Математика и информатика. Материалы Международной конференции (Москва, 14 - 18 марта 2016 г.)

полностью решена проблема Михалёва, а также доказана разрешимость пер-

вичного радикала специальной алгебры Ли, имеющей точное -представление

сразмерностью Крулля.

С.А. Пихтильков исследовал радикалы не только алгебр Ли, но и других алгебраических систем. В [7] он ввел класс -представимых групп, являющихся подгруппами группы обратимых элементов некоторой -алгебры над полем, определил для него локально разрешимый радикал и доказал разрешимость этого радикала для конечно порожденной группы. В работе [8] введено понятие градуированной Ω-группы, включающее в себя не только ассоциативные алгебры (с градуировкой и без оной) и группы, но также алгебры и супералгебры Ли, конформные и вертексные алгебры. Было дано поэлементное описание первичного радикала градуированной Ω-группы, установлено, что градуированный первичный радикал градуированной Ω-группы с условием конечности совпадает

снижним слабо разрешимым (в смысле Парфенова) радикалом. Работы [9, 10] посвящены исследованию первичного радикала специальных супералгебр Ли.

Сергей Алексеевич был не только талантливым математиком, но скромным, добрым и мужественным человеком. Таким он и останется в памяти своих коллег и учеников.

Список литературы

1.Пихтильков С.А. Примитивность свободной ассоциативной алгебры с конечным числом образующих // Успехи матем. наук. 1974. № 1. С. 183– 184.

2.Amayo R., Stewart I. Infinite dimensional Lie algebras. Leyden: Noordhoof, 1974.

3.Латышев В.Н., Михалев А.В., Пихтильков С.А. О сумме локально разрешимых идеалов алгебр Ли //Вестн. Моск. ун-та. Сер.1. Математика. Механика. 2003. № 3. C. 29–32.

4.Латышев В.Н. Об алгебрах Ли с тождественными соотношениями //Сиб. мат. журнал. 1963. Т. 4, № 4. С. 821-829.

5.Пихтильков С.А. О специальных алгебрах Ли // Успехи матем. наук. 1981. № 6. С. 225–226.

6.Пихтильков С.А. Структурная теория специальных алгебр Ли: Дисс. ...

д-ра физ.-мат. наук. М.: МГУ, 2004.

7.Пихтильков С.А. О первичном радикале PIпредставимых групп // Матем. заметки. 2002. Т. 72, вып. 5. С. 739–744.

8.Михалёв А. В., Балаба И. Н., Пихтильков С. А. Первичный радикал градуированных Ω-групп // Фундамент. и прикл. матем. 2006. Т.12, вып. 2. С. 159—174.

9.Балаба И.Н., Пихтильков С.А. Первичный радикал специальных супералгебр Ли // Фундамент. и прикл. матем. 2003. Т. 9, вып.1. С. 51–60.

10.Pikhtilkov S., Polyakov V. Artinal special Lie superalgebras // Bulletinul Academie de stinte a republicii Moldova. Matematica. 2004. V. 44, no. 1. P. 116–119.

Диагональные ранги конечных полугрупп

Барков И. В. (Москва, НИУ МИЭТ) barkovian@gmail.com

Правым полигоном [1] над полугруппой называется множество , на котором действует полугруппа , то есть определено отображение × → ,

( , ) → , такое, что выполняется тождество ( ) ′ = ( ′) при всех ,

, ′ . Если — полугруппа, то множество × будет являться правым полигоном над относительно действия ( , ) = ( , ) при всех , = × ,

. Такой полигон называется диагональным правым полигоном над . Аналогично определяется бидиагональный полигон ( × ) .

Порождающее множество полигона ( × ) называется неприводимым, если никакое его собственное подмножество ′ не является порождающим для этого полигона. Очевидно, любое конечное порождающее множество может быть уменьшено до неприводимого. Порождающее множество называется

минимальным, если оно минимально по мощности среди всех конечных порождающих множеств.

Мы приводим основные результаты, известные о диагональных рангах конечных полугрупп.

Односторонний диагональный ранг полугруппы порядка может принимать значения от до 2. Правый диагональный ранг 2 имеет полугруппа левых нулей. Все возможные полугруппы с правым диагональным рангом описаны в следующей теореме.

Теорема 1 ( [3], теорема 4). Пусть – полугруппа из элементов. Равенство rdr = имеет место в том и только в том случае, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1.– группа;

2.– двухэлементная полугруппа правых нулей;

При определённых условиях диагональный ранг произведения полугрупп оказывается равен произведению их диагональных рангов.

