УДК– 519.724.6 ББК –22.171

Ш 77

Шнарева Г. В. Математика для менеджеров. Элементы теории вероятностей: Учеб-метод. пособие / Г. В. Шнарева. – Симферополь : АНО «ООВО» «Университет экономики и управления», 2019. – 80 с.

Рецензент: к. с.-х. н., доцент Серков Л. Н.

Учебно-методическое пособие «Математика для менеджеров. Элементы теории вероятностей» предназначено для студентов очной и заочной форм обучения направления подготовки 38.03.02 Менеджмент (квалификация – бакалавр); представляет собой руководство к решению задач по разделу «Элементы теории вероятностей» и служит помочь в подготовке к практическим занятиям, выполнении типовых расчетов, подготовке к итоговому контролю по дисциплине «Математика».

В пособии приведены необходимые теоретические сведения с примерами решения задач, контрольные вопросы, задания для самостоятельной работы студентов.

Одобрено и рекомендовано к изданию на заседании редакционно-методического совета АНО «ООВО» «УЭУ» протокол № 10 от 29.05.2019 г.

2

Тема 2. Зависимые и независимые случайные события. Теоремы умножения и сложения

Тема 3. Повторные независимые испытания по схеме

3.3. Локальная и интегральная формулы Муавра-

Тема 4. Случайные величины и их числовые

4.4.Законы распределения дискретной случайной

4.5.Распределение непрерывной случайной

4

ВВЕДЕНИЕ

Богатство и разнообразие применений теории вероятностей привлекают к ней многих людей. Одной из важнейших сфер приложения теории вероятностей является экономика. В настоящее время трудно представить исследование и прогнозирование экономических явлений без использования эконометрического моделирования, регрессионного анализа, трендовых и сглаживающей моделей и других методов, опирающихся на теорию вероятностей. Общая тенденция современной математики и ее приложений состоит в резком повышении роли тех разделов науки, которые анализируют явления, имеющие «случайный» характер, и основываются на теории вероятностей.

Статистическая теория во многом основана на теории вероятностей, хотя здесь есть и обратная связь: при построении вероятностной модели также используются данные статистики.

Теория вероятностей – это наука, а ее предмет – случайность, которая, казалось бы, не поддается никакому научному предсказанию. Теория вероятностей изучает свойства массовых случайных событий, способных многократно повторяться при воспроизведении определенного комплекса условий. Познавательная ценность теории вероятностей обусловлена тем, что массовые случайные явления в своем совокупном действии создают строгие закономерности.

5

Тема 1. Основные понятия теории вероятностей

1.1.Случайные события

Косновным понятиям теории вероятности относятся испытания и события.

Под испытанием (опытом) понимают выполнение определенных условий или действий, в результате которых непременно произойдет какое-либо событие. События могут быть достоверными, невозможными, случайными.

Так, событиями являются: поражение и не поражение мишени в результате произведенного выстрела (испытания); частые и редкие звуковые сигналы в слуховой части телефонной трубки в результате набора на диске некоторого номера; выигрыш, ничейный исход

ипроигрыш при игре в шахматы; зеленый, желтый и красный цвета на светофоре к моменту прибытия пешехода к перекрестку и др.

Для обозначения событий приняты первые буквы латинского алфавита А, В, С и т.д.

Определение. Достоверным событием назы-

вается событие, которое непременно произойдет в результате опыта. Событие называется невозможным, если оно никогда не произойдет в результате опыта.

Определение. Случайным называют событие, которое может произойти либо не произойти при соблюдении определенных условий.

Теория вероятностей занимается рассмотрением случайных событий, вероятностью их появления.

Определение. События называются несовместными, если наступление одного из них исключает наступление любого другого. В противном случае события называются совместными.

6

Определение. Несколько событий в данном опыте образуют полную группу событий, если в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно из них.

Определение. События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них появится в результате опыта с большей вероятностью.

Определение. Противоположными А и А называются два несовместных события, образующие полную группу.

Каждый из равновозможных исходов испытаний (опытов), образующих полную группу называется элементарным исходом. Их обычно обозначают буквами

ω1, ω2, …, ωn.

