Математика и информатика. Материалы Международной конференции (Москва, 14 - 18 марта 2016 г.)

Список литературы

1.Попов А.Ю., Тихонов И.В. Экспоненциальные классы разрешимости в задаче теплопроводности с нелокальным условием среднего по времени. //Матем. сборник, 2005, Том 196, № 9, С. 71 – 102.

2.Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. – М.: Наука, 1964.

3.Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1972.

4.Тихонов А.Н. О влиянии радиоактивного распада на температуру земной коры. //Избранные труды А.Н. Тихонова. – М.: Макс пресс, 2001, C. 187 – 224.

Явные представления специальных решений в задачах математической физики

Тихонов И. В. (Москва, МГУ) ivtikh@mail.ru

Для эволюционного уравнения в банаховом пространстве рассматривается линейная обратная задача с финальным переопределением. Обсуждаются различные методы для нахождения решений. В частности, установлена одна новая формула, основанная на разложении решений в ряды по полиномам Бернулли. Приведены конкретные примеры для уравнения теплопроводности.

Об одной нелокальной задаче для многомерного уравнения простого переноса

Ву Нгуен Шон Тунг (Москва, МПГУ) vnsontung@mail.ru

В настоящем сообщении рассматривается специальная задача для уравнения простого переноса, в которой традиционное начальное условие заменяется нелокальным условием среднего по времени. В компактных обозначениях, типичных

Здесь = ( 1, 2, 3) — точка ограниченной выпуклой области Ω R3 , а = ( 1, 2, 3) — вектор шарового слоя

≡ { R3 : 0 < 0 6 | | 6 1 < ∞ } R3.

Через Γ− обозначаем множество таких ( , ), что Γ ≡ ∂Ω, а вектор направлен внутрь области Ω. Переменная > 0 означает время. Значение > 0

считаем фиксированным. Функция ( , ) является заданной. Требуется восстановить неизвестную функцию = ( , , ). Поставленную задачу (1)–(3) будем называть нелокальной задачей для уравнения простого переноса (1).

Обсудим сначала прямую задачу для уравнения (1) с краевым условием (2) и начальным условием

Для записи решения в задаче (1), (2), (4) введем специальную функцию 0( , ), определенную на множестве Ω × по правилу

0( , ) ≡ sup { R : − Ω } .

Величина 0( , ) выражает время свободного пробега от точки Ω до границы Γ со скоростью (− ). Формальное решение задачи (1), (2), (4) имеет вид

Для того чтобы найти неизвестную функцию ( , ) подставим выражение для ( , , ) из формулы (5) в нелокальное условие (3). Применим к полученному соотношению оператор ( , ). После соответствующих преобразований по-

Исследуя систему (6), находим выражение для ( , ) в виде:

Здесь —потолок числа R, т. е. наименьшее целое число, большее либо равное . При подстановке (7) в (5) получаем разрешающую формулу для нелокальной задачи:

0−1

со значением 0 из формулы (8).

Основной результат состоит в следующем.

Теорема. Если нелокальная задача (1)–(3) разрешима в классах функций классической или обобщенной гладкости, то ее решение определяется формулой (9).

Вопрос о гладкости решения (9) требует отдельного изучения. Найденная формула будет полезна при исследовании аналогичной нелокальной задачи для уравнения полного переноса, содержащего все технические слагаемые. Методы исследования для нелокальной задачи во многом аналогичны тем, что были разработаны ранее для обратных задач (см. [4]).

Список литературы

1.Рид М., Саймон Б. Метод современной математической физики: T. 3. Теория рассения. М., 1982.

2.Kaper H.G., Lekkerkerker G.G., Heitmanek J. Spectral methods in linear transport theory. Basel, 1982.

3.J¨orgens K. An asymptotic expantion in the theory of neutron transport // Comm. Pure Appl. Math. 1958. V. 11, no 2. P. 219–242.

4.Тихонов И.В. Корректность обратной задачи с финальным переопределением для нестационарного уравнения переноса // Вестник МГУ. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. 1995. № 1. С. 56–64.