Теорема 2 ( [2], теорема 2.6). Пусть и – полугруппы, содержащие левообратимый элемент. Тогда rdr( × ) = rdr · rdr .

Зная количество неразложимых элементов полугруппы, можно оценить снизу диагональный ранг.

Теорема 3. Пусть – полугруппа из элементов, среди которых являются неразложимыми. Тогда

rdr ≥ 2 − 2.

Следствие 1. Пусть – 3-нильпотентная полугруппа из элементов. Тогда

Теорема 4. Пусть – 3-нильпотентная полугруппа из элементов. Тогда rdr ≤ 2 − 4. Эта оценка является точной для любого ≥ 3.

Диагональные ранги вполне (0-)простых полугрупп практически не завясят от сэндвич-матрицы в их представлении рисовскими матричными полугруппами.

Теорема 5. ( [3], теорема 2) Пусть – рисовская полугруппа матричного типа, с сэндвич-матрицей , то есть = ( , , Λ, ). Тогда правый диагональный ранг равен | |2 , если Λ состоит из одного элемента и равен

| |2| |2Λ (Λ − 1) в противном случае.

4.В матрице есть столбец, содержащий не менее двух ненулевых элементов, но нет такой строки. Тогда bdr = 2 ( −1) ( −1)+ ( −1).

5.В матрице нет строк и столбцов, содержащих хотя бы два ненулевых элемента. Тогда bdr = 2 ( − 1) ( − 1) + ( − 1) + ( − 1) + .

—Если = 1, > 1, то bdr = ( − 1) + 2.

—Если = 1, > 1 то bdr = ( − 1) + 2.

—Если = = 1, то bdr = + 2.

Список литературы

1.Kilp M., Knauer U., Mikhalev A.V. Monoids, acts and categories. // Berlin

– New York: W. de Gruyter. 2000.

2.Apraksina T.V., Barkov I.V., Kozhukhov I.B. Diagonal ranks of semigroups // Semigroup Forum. 2015. V. 90. no. 2. P. 386–400.

3.Барков И.В., Шакиров Р.Р. Конечные полугруппы минимального ранга // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. № 16. С. 55–63.

О структуре резонансного множества вещественного многочлена

Батхин А. Б. (Москва, ИПМ им. М.В. Келдыша)

Изучается резонансное множество вещественного многочлена, т. е. множество всех значений пространства коэффициентов, при которых последний имеет соизмеримые корни. Случай кратных корней является частным случаем этой ситуации. Показано, что резонансное множество обладает сложной иерархической структурой и состоит из алгебраических многообразий различных размерностей. Предлагается конструктивный алгоритм построения полиномиальной параметризации резонансного множества в пространстве коэффициентов многочлена. Структура резонансного множества многочлена степени описывается в терминах разбиения натурального числа . Основные алгоритмы, описанные в работе, реализованы в виде библиотеки в системе компьютерной алгебры Maple.

Пусть дан многочлен

-й степени с вещественными коэффициентами. Вещественное -мерное пространство Π ≡ R его коэффициентов 1, 2, . . . , назовём пространством коэффициентов многочлена (1).

Определение 1. Пару корней , , , = 1, . . . , , ̸= , многочлена (1) назовём : -соизмеримой, если : = : .

Здесь и далее предполагаем, что Z {0}, N, т. е. исключаем случай, когда один из корней или равен нулю, поскольку нулевой корень соизмерим с любым другим корнем.

Определение 2. Резонансным множеством ( ) многочлена ( ) назовём множество всех точек пространства коэффициентов Π, в которых ( )

имеет хотя бы пару соизмеримых корней. Для фиксированного коэффициента

соизмеримости, задаваемого рациональным числом / Q, соответствующее резонансное множество обозначим через : ( ), т. е.

Определение 3. Цепочкой : -соизмеримых корней длины (кратко цепочкой корней) назовём отрезок геометрической прогрессии с основанием и

знаменателем / , каждый член которой является корнем многочлена (1). Основание прогрессии назовём порождающим корнем соответствующей цепочки.

Эффективным условием наличия соизмеримых корней многочлена (1) является равенство нулю т. н. обобщённого дискриминанта GD : ( ), предложенного в [1]. Он представляет собой нетривиальный множитель результанта

Res ( ( ), ( )) многочленов ( ) и ( ) относительно переменной . Однако детальную структуру резонансного множества (2) можно понять с помощью

-х обобщённых субдискриминантов GD(:) ( ). Последние суть нетривиальные множители -х субрезультантов многочленов ( ) и ( ) (см. [2]).

