1.6. Примеры решения задач

1.

Событие A + B заштриховано

:

2.

Испытание:бросаем игральную кость

3.

Испытание: Двое играют шахматную

партию. Прошло два часа от ее начала.

4. В урне находятся шесть белых и пять черных шаров. Из урны одновременно вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара белые (событие А)?

12

Решение. Здесь число равновозможных независимых исходов составляет

n = C112 = 2!(1111!− 2)! = 112 101 = 55 .

исходов. Следовательно, Р(А)=15/55=3/11.

5. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

Решение. Обозначим А событие, состоящее в том, что набрана нужная цифра. Абонент мог набрать любую из 10 цифр, поэтому общее число возможных исходов равно 10. Эти исходы единственно возможны (одна из цифр набрана обязательно) и равновозможны (цифра набрана наудачу). Благоприятствует событию А лишь один исход (нужная цифра лишь одна). Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех исходов:

Р(А) = 101 .

6. В урне пять белых, два черных и три красных шара. Чему равна вероятность того, что наугад вынутый шар окажется не белым?

Решение. Принимаем за событие A – вынутый из урны не белый шар. Поскольку из урны можно вынуть любой из 10 шаров, то число всех возможных исходов (ситуаций) n =10. Благоприятствующим событию A исходом является вынутый из урны любой черный или красный шар. Число благоприятствующих исходов m=5. В соответствии с формулой классического определения вероятности

P(A) = 5/10 = 0,5. 13

7. Из пяти женщин и семи мужчин выбирают трех делегатов. Считая, что каждый из присутствующих может быть выбран с одинаковой вероятностью, найти вероятность того, что выберут двух женщин и одного мужчину.

Решение. Событие A – выбраны делегатами две женщины и один мужчина. Общее число равновозможных исходов n равно числу способов, которыми можно выбрать трех делегатов из 12 человек, то есть число сочетаний из 12 по 3:

Мужчина-делегат может быть выбран семью способами, две женщины из пяти могут быть

избранными С52 способами. Следовательно, число

благоприятствующих событию A исходов m = 7 C52 = 7 15 24 = 70 .

Искомая вероятность P(A) = mn = 22070 = 227 .

8. В партии из 10 деталей имеется семь стандартных. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу шести деталей ровно четыре стандартных.

Решение. Событие А – среди взятых наудачу шести деталей ровно четыре стандартных. Общее число исходов испытания равно числу способов, которыми

можно извлечь шесть деталей из 10, т.е. равно С106 –

числу сочетаний из 10 элементов по шесть. Число исходов, благоприятствующих событию А, определяем так: четыре стандартные детали можно взять из семи

стандартных деталей С74 способами; при этом остальные 6 – 4 = 2 детали должны быть нестандартными; взять же

14

две нестандартные детали из 10 – 7 = 3 нестандартных деталей можно С32 способами. Следовательно, число

благоприятствующих исходов равно С74С32 . Исходная

вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех исходов:

1.7. Задания для самостоятельного решения

Используя классическое определение вероятности, решить задачи:

1.В лотерее из 50 билетов восемь выигрышных. Какова вероятность того, что среди пяти наугад выбранных билетов два окажутся выигрышными?

2.Из 60 экзаменационных вопросов учащийся подготовил 50. На экзамене он должен ответить на два вопроса. Какова вероятность того, что учащийся ответит на оба вопроса?

3.Из 10 билетов лотереи выигрышными являются два. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов два выигрышных?

4.Из 50 электролампочек имеется четыре бракованных. Какова вероятность того, что две взятые наугад лампы окажутся бракованными?

5.Экзаменационные билеты занумерованы числами от 1 до 35. Какова вероятность того, что номер выбранного билета четный?

6.В партии из 100 деталей 5% бракованных. Какова вероятность того, что наугад выбранная деталь окажется стандартной?

7.В ящике 14 деталей, среди которых восемь окрашенных. Сборщик наудачу извлекает четыре

15

детали. Найти вероятность того, что только три извлеченные детали окажутся окрашенными.

8.Задания программированной контрольной работы занумерованы всеми двухзначными числами. Какова вероятность того, что номер наугад выбранного задания состоит из одинаковых цифр?

9.Из шести одинаковых карточек разрезной азбуки: «а», «е», «м», «н», «о», «р» наудачу выбирают четыре карточки и складывают их в ряд в порядке их извлечения. Какова вероятность получить при этом слово «море»?

10. Четырехтомное собрание сочинений Н.В. Гоголя расположено на полке в случайном порядке. Какова вероятность того, что

а) тома стоят по порядку номеров; б) хотя бы один том не стоит на своем месте?

16