу означает построение канонического базиса. Для пространства / (5) эта задача получила исчерпывающее решение в недавней работе С.В. Пчелинцева. Это весьма нетривиальный и тонкий результат. В настоящей работе используются более простые методы, которые не дают полного описания базиса, но позволяют оценить некоторые размерностные функции. Пусть ( (5)) = dim ( / (5)), рассматриваемая как функция от . Аналогичная функция (M) для разных многообразий достаточно подробно изучалась многими авторами (см., например, [1, 2]) в основном в случае поля нулевой ха-

рактеристики. Центральным результатом настоящей работы, помимо исследования базиса пространства / (5), является

Теорема. Существуют такие положительные числа и , что для всех достаточно больших

2 2 < ( (5)) < 2 2.

В исследовании используются свойства длинных коммутаторов, рассмотренные в [3].

Список литературы

1.Воличенко И.Б. -идеал, порожденный элементом [ 1, 2, 3, 4]. // Препринт, Институт математики АН БССР. Минск. 1978.

2.A. Giambruno, S. Mishchenko, M. Zaicev. Codimensions of Algebras and Growth Functions. Advances of mathematics, 217 (2008), 1027 – 1052.

3.Гришин А.В., Пчелинцев С.В. О центрах относительно свободных ассоциативных алгебр с тождеством лиевой нильпотентности. //Матем. сб., 206:11 (2015), 113 – 130.