Поведение локальных минимумов расстояния

Царьков И. Г. (Москва, МГУ)

tsar@mech.math.msu.su

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 16-01-00295-a.

Одним из новых и перспективных направлений геометрической теории приближения является изучение ее методами решений уравнений ГамильтонаЯкоби, одним из представителей которого является уравнение эйконала: | | = 1, где функция = ( ) обычно задана на открытом множестве Ω R . Из простейших соображений нетрудно получить, что такие решения локально представляют собой функции вида ± ( , ) для некоторых констант R и

подмножеств R , где ( , ) – расстояние до некоторого множества от точки . Само уравнение эйконала является основным уравнением геометрической оптики, с основами которой можно ознакомится в монографиях M. Борна, Э. Вольфа [1], Дж. Бруса, П. Джиблина [2] и Р. Фейнмана [3], Ю.А. Кравцова, Ю.И. Орлова [4], В. И. Арнольда [5]. Здесь мы обратим внимание на следующий факт: свойство гладкости решения уравнения эйконала взаимосвязано с геометрическо-аппроксимативным понятием локальной солнечности поверхностей уровня этого решения (поверхности уровня называют геометрическими волновыми фронтами). По этой причине в данной работе мы будем исследовать свойства локальной солнечности (регулярности) и особых точек. Подробнее о связи 1-решений уравнения эйконала с геометрической теорией приближения и свойствами функций расстояния до множества можно посмотреть в работе [6], а также ознакомиться со свойствами функций расстояния и свойств солнечности в работах [7,8]. Далее мы будем изучать аппроксимативные свойства непустого и замкнутого множества в произвольном действительном конечномерном банаховом пространстве с нормой ‖ · ‖, что имеет отношение к уравнению эйконала вида ‖ ‖ * = 1. Здесь * – сопряженное с про-

странство, а = ( ) – функция на подмножестве пространства . Заметим, что случай dim = +∞ разбирается во многих утверждениях аналогично при правильном модифицировании основных определений и дополнительных условий.

Через ( , ) обозначим величину inf ‖ − ‖. Точка 0 называется

ближайшей точкой в для точки , если ‖ − 0‖ = ( , ). Точка 0

называется локальным минимумом (для точки ), если найдется окрестность ( 0), для которой эта точка ближайшая во множестве ∩ ( 0) к точке

, а величина ( , ∩ ( 0)) = ‖ − 0‖ называется значением локального минимума функции-расстояния на множестве в точке . Ближайшая точка в множестве для является глобальным минимумом для . В конечномерном пространстве (или бесконечном сепарабельном) число значений локальных минимумов не более, чем счетно. Это позволяет значения минимумов (в точке ,

не принадлежащей каустике, см стр. 99) упорядочить по возрастанию и назвать локальным минимумом ранга , если его значение стоит на -ом месте.

Определение 1. Точка называется регулярной для замкнутого множества , если все точки некоторой окрестности ( ) являются точками единственности (т.е. для них существует единственная ближайшая в ).

Точки, не являющиеся регулярными или принадлежащие замыканию int , будем называть особыми.

Отметим, что для конечномерного пространства в регулярной точке

0 выполняется свойство локальной строгой солнечности (см обзоры [6]– [8]), т.е. для любой точки ( 0) существует (единственная ближайшая) из такая, что будет являться ближайшей в для всех точек из пересечения ( 0) и луча ℓ , выходящего из и проходящего через

. Отметим также, что множество всех регулярных точек (регулярное множество) является открытым, а множество всех особых точек (особое множество) точек является замкнутым. Из результатов геометрической теории приближения известно, что множество всех особых точек, не являющихся точка-

ми единственности, покрывается счетным набором липшицевых поверхностей и является связным и локально связным в случае выпуклых гиперповерхностей . Если модуль выпуклости пространства второго порядка, т.е. для

некоторого числа > 0 и произвольных чисел [0, 2] верно неравенство: inf{1 − ‖ +2 ‖ | ‖ ‖ = ‖ ‖ = 1, ‖ − ‖ > } > 2, а замкнутое множество , представляет собой след гладкого многообразия класса 2, то особое множество

нигде не плотно в .

