Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания.

D(X) = M(X 2 ) −[M(X)]2 (4.3.7)

Применим эту формулу для рассмотренного выше примера:

M(X 2 ) = 0 0,0625 +1 0,375 + 4 0,5625 = 2,625

D(X) = 2,625 −[1,5]2 = 0,375

Свойства дисперсии:

1) Дисперсия постоянной величины равна нулю.

D(C) = 0 (4.3.8)

2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат.

D(CX) = C 2 D(X) (4.3.9)

3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

D(X +Y) = D(X) + D(Y) (4.3.10)

Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии.

σ(X) = D(X) (4.3.11)

4.4. Законы распределения дискретной случайной величины

4.4.1. Геометрическое распределение

Данное распределение соответствует задачам следующего вида: производится ряд независимых

47

опытов, которые продолжаются до первого появления события А, после чего опыты прекращаются. Случайная величина X – число проведенных опытов. При этом считается, что вероятность появления события А в одном опыте равна р. Тогда закон распределения вероятностей описывается следующей формулой:

Р(Х = m) = (1 – р)m-1р (m = 1, 2,...), (4.4.1.1)

которая и выражает геометрический закон распределения вероятностей.

Пример. Производится стрельба по цели до ее поражения. Вероятность поразить цель одним выстрелом равна 0.4. Требуется вычислить:

а) вероятность поражения цели третьим выстрелом;

б) вероятность поражения цели первыми пятью выстрелами.

Решение. Закон распределения вероятностей поражения цели n-ым выстрелом (X = n) удовлетворяет геометрическому закону распределения. Таким образом решение первой половины задачи находится из условия р = 0.4, m = 3:

Р(Х = 3) = (0.6)3-1 • 0.4 = 0.144.

Событие А – поражение цели с пяти выстрелов ни что иное как сумма пяти событий: поражения цели первым, вторым, ... , пяым выстрелами. Так как все эти события несовместны, то вероятность А удовлетворяет правилу сложения вероятностей. Таким образом, решение второй части задачи равно:

Р(А) = ∑5 P(Х = i) = 0,4 (1+0,6 +0,62 +0,63 +0,64 ) = 0,922

i=1

4.4.2. Биномиальное распределение

Пусть производится n последовательных независимых одинаковых испытаний, в каждом из которых

48

может наступить или не наступить событие А. Вероятность наступления события А в каждом испытании р, а события Ā - q = 1 – р. Такая постановка эксперимента носит название схема Бернулли.

Обозначим Рn(m) = Р (событие А наступило m раз в n испытаниях). Тогда

Pn (m) = Cnm pm (1− p)n−m , (4.4.2.1)

где Cnm – число сочетаний из m элементов по n, или

биномиальный коэффициент.

Этот закон распределения называется биномиальным законом распределения вероятностей.

Пример. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле из лука равна 1/3. Производится шесть выстрелов. Какова вероятность ровно трех попаданий? Какова вероятность не менее двух попаданий?

Решение. Обозначим А = {попадание при одном выстреле}, р = Р(А) = 1/3, q = 1 – р = 2/3. Число выстрелов n = 6. Так как выстрелы не зависят друг от друга, то ответ на первый вопрос находим по формуле Бернулли

Ответ на второй вопрос можно искать аналогично предыдущей задаче: просуммировать вероятности попаданий для каждого случая, начиная с двух и выше, по формуле (3). Однако можно поступить проще. Так как количество попаданий образует полную группу, то сумма всех вероятностей равна 1. Тогда ответ на вопрос следующий:

4.4.3. Распределение Пуассона

Говорят, что случайная величина X распределена по закону Пуассона, если вероятность того, что она примет определенное значение m, выражается формулой

Pn (m) = λm e−λ , (4.4.3.1) m!

где λ – некоторая положительная величина, называемая параметром закона Пуассона.

Пример. Средняя плотность болезнетворных микробов в одном кубическом метре воздуха равна 100. Берется на пробу 2 дм3 воздуха. Найти вероятность того, что в нем будет обнаружен хотя бы один микроб.

Решение. Принимая гипотезу о пуассоновском распределении числа микробов в объеме, находим, что λ = 0.2 (из расчета λ = 0.1 на 1 дм3). Очевидно, что вероятность события А («хотя бы один микроб в пробе») может быть вычислена как сумма

∞

Р(А) = Р1 + Р2 +... = ∑Pm ,

m=1

где Рm вычисляется по формуле Пуассона.

Однако здесь проще воспользоваться приемом, использованным нами ранее, и определить вероятность А из вероятности противоположного события:

Р(А) = 1 – Р(Ā) = 1 – Ро,

где Ро – вероятность того, что в пробе нет микробов. Из формулы Пуассона следует, что Ро = е-а (напомним, что 0! = 1). Тогда решение поставленной

задачи равно

Р(А) = 1 – е-0.2 ≈ 0.18.

50