Математика и информатика. Материалы Международной конференции (Москва, 14 - 18 марта 2016 г.)

О -замкнутых модулях над дедекиндовыми кольцами

Гришин А. В. (Москва, МПГУ)

Понятие -замкнутого модуля впервые появилось в [1] и применялось в основном в контексте абелевых групп, в частности в связи с так называемыми

-кольцами. На самом деле, вся теория -замкнутых абелевых групп, как и, по-видимому, вся теория абелевых групп, является весьма частным случаем теории модулей над дедекиндовыми кольцами.

Пусть — произвольное дедекиндово кольцо, — кольцо целых элементов некоторого конечного сепарабельного расширения поля частных кольца .

Следуя [1], назовем -замкнутым -модулем такой -модуль, аддитивный модуль кольца эндоморфизмов которого изоморфен над R самому модулю. Остановимся на описании всех -замкнутых -модулей без кручения конечного ранга. Оно вполне аналогично описанию -замкнутых абелевых групп без кручения конечного ранга (см. [2,3]).

Аименно, -модуль без кручения конечного ранга является -замкнутым

втом и только в том случае, когда он квазиизоморфен прямой сумме элементарных -замкнутых модулей, т. е. квазиизоморфен модулю 1 . . . , причем Hom( , ) = 0, а — аддитивный модуль локализации некоторого кольца по такому множеству Π простых идеалов кольца , которое делает эту локализацию ( )Π сильно неразложимой, т. е. не изоморфной подмодулю конечного индекса в некоторой нетривиальной прямой сумме. Уточним, что подмодуль ′ модуля называется подмодулем конечного индекса, если фактор-модуль / ′ аннулируется некоторым ненулевым элементом из .

В работах [4, 5] исследуются условия на Π , при которых соответствующая локализация сильно неразложима.

Список литературы

1.Гришин А.В., Царев А.В. -замкнутые группы и модули. //Фундамент. и прикл. матем., 17:2 (2011/2012), 97 – 106.

2.Крылов П.А, Михалев А.В., Туганбаев А.А. Абелевы группы и их кольца эндоморфизмов. – М.: Факториал Пресс, 2006.

3.Bowshell R.A., Schultz P. Unital rings whose additive endomorphisms commute, Math. Ann., 228:3 (1977), 197 – 214.

4.Гришин А.В. О сильной неразложимости локализации дедекиндова кольца. //Фундамент. и прикл. матем., 19:2 (2014), 43 – 49.

5.Grishin A.V. Strongly Indecomposable Localizations of the Ring of Algebraic Integers, Commun. Algebra, 43:9 (2015), 3816 – 3822.

Об изоляторах в группах Кокстера с древесной структурой

Добрынина И. В. (Тула, ТГПУ им. Л. Н. Толстого)

dobrynirina@yandex.ru

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 15-41-03222 р_центр_а.

Пусть – конечно порожденная группа Кокстера с копредставлением =

1, . . . , ; ( ) = 1, , = 1, , где – элементы симметрической матрицы Кокстера: , 1, , = 1, ≥ 2, ̸= .

Если группе соответствует конечный дерево-граф Γ такой, что вершинам графа Γ соответствуют образующие , = 1, , а всякому ребру , соединяющему вершины с образующими и , соответствует соотношение ( ) = 1, то мы имеем группу Кокстера с древесной структурой [2].

Понятия изолированной подгруппы и изолятора определим по П. Г. Конторовичу [2].

Определение 1. Подгруппа группы называется изолированной в , если для любого элемента из из того, что принадлежит , ̸= 1, следует, что принадлежит .

Определение 2. Подгруппа ( ), равная пересечению всех изолированных в подгрупп, содержащих подгруппу , называется изолятором или корневым замыканием в .

Определение 3. Группа обладает свойством , если для любой конечно порожденной подгруппы из изолятор ( ) конечно порожден.

Макдоноу в работе [4] показал, что в классе конечно порожденных свободных групп изолятор конечно порожденной подгруппы конечно порожден и указал алгоритм построения изолятора такой подгруппы.

