4.5. Распределение непрерывной случайной величины

Для характеристики непрерывной случайной величины используется функция распределения вероятностей.

Пусть х – действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что Х примет значение, меньшее х, т.е. Х < x, обозначим через F(x).

Определение. Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х.

F (x) = P(X < x) . (4.5.1)

Функцию распределения также называют интегральной функцией распределения.

Свойства функции распределения.

1) Значения функции распределения принадлежат отрезку [0, 1].

0 ≤ F (x) ≤1 (4.5.2)

2) F(x) – неубывающая функция.

F (x2 ) ≥ F (x1 ) при x2 ≥ x1 (4.5.3)

3) Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a, b), равна приращению функции распределения на этом интервале.

P(a ≤ X < b) = F (b) − F (a) (4.5.4)

4)На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности функция распределения равна единице.

5)Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю.

51

Кроме функции распределения для непрерывных случайных величин вводится понятие плотности распределения вероятностей, или плотности вероятности.

Определение. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется функция f(x) – первая производная от функции распределения F(x).

f (x) = F ′(x). (4.5.5)

Плотность распределения также называют дифференциальной функцией. Для описания дискретной случайной величины плотность распределения неприемлема.

Определение. Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) непрерывна на всей оси ОХ, а плотность распределения f(x) существует везде, за исключением, может быть, конечного числа точек.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b.

P(a < X < b) = ∫b f (x)dx (4.5.6)

a

Геометрически это означает, что вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ, кривой распределения f(x) и прямыми x = a и x = b.

Функция распределения может быть легко найдена, если известна плотность распределения, по формуле:

52

F (x) = ∫x f (x)dx (4.5.7)

−∞

Свойства плотности распределения:

1) Плотность распределения – неотрицательная функция.

f (x) ≥ 0 (4.5.8)

2) Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от -∞ до ∞ равен единице.

∞∫ f (x)dx =1. (4.5.9)

−∞

4.6. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a, b], называется определенный интеграл

M(X) = ∫b xf (x)dx (4.6.1)

a

Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой оси, то математическое ожидание находится по формуле:

M(X) = ∞∫xf (x)dx (4.6.2)

−∞

При этом конечно, предполагается, что несобственный интеграл сходится.

Определение. Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения.

53

D(X) = ∞∫[x − M(X)]2 f (x)dx (4.6.3)

−∞

По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для практического вычисления дисперсии используется формула:

D(X) = ∞∫x2 f (x)dx −[M(X)]2 (4.6.4)

−∞

Определение. Средним квадратичным отклонением называется квадратный корень из дисперсии.

σ(X) = D(X) (4.6.5)

4.7.Контрольные вопросы

1.Что такое дискретная случайная величина?

2.Дайте определение закона распределения дискретной случайной величины.

3.Определите, будут ли дискретными следующие случайные величины:

3.1.Число выбитых очков при стрельбе по

мишени.

3.2.Расстояние от точки попадания пули до центра мишени.

3.3.Продолжительность работы данной электронной лампы в данном электронном приборе.

3.4.Количество в данном приборе электронных ламп, вышедших из строя за данный промежуток времени.

3.5.Что называется функцией распределения случайной величины?

4. Что называется математическим ожиданием дискретной случайной величины? Что характеризует математическое ожидание?

54