5.Дайте определение дисперсии и среднего квадратического отклонения случайной величины. Какие свойства случайной величины характеризуют дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

6.Запишите формулы для нахождения числовых характеристик дискретной случайной величины.

7.Что такое непрерывная случайная величина?

8.Дайте определение закона распределения непрерывной случайной величины.

9.Как определяются математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины?

4.8.Примеры решения задач

1.Найти математическое ожидание, дисперсию

исреднее квадратическое отклонение случайной величины Х – числа стандартных деталей среди трех, отобранных из партии в 10 деталей, среди которых две бракованных.

Решение. Составим ряд распределения для Х. Из

условия задачи следует, что Х может принимать значения 1, 2, 3. Найдем соответствующие вероятности:

Тогда ряд распределения будет иметь вид:

Найдем числовые характеристики случайной величины Х:

•математическое ожидание

М(Х) =1 151 + 2 157 +3 157 = 2,4

•дисперсию

55

Вычислим значения квадрата отклонения каждого возможного значения от математического ожидания:

(1 – 2,4)2 = 1,96; (2 – 2,4)2 = 0,16; (3 – 2,4)2 = 0,36.

Следовательно,

Или вычислим дисперсию по более удобной формуле:

D(X ) = (12 151 + 22 157 +32 157 ) − 2,42 ≈ 0,373

•среднее квадратическое отклонение

σ= D(X ) = 0,373 ≈ 0,611.

2.Испытывается устройство, состоящее из четырех независимо работающих приборов. Вероятности отказа каждого из приборов равны соот-

ветственно р1 = 0,3; p2 = 0,4; p3 = 0,5; p4 = 0,6. Найти математическое ожидание и дисперсию числа отказавших приборов.

Решение. Принимая за случайную величину число отказавших приборов, видим, что эта случайная величина может принимать значения 0, 1, 2, 3 или 4.

Для составления закона распределения этой случайной величины необходимо определить соответ-

ствующие вероятности. Примем qi =1− pi .

1) Не отказал ни один прибор.

p(0) = q1q2 q3q4 = 0,7 0,4 0,5 0,4 = 0,084.

2) Отказал один из приборов.

p(1) = p1q2 q3q4 + q1 p2 q3q4 + q1q2 p3q4 + q1q2 q3 p4 = 0,302.

3) Отказали два прибора.

p(2) = p1 p2 q3q4 + p1q2 p3q4 + p1q2 q3 p4 + q1 p2 p3q4 +

+q1 p2 q3 p4 + q1q2 p3 p4 = 0,38.

4)Отказали три прибора.

56

p(3) = p1 p2 p3q4 + p1 p2 q3 p4 + p1q2 p3 p4 + q1 p2 p3 p4 = 0,198.

5) Отказали все приборы.

p(4) = p1 p2 p3 p4 = 0,036.

Получаем закон распределения:

Математическое ожидание:

M(X) = 0,302 + 2 0,38 +3 0,198 + 4 0,036 =1,8.

M(X 2 ) = 0,302 + 4 0,38 +9 0,198 +16 0,036 = 4,18.

Дисперсия:

функцию распределения F(x) и ее график.

Решение. Строим многоугольник распределения

(см. рис. 4.8.1):

Р

0,4

Рисунок 4.8.1 – Многоугольник распределения

57

Найдем интегральную функцию. Если x ≤ −1, то F(x) = 0.

Если −1< x ≤ 0 , то F(x) = P(x < 0) = P(x = −1) = 0,2 .

Если 0 < x ≤ 2 , то

F(x) = P(x < 2) = P(x = −1) + P(x = 0) = 0,2 +0,3 = 0,5 .

Если 2 < x ≤ 2,5 , то

F(x) = P(x < 2,5) = P(x = −1) + P(x = 0) + P(x = 2) = 0,2 +0,3 +0,4 = 0,9

Если x > 2,5, то F(x) =1, т.к. событие x ≤ 2,5

достоверное и его вероятность равна единице.

Таким образом, интегральная функция аналитически может быть записана так:

График этой функции имеет вид, представленный на рисунке 4.8.2.

В каждой точке X = xi функция имеет скачок, величина которого равна вероятности P(X = xi ) .

4. Задана непрерывная случайная величина х своей функцией распределения f(x).

Требуется определить коэффициент А, найти функцию распределения, определить вероятность того,

5. Для рассмотренного выше примера определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

Решение.

60