Следовательно,

P(B1/A) = P(A/B1)/P(A) = (5/12∙0,8)/(187/240)=80/187 ,

где по формуле полной вероятности найден знаменатель

P(A) = P(B1)P(A/B1) + P(B2)P(A/B2) + P(B3)P(A/B3) = (5/12)·0,8 + (1/3)·0,7 + (1/4)·0,85 = 187/240.

2.6. Задания для самостоятельного решения

Используя теоремы сложения и умножения вероятностей, решить задачи:

1.Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство, равна 0,9, второе – 0,95, третье – 0,85. Найти вероятность того, что при аварии сработает:

а) только два устройства б) хотя бы одно.

2.Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется высшего сорта, равна 0,75. Найти вероятность того, что среди трех проверенных изделий:

а) только два изделия высшего сорта; б) хотя бы одно изделие высшего сорта.

3.Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны: 0,3; 0,4; 0,6; 0,7.

4.Вероятности того, что нужная сборщику деталь находится в первом, втором, третьем ящике

29

соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятности того, что деталь содержится:

а) не более чем в двух ящиках; б) хотя бы в одном ящике.

5.Три исследователя, независимо один от другого, производят измерения некоторой физической величины. Вероятность того, что первый исследователь допустит ошибку, равна 0,1. Для второго и третьего исследователей эта вероятность соответственно равна 0,15 и 0,2. Найти вероятности того, что при однократном измерении:

а) хотя бы один из исследователей допустит ошибку;

б) только один исследователь допустит ошибку.

6.Три стрелка в одинаковых и независимых условиях произвели по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,9, вторым – 0,8, третьим – 0,7. Найти вероятность того, что:

а) только один из стрелков попал в цель; б) хотя бы два стрелка попали в цель.

7.Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри помещенного в круг квадрата со стороной а.

Предполагается, что вероятность попадания точки в часть круга пропорциональна площади этой части и не зависит от ее расположения относительно круга.

8. Вероятности того, что нужная формула имеется в первом, втором, третьем справочнике соответственно равны 0,9; 0,6; 0,7. Найти вероятности того, что формула содержится:

а) во всех трех справочниках; б) хотя бы в одном справочнике.

30

9.Три стрелка в одинаковых и независимых условиях произвели по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,8, вторым – 0,7, третьим – 0,6. Найти вероятность того, что:

а) только два попали в цель; б) хотя бы один стрелок попал в цель.

10.Быстро вращающийся диск разделен на 10

равных секторов, попеременно окрашенных в белый и черный цвет. По диску произведен выстрел. Найти вероятность того, что пуля попадет в один из белых секторов. Предполагается, что вероятность попадания пули в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры.

Используя формулу полной вероятности и формулу Бейеса, решить задачи:

1. Вероятность того, что клиент банка не вернет заем в период экономического роста, равна 0,04, в период экономического кризиса – 0,13. Предположим, что вероятность того, что начнется период экономического роста, равна 0,65. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный клиент банка не вернет полученный кредит?

2. При слиянии акционерного капитала двух фирм аналитики фирмы, получающей контрольный пакет акций, полагают, что сделка принесет успех с вероятностью, равной 0,65, если председатель совета директоров поглощаемой фирмы выйдет в отставку; если он откажется, то вероятность успеха равна 0,3. Предполагается, что вероятность ухода в отставку председателя составляет 0,7. Чему равна вероятность успеха сделки?

3. Агент по недвижимости пытается продать участок земли под застройку. Он полагает, что участок

31

в регионе не будет ухудшаться). Если же экономическая ситуация будет ухудшаться, то вероятность продать участок уменьшится до 0,5. Экономист, консультирующий агента, полагает, что с вероятностью, равной 0,7 экономическая ситуация в регионе в течение следующих шести месяцев будет ухудшаться. Чему равна вероятность того, что участок будет продан

втечение ближайших шести месяцев?

4.Три организации представили в контрольное управление счета для выборочной проверки: первая – 10 счетов, вторая – 20, третья – 15. Вероятности правильного оформления счетов у этих организаций соответственно равны: 0,95; 0,8; 0,9. Какова вероятность того, что выбранный счет правильный? Определить вероятность того, что этот счет принадлежит третьей организации.

5.Две перфораторщицы набили на разных перфораторах по одинаковому комплекту перфокарт. Вероятность того, что первая перфораторщица допустит ошибку, равна 0,05; для второй перфораторщицы эта вероятность равна 0,1. При сверке перфокарт была обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошиблась первая перфораторщица. (Предполагается, что оба перфоратора были исправны).

6.С первого станка на сборку поступает 40% , со второго 30%, с третьего 20%, с четвертого 10% деталей. Вероятность брака для каждого из станков 0,1; 0,2; 0,25; 0,5% соответственно. Найти вероятность P того, что поступившая на сборку деталь бракованная.

7.Вероятность того, что клиент банка не вернет заем в период экономического роста, равна 0,1, в период экономического кризиса – 0,25. Предположим, что

32

вероятность того, что начнется период экономического роста, равна 0,7. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный клиент банка не вернет полученный кредит?

8.Ткань проходит через четыре машины. Вероятность появления брака на первой машине равна 0,12; на второй – 0,1; на третьей – 0,15; на четвертой – 0,07. В конце ткани обнаружен брак. Какова вероятность того, что этот брак дала вторая машина?

9.Три организации представили в контрольное управление счета для выборочной проверки: первая – 20 счетов, вторая – 10, третья – 30. Вероятности правильного оформления счетов у этих организаций соответственно равны: 0,8; 0,9; 0,7. Какова вероятность того, что выбранный счет правильный? Определить вероятность того, что этот счет принадлежит второй организации.

10.В продажу поступают телевизоры трех заводов. Продукция первого завода содержит 20% телевизоров со скрытым дефектом, второго – 10% и третьего – 5%. Какова вероятность приобрести исправный телевизор, если в магазин поступило 30% телевизоров с первого завода, 20% – со второго и 50% –

стретьего?

33