1) На сборочный конвейер поступают детали с трех станков. На первом станке изготавливают 50% всех деталей, на втором – 30%, на третьем – 20%. Вероятность качественной сборки при использовании, изготовленной на первом, втором и третьем станке, соответственно 0,98; 0,95 и 0,8. Определить вероятность того, что узел, сходящий с конвейера, качественный.

2) На сборочный конвейер поступают детали с трех станков. На первом станке изготавливают 50% всех деталей, на втором – 30%, на третьем – 20%. Вероятность качественной сборки при использовании, изготовленной на первом, втором и третьем станке, соответственно 0,98; 0,95 и 0,8. Определить вероятности того, что в сборку попала деталь, изготовленная соответственно на первом, втором и третьем станке, если узел, сходящий с конвейера, качественный.

12. Для задач из пункта 11 сформулируйте гипотезы и найдите их вероятности.

2.5.Примеры решения задач

1.В магазин поступило 40 телевизоров. Известно, что 10 телевизоров импортные, но неизвестно

–какие. Найти вероятность того, что два наугад взятых телевизора будут импортными.

Решение. Вероятность того, что первый выбран-

ный телевизор будет импортным, находится как отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу возможных исходов: Р(А) = 10/40 = 1/4.

Если первый телевизор оказался импортным, условная вероятность того, что и второй телевизор будет импортным, определяется на основе соотношения Р(В/А) = 9/39.

Искомая вероятность Р(АВ) = Р(А)Р(В/А) = 14 399 . 22

2. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом справочнике равна 0,6; во втором – 0,7; в третьем – 0,8. Найти вероятность того, что эта формула содержится:

а) во всех трех справочниках; б) не менее, чем в двух справочниках.

Решение. Обозначим события Аi – формула содержится в i-ом справочнике (i=1,2,3);

а) В – формула содержится во всех трех справочниках.

Очевидно, В = А1А2А3, причем события А1, А2, А3

– независимы. По теореме умножения для независимых событий

Р(В) = Р(А1А2А3) = Р(А1)Р(А2)Р(А3) = = 0,6 * 0,7 * 0,8 = 0,336.

б) С – формула содержится не менее, чем в двух справочниках. Очевидно, что событие С означает, что формула содержится в любых двух из трех или во всех трех справочниках, то есть

С = А1А2 A3 + А1 A2 А3 + A1 А2А3 + А1А2А3,

и

Р(С) = 0,6 * 0,7 * 0,2+ 0,6 * 0,3 * 0,8 + 0,4 * 0,7 * 0,8 + 0,6

*0,7 * 0,8 = 0,788.

3.Вероятность того, что в магазине будет продана пара мужской обуви 44-го размера, равна 0,12; 45-го – 0,04; 46 и большего – 0,01. Найдите вероятность того, что будет продана пара мужской обуви 1) не меньше 44-го размера; 2).меньше 44-го размера.

Решение. 1) Искомое событие D произойдет, если будет продана пара обуви 44-го размера (событие А) или 45-го (событие В), или 46-го и большего (событие С), т.е. событие D есть сумма событий А, В, С.

23

События А, В, С несовместны. Поэтому согласно теореме о сумме вероятностей получаем Р(А) = Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) = 0,12 + 0,04 +

0,01 = 0,17.

2) События «будет продана пара мужской обуви не меньше 44-го размера» и «будет продана пара мужской обуви меньше 44-го размера» противоположные. Поэтому вероятность искомого события

P(D) =1− P(D) =1−0,17 = 0,83.

4. Два продавца независимо друг от друга обслуживают покупателей. Вероятность того, что первый продавец сумеет продать товар 0,3, а второй – 0,2. Какова вероятность того, что хотя бы один из продавцов реализует товар?

Решение. Событие А – хотя бы один из продавцов реализует товар если произойдет событие В – первый продавец реализует товар или событие С – второй продавец реализует товар: А = В + С. События В и С – совместные. Поэтому по теореме сложения вероятностей совместных событий искомая вероятность:

Р(А) = Р(В) + Р(С) – Р(ВС) = 0,3 + 0,2 – 0,3 * 0,2 = 0,44 5. Имеется три ящика, содержащих по 10

деталей. В первом ящике восемь, во втором семь и в третьем девять стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.

Решение. Вероятность того, что из первого ящика вынута стандартная деталь (событие А), P (A) = 8 / 10 =

0,8.

Вероятность того, что из второго ящика вынута стандартная деталь (событие В), Р (В) = 7 / 10 = 0,7.

Вероятность того, что из третьего ящика вынута стандартная деталь (событие С), Р (С) = 9 / 10 = 0,9.

24

Так как события А, В и С независимые в совокупности, то искомая вероятность (по теореме умножения) равна

Р (АВС) = Р (А) Р (В) Р (С) = 0,8 * 0,7 * 0,9 = 0,504.

6. У сборщика имеется три конусных и семь эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков – конусный, а второй – эллиптический.

Решение. Вероятность того, что первый валик окажется конусным (событие A), Р(А) = 3/10. Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим (событие В), вычисленная в предположении, что первый валик – конусный, т. е. условная вероятность

РA (В) = 7/9.

По теореме умножения, искомая вероятность

Р(АВ) = Р(А) РA (В) = (3 / 10) * (7 / 9) = 7/30.