В работе И. С. Безверхней [4] данная задача решается в классе свободных произведений групп с объединением:

34 Добрынина И. В. (Тула, ТГПУ им. Л. Н. Толстого)

Теорема 1. Пусть = 1 * 2 – свободное произведение подгрупп 1

и 2 с объединением по изолированной подгруппе , обладающей свойством максимальности. Если 1 и 2 обладают свойством , то и обладает

свойством .

В настоящей работе рассматриваемая проблема решается в классе групп Кокстера с древесной структурой.

Группу Кокстера с древесной структурой можно представить как древесное произведение двупорожденных групп Кокстера, объединенных по циклическим подгруппам.

При этом от графа Γ группы перейдем к графу Γ следующим образом: вершинам графа Γ поставим в соответствие группы Кокстера на двух образу-

ющих =< , ; 2 = 2 = 1, ( ) = 1 > и =< , ; 2 = 2 =

1, ( ) = 1 >, а всякому ребру , соединяющему вершины, соответствующие и — циклическую подгруппу < ; 2 = 1 >.

Используя теорему 1, индукцию, а также метод специального множества слов, разработанный В. Н. Безверхним [5], для групп Кокстера с древесной структурой получаем следующую теорему:

Теорема 2. Пусть – группа Кокстера с древесной структурой. Тогда обладает свойством .

Список литературы

1.Безверхний В.Н., Добрынина И.В. О проблеме свободы в группах Кокстера с древесной структурой // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. № 1–1. С. 5–13.

2.Конторович П. Г. Группы с базисом расщепления. III // Математический сборник. 1948. Т. 22. № 1. С. 79–100.

3.McDonough T. P. Root-closure in free groups // J. London Math. Soc., 2. 1970. no. 1. P. 191–192.

4.Безверхняя И. С. О конечной порожденности изолятора подгруппы в свободном произведении групп с объединением // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. 1983. С. 81–112.

5.Безверхний В.Н. О пересечении подгрупп в -группах // Фундаментальная и прикладная математика. 1998. T. 4. № 1. C. 199–222.

О некоторых обобщениях -групп

Карпов О. А., Тиссовский А. Г., Царёв А. В. (Москва, МПГУ)

an-tsarev@yandex.ru

-группы впервые были введены и исследованы в работе Ф. Шультца [1] в 1973 году. Существует множество равносильных определений -групп. Напом-

ним одно из них: абелева группа называется -группой, если End и

=

кольцо E( ) коммутативное (здесь End — группа эндоморфизмов, а E( ) —

кольцо эндоморфизмов группы ). Примерами -групп являются циклические группы.

По своему происхождению -группы тесно связаны с кольцами, так как в теории абелевых групп они появились как аддитивные группы -колец. В связи с этим достаточно хорошо изучен вопрос об умножениях на -группах. В частности, отметим, что все умножения на -группе ассоциативны и коммутативны, более того, на существует только одна (с точностью до изоморфизма) структура кольца с 1.

Нами рассмотрено несколько обобщений -групп: группы, допускающие только коммутативные умножения, группы с однозначным умножением и - группы.

Получено полное описание групп, допускающих только коммутативное умножение в классах периодических и делимых групп и доказана следующая

Теорема 1. Пусть — редуцированная нерасщепляющаяся смешанная группа ранга без кручения 1 и = ( ) = { | ( ) ̸= 0}. Тогда следующие условия равносильны:

1. Группа допускает только коммутативные умножения;

2. ( ) — циклическая группа для каждого и вкладывается в группу

∏

( ) в качестве -сервантной подгруппы;

3. ( ) — циклическая группа для каждого и сервантно вкладыва-

( ) ,

можно задать единственную (с точностью до изоморфизма) структуру ассоциативного кольца с 1. Понятно, что группами с однозначным умножением являются -группы и группы, допускающие только нулевое умножение. Нами построена серия примеров групп с однозначным умножением, отличных от вышеназванных. Например, группой с однозначным умножением является группа

Z , где = 1/ | Q, т. е. — группа без кручения ранга 1, тип которой содержит характеристику (1, 1, 1, . . .).

Группы называется -группой, если имеет место квазиизоморфизм групп

а значит, -группа квазиизоморфна -группе End . Это обобщение - групп ввел Ш. Фейгельсток в [2]. Там же им был поставлен вопрос: существуют ли -группы без кручения конечного ранга, не являющиеся -группами?