Теорема 1. Пусть – строго выпуклое конечномерное пространство с непрерывно дифференцируемой нормой (на ), Ω – область, .

Тогда функция ( ) = ± ( , ) является 1-решением уравнения эйконала в области Ω только тогда, когда множество всех особых точек множества

лежит в Ω.

Это утверждение показывает, что изучение особых множеств различных подмножеств представляет особый интерес. И часто позволяет отсеивать лишние функции вида ± ( , ).

Через X обозначим расширение пространства добавлением бесконечной точки (окрестности такой точки определяются дополнениями замкнутых шаров из ). Бесконечную точку будем считать, особой для любых множеств .

Следующая теорема устанавливает геометрическо-топологические связи регулярного и особого множеств.

Теорема 2. Пусть – строго выпуклое конечномерное пространство,

– множество всех особых точек в X множества . Тогда является гомотопией (ретракцией) X , а является гомотопией (ретракцией) множества X = . Если – гиперповерхность в с замкнутым следом, то для любой компоненты связности множества множество всех особых точек из является гомотопией (ретракцией) множества .

Следствие 12. Для строго выпуклого конечномерного пространства и

замкнутого множества множество особых точек, находящихся в

ограниченной компоненте связности , связно и непусто, и одноточечно только, если эта компонента – открытый шар.

Пусть – гладкая поверхность класса 2 со следом в конечномерном пространстве . И пусть – касательная плоскость к в точке 0 . Пусть для некоторого единичного вектора ℓ шар ( 0 + ℓ, ) ( > 0) пространства

касается плоскости . Величину R, равную супремуму по всем числам >

0, для которых точка 0 является локальным минимумом функции-расстояния для точки = 0 + ℓ, назовем радиусом кривизны поверхности в точке 0

по направлению вектора ℓ. При этом точку X назовем центром кривизны (максимальной кривизны) поверхности в точке 0 по направлению вектора

ℓ. Нетрудно видеть, что в плоском случае это означает совпадение евклидовых кривизн и шара в точке 0.

В геометрической оптике множество всех центров кривизны поверхности называют каустикой. В случае плоской кривой каустика – это эволюта.

Определение 2. Замыкание множества всех точек , для которых существует более одного локально минимума функции-расстояния до замкнутого множества ранга , называется особым множеством ранга множества

.

Теорема 3. Пусть – поверхность класса 2 с замкнутым следом в

конечномерном пространстве с модулем выпуклости 2-го порядка. Тогда в любой области Ω, не содержащей точек каустики, число локальных минимумов для каждой точки Ω одинаково. При этом множество всех точек пространства , в которых число минимумов равно одному и тому же числу и все эти минимумы разных рангов, имеет границу, состоящую из точек части каустики и особых точек разных рангов. Множество всех точек пространства , в которых число минимумов равно одному и тому же числу, имеет границу, состоящую только из точек части каустики.

Список литературы

1.Борн M., Вольф Э. Основы оптики. Москва. Изд-во Наука. 1970.

2.Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности. Геометрическое введение в теорию особенностей. Москва. Изд-во Мир. 1988.

3.Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Том 3. Излучение, волны, кванты. Москва. Изд-во Мир. 1976.

4.Кравцов Ю. А., Орлов Ю. И. Геометрическая оптика неоднородных сред. Москва. Изд-во Наука. 1980.

5.Арнольд В. И. Особенности каустик и волновых фронтов. Москва. Издво Фазис. 1996.

6.Алимов А. Р., Царьков И. Г. Связность и солнечность в задачах наилучшего и почти наилучшего приближения//Успехи математических наук. 2016. Т. 71 , № 1(427), С. 3-84.

7.Балаганский В. С., Власов Л. П. Проблема выпуклости чебышевских множеств//Успехи математических наук. 1996. Т. 51, №6(312), С. 125-188.

8.Алимов А. Р., Царьков И. Г. Связность и другие геометрические свойства солнц и чебышевских множеств//Фундаментальная и прикладная математика. 2014. Т. 63, №4, С. 21-91.