1.2. Классическое определение вероятности

Численная мера возможности появления рассматриваемого события – это вероятность события. Вероятность события А обозначается Р(А). Наиболее широкое распространение получило классическое определение вероятности события.

Классическое определение вероятности связано с понятием благоприятствующего исхода. Исход называется благоприятствующим данному событию, если его появление влечет за собой наступление этого события.

Определение. Вероятность события А равна отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу возможных исходов:

P(A) = mn , (1/2/1)

где m – число благоприятствующих событию А исходов;

n – общее число возможных исходов.

7

Свойства вероятности события: вероятность достоверного события равна единице, а вероятность невозможного – равна нулю. Таким образом, значение вероятности любого события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей 0 ≤ P(A) ≤1.

1.3. Операции над событиями

Определение. События А и В называются равными, если наступление события А влечет за собой наступление события В и наоборот.

Определение. Объединением или суммой событий Аk называется событие A, которое означает появление хотя бы одного из событий Аk.

Например, по мишени стреляют 3 раза. События А, В, С – попадание при первом, втором и третьем выстрелах соответственно. Сумма событий А, В и C означает хотя бы одно попадание.

Определение. Пересечением или произведением событий Ak называется событие А, которое заключается в осуществлении всех событий Ak.

Например, по мишени стреляют три раза. События А, В, С – попадание при первом, втором и третьем выстрелах соответственно. Произведение событий А и В с означает все три попадания.

1.4.Комбинаторные формулы

1.Перестановки. Перестановкой множества, состоящего из n элементов, называется набор этих же элементов, расположенных в другом порядке. Число всевозможных перестановок такого множества обозна-

чается символом Pn.

Pn =1 2 3 ... (n −1) n. (1.4.1)

8

Для таких произведений существует специальное название n-факториал и обозначение 1 2 3 ... (n −1) n = n!

Оказывается удобным принять дополнительное

соглашение и считать, что 0!=1.

2. Размещения. Размещение – это набор из m различных элементов некоторого n-элементного множества, причем два размещения, отличающиеся порядком следования элементов, считаются различными. Стандартным обозначением для числа

3. Сочетания. Сочетание – это набор из m различных элементов некоторого n-элементного множества, причем два любых сочетания, отличающиеся порядком следования элементов, совпадают. Стандартным обозначением для числа

сочетаний m элементов из n является символ Cnm. Число сочетаний вычисляется по формуле

1.5. Контрольные вопросы

1. Что понимается в теории вероятностей под «испытанием» и «событием»? Приведите примеры. Какие бывают события?

2. Какое событие считается достоверным, а какое невозможным? Приведите примеры. Чему равны вероятности достоверного и невозможного событий?

9

3. Укажите, какие из событий в приведенных экспериментах являются достоверными, невозможными и просто случайными.

ложными? Приведите примеры. Чему равна вероятность

события А , если Р(А)=0,6?

5. Какие события называются несовместными? Приведите примеры.

10

6.Что такое полная группа событий? Приведите

примеры.

7.Что называется суммой и произведением

событий?

8.Проводится эксперимент по подбрасыванию двух монет. Рассматриваются такие события: А – выпал «герб» на первой монете, В – выпало «число» на первой монете, С – выпал «герб» на второй монете, D – выпало «число» на второй монете. Что означают события:

1)А + С;

2)А * С;

3)В + С;

4)В * D;

5)А ;

6)B * D .

9.Проводится эксперимент по бросанию кубика. Рассматриваются такие события: А – выпало четное число очков, В – выпало нечетное число очков, С – выпало 3 очка, D – выпало число очков меньше 4. Что означают события:

1)А ;

2)А + С;

3)А * D;

4)В * С;

5)В * D;

6)B * D .

10.Сформулируйте классическое определение вероятности. Какие значения может принимать вероятность? Найдите вероятность того, что студенту достанется «несчастливый билет», если он из 24 билетов не разобрался в одном.

11.Напишите формулы для вычисления числа перестановок, размещений, сочетаний.

11