Нами доказано, что примеры -групп без кручения конечного ранга, не являющиеся -группами, служат некоторые жесткие почти вполне разложимые группы кольцевого типа с циклическим регуляторным фактором, рассмотренные Е.А. Благовещенской, Г. Ивановым и Ф. Шультцем в [3].

Список литературы

1.P. Schultz. The endomorphism ring of the additive group of a ring, J. Austral. Math. Soc., 15 (1973), 60 – 69.

2.S. Feigelstock. Full subrings of -rings, Bull. Aus. Math. S., 54 (1996), 275– 280.

3.E.Blagoveshchenskaya, G.Ivanov, P.Schultz. The Baer–Kaplansky theorem for almost completely decomposable groups, Cont. Math., 273 (2001), 85–93.

Продолжение частичных умножений на смешанных абелевых группах

Компанцева Е. И.(Москва, МПГУ, НИУ ВШЭ)

Умножением на абелевой группе называется гомоморфизм : → . Абелева группа с заданноым на ней умножением называется кольцом на группе . Известно [1], что любое умножение на периодической группе полностью определяется произведениями элементов, порождающих ее базисную подгруппу. Среди смешанных абелевых групп выделяеют группы, обладаюие таким же свойством: любое умножение на периодической части группы (а значит, и на ее базисной подгруппе) продолжается, притом одназначно, до умножения на всей группе. Такие группы называют -группами, проблема их изучения была сформулирована в [2].

В настоящей работе исследуются абсолютные ниль-идеалы -групп. Абсолютным ниль-идеалам (нильпотентным идеалом) абелевой группы называют ее подгруппу, являющуюся ниль-идеалом (нильпотентным идеалом) в любом кольце на . Абсолютным ниль идеалам абелевых групп посвящены работы [3]– [6] и др.

Все группы, рассматриваемые ниже, являются абелевыми, и слово "группа"везде в дальнейшем означает "абелева группа". Как обычно, Z, N0 – множества целых и целых неотрицаткльных чисел соответственно, через ( ) обозначается -высота элемента . Согласно [3], будем говорить, что элемент группы

удовлетворяет условию (*) для действительного числа и простого , если существует неубывающая неограниченная функция : N0 → N0 такая, что

( ) > ( + ( )) для любого N0. Для произвольной группы будем обозначать: Λ( ) – множество простых , для которых ( ) ̸= 0, где ( )

– -примарная компонента группы , *Λ – множетво , для каждого из которых найдутся Z {0} и действителное > 1 такие, что удовлетворяет условию (*) для и любого Λ( ), 1Λ – множество , для которых

40 Компанцева Е. И.(Москва, МПГУ, НИУ ВШЭ)

( ) = ∞ при всех Λ( ). Если в определении *Λ множество Λ( ) заменить на множество всех простых чисел, то получим определение множества *.

В [1] показано, что подгруппа ( ) является абсолютным ниль-идеалом

любой группы . В классе групп, содержащих ненулевую делимую подгруп-

пу без кручения, этот результат нельзя улучшить, это значит, что существует кольцо с аддитивной группой из указанного класса, верхний ниль-радикал которого равен ( ). Если же группа не содержит ненулевой делимой

щая ненулевой делимой подгруппы без кручения, на которой можно определить ассоциативное и коммутативное кольцо, верхний ниль-радикал которого равен

*. Однако в классе -групп абсолютные идеалы могут быть значительно

Λ( )

солютным ниль идеалом. При этом существует ассоциативное и коммута-

нильпотентным идеалом -группы . Обозначим через ( , ) группу гомоморфизмов из группы в группу , , ( ) – соответственно группа и кольцо эндоморфизмов группы . Рассмотрим множество ( ) = Φ( )|, Φ ( , ) , опреденное в [7]. В [7] показано, что ( ) является идеалом кольца ( ), также показано, что подгруппа группы является абсолютным идеалом, если и только если ( )( ) .

Теорема 2. Если – -группа, то ( )( ( )( 1Λ)) = 0 и

( ( )( ))( 1Λ) = 0.