Теорема 1. Для того, чтобы многочлен (1) имел в точности различных цепочек : -соизмеримых корней, необходимо и достаточно, чтобы в последовательности -ых обобщённых субдискриминантов GD(:) ( ) первым отличным от нуля был субдискриминант GD(:)( ) с номером .

Резонансное множество : ( ) для каждого фиксированного коэффициента соизмеримости : состоит из конечного числа многообразий , на каждом из которых многочлен ( ) имеет цепочек корней с различными порождающими корнями. Суммарная длина этих цепочек корней равна степени многочлена

. Общее число этих многообразий, а также число различных многообразий

, имеющих фиксированную размерность , зависит от числа разбиений ( )

степени многочлена ( ).

Определение 4. Разбиением натурального числа называется всякая конечная неубывающая последовательность натуральных чисел 1 6 2 6

Рассмотрим разбиение = [1 1 2 2 . . . . . . ] натурального числа . Величина

в разбиении задаёт длину цепочки : -соизмеримых корней для соответствующего порождающего корня , а — число различных порождающих кор-

∑

ней, задающих цепочку корней длины . Тогда = есть число различных порождающих корней многочлена ( ) для коэффициента соизмеримости :

∑

и= . Любое разбиение числа определяет некоторую структуру : -

соизмеримых корней многочлена и этой структуре соответствует в пространстве коэффициентов Π некоторое алгебраическое многообразие , = 1, . . . , ( ), размерности по числу различных порождающих корней . Число таких многообразий размерности равно ( ), а общее число многообразий всех возможных размерностей равно ( ) −1, поскольку разбиению [1 ] соответствует ситуация, когда все порождающие корни многочлена (1) задают цепочки корней длины 1, т. е. среди всех корней многочлена ( ) нет ни одной пары : -соизмеримых корней.

Основу алгоритма построения параметрического представления многообразий , составляющих резонансное множество : ( ) составляет

Теорема 2. Пусть в Π имеется многообразие , dim = , на котором многочлен (1) имеет различных цепочек : -соизмеримых корней, причём цепочка корней с порождающим 1 имеет длину > 1. Если r ( 1, 2, . . . , ) —

параметризация многообразия , тогда

(3)

задаёт параметризацию части многообразия +1, на котором имеется цепочка корней длины − 1 с порождающим 1, простой корень , а остальные

цепочки корней такие же, как на исходном многообразии .

Геометрически, теорема 2 означает, что по отношению к многообразию

многообразие +1 устроено как линейчатая поверхность размерности + 1, образованная секущими прямыми, проходящими через точки направляющего многообразия . Положения этих точек задаётся двумя значениями параметра 11 и

21 такими, что 11 : 21 = : . Для того, чтобы получить полную параметризацию многообразия +1 необходимо выполнить продолжение параметризации (3) на те её части, где имеются цепочки комплексно-сопряжённых корней.

Если начать с разбиения [ 1], задающего многообразие 1, на котором многочлен (1) имеет единственную цепочку : -соизмеримых корней, и последовательно применять преобразование (3) теоремы 2, то в итоге придём к параметрическому представлению многообразия −1 наибольшей размерности. На нём имеется одна цепочка : -соизмеримых корней длины 2, а остальные корни простые, т. е. ему соответствует разбиение [211 −2].

Зададим три операции, последовательное применение которых, позволяет получить параметризацию каждого из многообразий размерностей от 2 до −1.

«ПОДЪЁМ» позволяет переходить к многообразию, размерности на единицу больше исходного.

«ПРОДОЛЖЕНИЕ» позволяет получить параметризацию всего многообразия, полученного в результате операции «ПОДЪЁМ» в случае, когда на последнем имеются цепочки комплексных корней.

«СПУСК» позволяет перейти к многообразию, размерности на единицу меньше, на котором имеется цепочка корней удвоенной кратности.

Комбинируя последовательно указанные выше операции, можно получить параметрическое представление всех многообразий , объединение которых и даёт резонансное множество (2). Таким образом, резонансное множество

: ( ) вещественного многочлена для фиксированного коэффициента соизмеримости допускает полиномиальную параметризацию.

Автор реализовал алгоритмы построения параметрического представления многообразий резонансного множества (2) в виде библиотеки для системы