|
∞ |
|
−π / 4 |
π / |
4 |
|
|
|
∞ |
|||||
M (X ) = ∫xf (x)dx = |
∫0dx + |
∫x cos 2xdx + ∫0dx = |
||||||||||||
|
−∞ |
|
−∞ |
|
−π / 4 |
|
|
π / 4 |
||||||
|
π / 4 |
u = x; |
dv |
= cos 2xdx; |
|
|||||||||
= ∫x cos 2xdx |
|
|
|
|
|
sin 2x |
|
|
= |
|||||
= |
|
|
|
|
|
|
||||||||
−π / 4 |
du = dx; v = |
|
|
|
; |
|
|
|||||||
2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
xsin 2x |
π |
/ 4 − π∫/ 4 sin 2x dx = cos 2x π |
/ 4 |
= 0. |
|||||||||
|
||||||||||||||
|
||||||||||||||
|
2 −π/ 4 |
−π/ 4 |
2 |
|
|
|
4 −π/ 4 |
|
||||||
|
|
∞ |
|
−π / 4 |
|
π / 4 |
|
|
∞ |
|||||
M (X 2 ) = ∫x2 f (x)dx = |
∫0dx + |
|
∫x2 cos 2xdx + ∫0dx = |
|||||||||||
|
|
−∞ |
|
|
−∞ |
|
−π / 4 |
|
|
π / 4 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
; |
dv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
π / 4 |
|
cos 2xdx |
|
u = x |
|
= cos 2xdx; |
= |
|
|
|||||||||||
|
∫x2 |
= |
|
2xdx; |
v = |
|
sin 2x |
|
|
|
||||||||||||
|
−π / 4 |
|
|
|
|
|
|
du = |
|
|
2 |
|
; |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 sin 2x π |
|
|
|
π / 4 |
|
|
|
|
u = x; |
|
sin 2xdx = dv; |
|||||||||
|
|
/ 4 |
|
|
∫x sin 2xdx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 2x |
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
−π / 4 |
−π / 4 |
|
|
|
|
du |
= dx; |
v |
= − |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
π 2 |
|
x cos 2x |
π |
/ 4 |
π / 4 |
cos 2x |
|
|
π |
2 |
|
sin 2x π |
/ 4 |
|||||||
= |
16 |
+ |
|
|
|
|
|
− |
∫ |
|
|
|
dx = |
|
|
− |
|
|
|
= |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
2 −π / 4 |
|
|
|
2 |
|
|
16 |
|
|
4 |
|
|
|||||||
|
|
|
−π / 4 |
|
|
|
|
|
|
−π / 4 |
||||||||||||
=π 2 − 1 = 0,1163. 16 2
D(X) = M(X 2 ) −[M(X)]2 = 0,1163 −0 = 0,1163.
; =
4.9. Задания для самостоятельного решения
1. Число телефонных звонков, поступающих в отделение «Скорой помощи» между полуднем и часом дня в любой день недели, есть случайная величина Х, заданная следующим образом:
xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
pi |
0,2 |
0,3 |
0,2 |
0,2 |
0,1 |
|
|
|
61 |
|
|
а) Найти функцию распределения случайной величины Х;
б) определить вероятность того, что между полуднем и часом дня поступит не более двух звонков; в) найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины Х.
2. Процент людей, купивших новое моющее средство после просмотра рекламы, есть случайна величина Х, заданная следующим образом:
xi |
0 |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
pi |
0,1 |
0,2 |
0,35 |
0,2 |
0,1 |
0,05 |
а) Найти функцию распределения случайной величины Х;
б) определить вероятность того, что более 20% людей откликнуться на рекламу;
в) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.
3. Число ошибок на страницу, которые делает некоторая машинистка, есть случайная величина Х, заданная следующим образом:
xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
pi |
0,02 |
0,18 |
0,3 |
0,25 |
0,15 |
0,1 |
а) Найти функцию распределения случайной величины Х;
б) определить вероятность того, что машинистка сделает более двух ошибок на страницу;
в) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.
4. Число иногородних судов, прибывающих ежедневно на загрузку в определенный порт, есть случайная величина Х, заданная следующим образом:
62
xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
pi |
0,1 |
0,25 |
0,4 |
0,15 |
0,05 |
0,05 |
а) Найти функцию распределения случайной величины Х;
б) определить вероятность того, что в определенный день прибудет от 1 до 3 судов (включая 1 и 3);
в) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.
5. Журнал «Деньги» в одном из номеров поместил информацию о том, что возврат инвестиций на российском рынке в 1990 году ожидался более высоким чем от аналогичных инвестиций на американском рынке. Консультант по инвестициям, советующий вкладывать средства в российский рынок, полагает, что вероятностное распределение возврата инвестиций (% в году) в один из таких проектов имеет вид:
xi |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
pi |
0,05 |
0,15 |
0,3 |
0,2 |
0,2 |
0,1 |
а) Найти функцию распределения случайной величины Х;
б) определить вероятность того, что возврат инвестиций будет составлять по крайней мере 12%;
в) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.
6. В автомагазине ведется ежедневная запись числа продаваемых машин. Эти данные использованы для составления вероятностного распределения следующих ежедневных продаж:
xi |
0 |
1 |
2 |
|
3 |
4 |
5 |
pi |
0,05 |
0,1 |
0,2 |
|
0,3 |
0,3 |
0,05 |
|
|
|
|
63 |
|
|
|
а) Найти функцию распределения случайной величины Х;
б) определить вероятность того, что завтра число проданных автомобилей будет от 2 до 4 (включая 2 и 4); в) найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины Х.
7. Число яхт, сходящих каждый месяц со стапелей маленькой верфи, есть случайная величина Х, заданная следующим рядом распределения:
xi |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
pi |
0,2 |
0,2 |
0,3 |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
а) Найти функцию распределения случайной величины Х;
б) определить вероятность того, что число яхт, построенных в следующем месяце, будет не менее четырех;
в) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.
8. Число дефектов в продукции, производимой автоматом, случайная величина Х, заданная рядом распределения:
xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
pi |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,2 |
0,15 |
0,05 |
а) Найти функцию распределения случайной величины Х;
б) определить вероятность того, что число дефектов не превысит 2;
в) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.
9. Число картин, нарисованных известным художником в течение года, есть случайная величина Х, заданная следующим рядом распределения:
64
xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
pi |
0,01 |
0,09 |
0,4 |
0,3 |
0,15 |
0,05 |
а) Найти функцию распределения случайной величины Х;
б) определить вероятность того, что в следующем году художник нарисует не менее трех картин;
в) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.
10. Непрерывная случайная величина X задана интегральной функцией
|
0 |
|
x ≤ 2 |
|
(x − 2) |
2 |
|
|
|
|
|
F(X ) = |
|
|
2 < x ≤5 |
9 |
|
||
|
|
x >5 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Найти: а) дифференциальную функцию f (x) и
построить ее график; б) вероятность того, что в результате испытания
X примет значение, принадлежащее интервалу (3,4); в) математическое ожидание M (X ) и среднее
квадратическое отклонение σ(X ) .
65