Математика и информатика. Материалы Международной конференции (Москва, 14 - 18 марта 2016 г.)

Теорема 1 и определение весовой функции ( ) порядка с константой позволяет получить оценку для тригонометрической суммы обобщенной параллелепипедальной сетки с весовой функцией

соотношение

lim ( ),( ) = ( ).

→∞

Список литературы

1.Добровольская Л.П., Добровольский М.Н., Добровольский Н.М., Добровольский Н.Н. Гиперболические дзета-функции сеток и решёток и вычисление оптимальных коэффициентов. //Чебышевский сборник, 2012, Т. 13, Вып. 4(44), С. 4 — 107.

2.Коробов Н.М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе (второе издание). –М.: МЦНМО, 2004, 288 с.

3.Фролов К.К. Оценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функций. //ДАН СССР. 231. 1976, № 4, С. 818–821.

О преобразованиях периодических последовательностей

Чирский В. Г. (Москва, МГУ) vgchirskii@yandex.ru

Пусть дана последовательность { } натуральных чисел, + = , = 0, 2, . . . Рассматривается задача о преобразовании этой периодической последовательности в непериодическую, например, в последовательность цифр некоторого числа.

В случае непрерывной дроби [ 0, 1, 2, . . .] по теореме Лагранжа получаем иррациональное число и, следовательно, непериодическое разложение этого числа в любой позиционной системе счисления.

Рассмотрим ряд

∞

∑ ! .

=0

Легко доказать, что это – иррациональное число. Более того, используя метод Зигеля–Шидловского, можно получить количественные характеристики этого числа (см. [1]).

Рассмотрим ряд,

Это – так называемое целое полиадическое число, элемент кольца целых полиадических чисел, которое является прямым произведением колец Z целых –

адических чисел по всем простым числам .

Можно доказать бесконечную трансцендентность числа , что означает, что для любого многочлена ( ), отличного от тождественного нуля, с целыми коэффициентами, существует бесконечное множество простых чисел таких, что

в поле Q выполнено неравенство ( ( )) ̸= 0. Здесь символ ( ) обозначает

∞

∑

сумму ряда в поле Q . В частности, ряд Эйлера ! бесконечно трансцен-

=0

дентен (см. [2]).

В докладе рассказывается о перечисленных задачах и указываются направ-

ления возможных дальнейших исследований.

Список литературы

1.Чирский В.Г., Нестеренко А.Ю. Об одном подходе к преобразованию периодических последовательностей. //Дискретная математика, том 27, выпуск 4, 2015, с. 150 – 157.

2.Чирский В.Г. Арифметические свойства полиадических рядов с периодическими коэффициентами. //Доклады академии наук, 2014, т. 459, № 6, с. 677 – 679.

On some application Catalan’s numbers for the calculation Nakayama algebras

Shvyrov V. V. (Luhansk, LSU)

slsh@i.ua

An admissible sequences naturally arise from Kupisch series of the serial rings (see [1]). Many structural properties of the ring can be defined such sequences. Numerous interesting results are found in the work of Puninsky [4].

I. Murasa (see [3]) calculate all two-sided ideals of indecomposable serial Artinian ring. From his results ensue, that the lattice of two-sided ideals for any indecomposable serial Artinian rings with identical admissible sequences is isomorphic.

All possible admissible sequences of the length , could be built if we known its first element 1. The combinatoric approach to the studying of such sequences allows effective computer calculation.

Admissible sequences can be applied to the studying a finite dimensional serial algebras. Obviously such algebras is Nakayama algebras. In the case when Nakayama algebra is basic and over algebraic closed field it is a split. Its observation allow to apply combinatory approach for the results of Andersen and Fuller [1].

According to the work [1], we recall the definition of admissible sequence.

Let is a serial ring, 1, . . . , is the set of the primitive basic idempotents,

= ( ) is Jacobson radical of the ring . The list of indecomposable projective modules 1, . . . , are called Kupisch series of the ring . If 1 ̸= 0 and =

( ), where is the length of responding module, then

≡ −1/ −1 −1 ( = 2, . . . , ),

1 ≡ / 1−1 .

From here,

Any sequence that satisfy such inequalities is called admissible sequence. Similar, defining and right Kupisch series = ( ).

