Тема 3. Повторные независимые испытания по схеме Бернулли
3.1. Формула Бернулли
Если производится некоторое количество испытаний, в результате которых может произойти или не произойти событие А, и вероятность появления этого события в каждом из испытаний не зависит от результатов остальных испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А.
Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, то вероятность Рп(m) того, что событие А наступит т раз в п независимых испытаниях, равна
Pn (m) = Cnm pm (1− p)n−m . (3.1.1)
Пример. По цели производится пять выстрелов. Вероятность попадания для каждого выстрела равна 0,4. Найти вероятность того, что в цель попали не менее трех раз.
Решение. Вероятность не менее трех попаданий складывается из вероятности пяти попаданий, четырех попаданий и трех попаданий.
Т.к. выстрелы независимы, то можно применить формулу Бернулли вероятности того, что в п испытаниях событие с вероятностью р наступает ровно т раз.
Pn (m) = m!(nn−! m)! pm (1− p)n−m (3.1.2)
В случае пяти попаданий из пяти возможных:
P5,5 = p5 = 0,45 = 0,01024
Четыре попадания из пяти выстрелов:
P4,5 = 45!!1! p4 (1− p) = 0,0768
34
Три попадания из пяти:
P3,5 = 3!5!2! p3 (1− p)2 = 0,2304
Окончательно, получаем вероятность не менее трех попаданий из пяти выстрелов:
P = 0,01204 + 0,0768 + 0,2304 = 0,31744
3.2. Формула Пуассона
Формула Бернулли удобна для вычислений лишь при сравнительно небольшом количестве испытаний n. При больших значениях n пользоваться этой формулой неудобно. Чаще всего в этих случаях используют формулу Пуассона.
Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и мала, а число независимых испытаний n достаточно велико, то вероятность того, что событие А наступит m раз, приближенно равна
Pn (m) = λm e−λ , где λ = np . (3.2.1) m!
Пример. Завод изготовил и отправил заказчику 100 000 бутылок лимонада. Вероятность того, что бутылка может оказаться битой, равна 0,0001. Найти вероятности того, что в отправленной партии будет три и пять битых бутылок.
Решение. Дано: n = 100 000, p = 0,0001, m = 3 (m
= 5).
Находим λ = np = 10. Воспользуемся формулой Пуассона:
35
P100000 (3) = 103 e−10 = 0,0075, 3!
P100000 (5) = 105 e−10 = 0,0375. 5!
3.3. Локальная и интегральная формулы МуавраЛапласа
Локальная теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и
отлична от 0 и 1, то вероятность Pn (m) того, что
событие А произойдет m раз в n независимых испытаниях при достаточно большом числе n, приближенно равна
где f (еx)
Чем
|
|
|
P (m) ≈ |
|
f (x) |
|
, (3.3.1) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n (p1− p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
|
|
e−x2 |
2 |
– функция Гаусса и x = |
|
m − np |
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2π |
|
|
np(1− p) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
больше n, тем точнее приближенная формула.
Интегральная теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна
и отлична от 0 и 1, то вероятность Pn (m) того, что
событие А произойдет m раз в n независимых испытаниях заключено в пределах от a до b (включительно), при достаточно большом числе n и приближенно равна
Pn (a ≤ m ≤ b) ≈ 12 [Ф(x2 ) −Ф(x1 )], (3.3.2)
36
где Ф(еx) = |
|
|
2 |
|
∫ч e−t2 |
2 d |
– функция Лапласа и |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
2π |
||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x = |
|
a − np |
|
|
, |
|
x |
2 |
= |
|
b − np |
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
np(1− p) |
|
|
|
|
|
|
np(1− p) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3.4.Контрольные вопросы
1.При решении каких задач применяется формула Бернулли?
2.Соответствуют ли данные испытания схеме Бернулли: проверка на годность изделий, взятых по одному из ряда партий, если в этих партиях процент брака одинаков?
3.Дайте определение найвероятнейшего числа появления события при повторных испытаниях и приведите правила его вычисления.
4.Приведите пример применения локальной теоремы Лапласа.
5.Чем различаются задачи, в которых требуется применение локальной и интегральной теорем?
6.Почему закон Пуассона называют законом редких событий?
7.Сделайте вывод: в каких случаях применяют формулу Бернулли, локальную теорему Лапласа, интегральную теорему Лапласа, формулу Пуассона?
8.Какую формулу надо применить для решения
задач:
1)Пусть вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,004. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей окажется пять нестандартных.
2)Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления события А в каждом испытании равна 0,2.
37