7. В урне пять белых, четыре черных и три синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие A), при втором – черный (событие В) и при третьем – синий (событие С).

Решение. Вероятность появления белого шара в первом испытании Р (A) = 5 / 12.

Вероятность появления черного шара во втором испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, т.е. условная вероятность PA(B) = 4 / 11.

Вероятность появления синего шара в третьем испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, а во втором – черный, т.е. условная вероятность РAB (С) = 3 / 10.

Искомая вероятность Р (ABC) = Р (A) PA(В)

РAB(С) = (5/12) * (4/11) * (3/10) = 1/22. 25

8. В урне три белых и три черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).

Решение. После первого испытания в урне осталось пять шаров, из них три белых. Искомая условная вероятность РA (В) = 3/5.

9. В зрительном зале два вентилятора, которые включаются независимо друг от друга. Вероятность того, что вентилятор включен в момент времени t, равна: 0,8 для одного и 0,6 для второго. Какова вероятность того, что в момент времени t включен только один их этих вентиляторов?

Решение. Пусть А – интересующее нас событие, состоящее в том, что в момент времени t в зале включен только один вентилятор.

Ai – событие, состоящее в том, что в момент времени t в зале включен i-й вентилятор; i = 1, 2.

Тогда А = А1 А2 + А1 А2

Так как A представлено в виде суммы несовместных событий, каждое из которых – произведение независимых событий; то

Р(А) = Р(А1 А2 ) + Р(А1 А2 ) = Р(А1 )Р(А2 ) + Р(А1 )Р(А2 ) = 0,8·0,4 + 0,2·0,6 = 0,44.

10. Рабочий обслуживает четыре станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа внимания рабочего потребует первый станок, равна 0,1, второй – 0,2, третий – 0,15, четвертый – 0,12. Какова вероятность того, что в течение часа:

а) ни один станок не потребует внимания рабочего;

26

Решение. Пусть событие Ak означает, что k-й станок (k = 1,2,3,4) в течение часа потребует внимания рабочего. Тогда согласно условию имеем

P(A1) = 0,1; P(A2) = 0,2; P(A3) = 0,15; P(A4) = 0,12.

Найдем вероятность противоположного события Аk , когда k-й станок в течение часа не потребует внимания рабочего:

P(A1) =1− P(A1) = 0,9 ; P(A2 ) = 0,8 ; P(A3 ) = 0,85 ;

P(A4 ) = 0,88 .

а) Событие B, состоящее в том, что ни один станок не потребует в течение часа внимания рабочего,

равно произведению событий А1, А2 , А3, А4 . C учетом

того, что эти события независимы, используем формулу умножения для независимых событий

Р(В) = Р(А1 А2 А3 А4 ) = Р(А1) Р(А2 ) Р(А3 ) Р(А4 ) =

0,9 0,8 0,85 0,88 ≈ 0,54 .

б) Событие С, состоящее в том, что из четырех станков хотя бы один потребует внимание рабочего, является противоположным событию B, следовательно,

его вероятность P(С) = 1 – P(B) = 1 – 0,54 = 0,46.

11. Детали для конвейерной линии поставляют четыре цеха, причем первый цех – 25% всех деталей, второй – 15%, третий – 20%, четвертый – 40%. Вероятность брака для первого цеха равна 0,2; второго 0,15; третьего – 0,17; четвертого – 0,25. Контролер ОТК взял для проверки одну деталь. Какова вероятность того, что она не имеет брака?

Решение. Пусть А – интересующее нас событие, состоящее в том, что деталь не имеет брака.

27

Гипотезы: Вi – событие, состоящее в том, что деталь изготовлена i-м цехом; i = 1, 2, 3, 4. В данном случае можно применить формулу полной вероятности.

P(B1) = 25/100 = 0,25 P(A/B1) = 1 - 0,2= 0,8; P(B2) = 15/100 = 0,15 P(A/B2) = 1 - 0,15 = 0,85; P(B3) = 20/100 = 0,2 P(A/B3) = 1 - 0,17 = 0,83; P(B4) = 40/100 = 0,4 P(A/B4) = 1 - 0,25 = 0,75.

Таким образом,

P(A) = P(B1)P(A/B1) + P(B2)P(A/B2) + P(B3)P(A/B3) + P(B4)P(A/B4) = 0,25·0,8 + 0,15·0,85 + 0,2·0,83 + 0,4·0,75 = 0,7935.

12. В магазине «Товары для дома» к моменту прихода покупателя было: 25 пылесосов марки «Уралец», 20 пылесосов марки «Ракета» и 15 пылесосов марки «Чайка». Вероятность того, что пылесос не сломается в период гарантийного срока, равна: 0,8 для «Уральца»; 0,7 для «Ракеты»; 0,85 для «Чайки». Покупатель приобрел один пылесос, который не сломался в период гарантийного срока. Какова вероятность того, что это – «Уралец»?

Решение. Пусть А – событие, состоящее в том, пылесос не сломался в период гарантийного срока. Гипотезы:

B1 – событие, состоящее в том, что куплен пылесос марки «Уралец»;

B2 – событие, состоящее в том, что куплен пылесос марки «Ракета»;

B3 – событие, состоящее в том, что куплен пылесос марки «Чайка».

Так как событие А уже произошло, используем формулу Бейеса

28