The Catalan’s numbers compose the natural number series that arise in numerous combinatoric tasks. The -th Catalan’s number can be calculated with the formula:

where n≥0.

The first Catalan’s numbers for = 0, 1, 2, . . . are:

1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, . . .

In the monograph by R. Stanley [7] we can find more then 70 different examples of using of Catalan’s numbers.

We denote by ( , ) – the number of admissible sequences of the length , for that 1 = . Let {1, 2, 3}, in this case, if = , then the next element +1, can take on values from the set {2, . . . , , + 1}, = 2, . . . , .

Theorem 1. ( [1]). Let 1, . . . , be an admissible sequence, be a field, then exist split serial -algebra with Kupisch series 1, . . . , i ( ) = , = 1, . . . , .

Theorem 2. ( [1]). If is a field, then any two split basic indecomposable serial

-algebras with identical admissible sequences are isomorphic.

Theorem. The number of non-isomorphic classes of basic Nakayama algebras over algebraic closed field with admissible sequences of the length and it first element 1 is equal:

a)−1, if 1 = 1;

b), if 1 = 2;

c)3+2 , if 1 = 3;

6( 2+1)

d) ( +2)( +3) , if 1 = 4.

Список литературы

1.Anderson F.W.,Fuller K.R. Rings and Categories of modules. // Springer values, New York and Berlin, 2nd ed., 1992. — 385p.

2.Gubareni N.M.,Kirichenko V.V. Serial Rings with T-nilpotent Prime Radical // Algebras and Representations Theory. — 2006. — № 9. — P. 147— 160.

3.Murase I. On the structure of generalized uniserial rings, I. // Sci. Pap. Coll. Gen. Educ., univ. Tokyo. —1963. — V. 13 — P. 1—22.

4.Puninski G. Serial Rings // Kluwer Academic Publishers : Springer, Dordrecht, 2001. — 236 p.

5.Shvyrov V.V. On the number of equivalence classes of indecomposable serial rings // Bulletin of Taras Shevchenko National University of Kyiv. Ser. Physics & Math. 2011. № 4. pp. 56–60.

6.Shvyrov V.V. On the number of admissible sequences for indecomposable serial rings with Noetherian diagonal // Bulletin of Taras Shevchenko National University of Kyiv. Ser. Physics & Math. 2011. № 4. pp. 56–60.

7.Stanley R.P. Enumerative Combinatorics, Vol. 2. // Cambridge University Press. (pp. 212-229)

Секция

«Теоретическая информатика и дискретная математика»

Применение сети Петри-Маркова для моделирования системы массового обслуживания 149

Применение сети Петри-Маркова для моделирования системы массового обслуживания

Привалов А. Н. (Тула, ТГПУ им. Л.Н. Толстого)

При моделировании информационного взаимодействия основных субъектов тренажерных систем (ТС) (обучаемый, инструктор, технические средства ТС, аппаратное и программное обеспечение ТС) можно представить как совокупность потоков запросов и потоков ответов [1]. Это создаёт предпосылку применения аппарата систем массового обслуживания (СМО). Информационное взаимодействие основных субъектов модели тренажёрной системы характеризуется тремя аспектами:

—взаимодействие происходит в физическом времени;

—моменты транзакций являются случайными;

—для взаимодействия необходимо, чтобы все субъекты, участвующие в обмене данными, были готовы к обмену;

—транзакции сводятся к формированию или обслуживанию заявок в системе массового обслуживания.

Указанные обстоятельства позволяют применить для моделирования информационного взаимодействия аппарат сетей ПетриМаркова (СПМ).

СПМ, моделирующая систему массового обслуживания с отказами, приведена на рис. 1.

Сеть описывается следующим множеством:

где П = {A, Z,R̃, R̂} - структура сети; M = {q, h̃( ), Λ} - параметры сети. Структура сети описывается следующей системой выражений

A = {a0 (a), a1 (a), . . . , aj (a), . . . , aJ (a), aJ (a)+1 , aJ (a)+2 }; Z = {z1 , z2 , z3 , z4 , z5 , }

Рисунок 1 - Модель системы массового обслуживания с отказами

где a0 (a) - позиция, в совокупности с переходом z2 моделирующая программный

генератор потока заявок на обслуживание в системе; a1 (a), . . . , aj (a), . . . , aJ (a),

— подмножество позиций, каждая из которых моделирует один программный