3)Вероятность того, что деталь изготовлена с нарушениями стандартов равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей нестандартных окажется от 70 до 100 деталей.

4)Найти вероятность того, что в семье с шестью детьми два мальчика.

3.5.Примеры решения задач

1.По цели производится пять выстрелов. Вероятность попадания для каждого выстрела равна 0,4. Найти вероятность того, что в цель попали не менее трех раз.

Решение. Вероятность не менее трех попаданий

складывается из вероятности пяти попаданий, четырех попаданий и трех попаданий. Т.к. выстрелы независимы, то можно применить формулу Бернулли вероятности того, что в n испытаниях событие с вероятностью р наступает ровно k раз.

В случае пяти попаданий из пяти возможных:

P5,5=p5=0,45=0,01024.

Четыре попадания из пяти выстрелов:

Р4,5 = 45!1!! р4q = 45!1!! р4 (1− р) = 0,0768 .

Три попадания из пяти:

Р3,5 = 35!2!! р3q2 = 35!2!! р3 (1− р)2 = 0,2304

Окончательно, получаем вероятность не менее трех попаданий из пяти выстрелов:

Р= 0,01204 + 0,0768 + 0,2304 = 0,31744.

2.Найти вероятность того, что 80 из 1000 приобретут мужскую обувь, если вероятность покупки обуви p = 0,11 (по данным из наблюдений за предыдущий период).

38

Решение. Применим локальную теорему Лапласа (так как n велико).

Таким образом, только в 404 случаях из 1 млн. ровно 80 из 1000 посетителей приобретут мужскую обувь.

3. Найти вероятность приобретения покупателями мужской обуви от 80 до 120 человек из 1000.

Решение. Применим интегральную теорему Лапласа.

k1 =3.03 k2 =1.01

φ(3.03)=0.9976

φ(1.01)=0.6875

P80−120,1000 (А)= 12φ(3.03)+ 12φ(1.01)= 12 0.9976 + 12 0.6875 =0.8426

Таким образом, в 84 случаях из 100.

4.Для обслуживания покупателей супермаркета

вчас пик без очередей должно работать не менее шести контролеров-кассиров из восьми. Вероятность отсут-

39

ствия одного из работников составляет 0,1. Найти вероятность работы расчетно-кассового узла без очередей.

Решение. q = 0,1; p = 1 – 0,1 = 0,9.

Поскольку нас устраивает работа 6, 7, 8 кассовых кабин, то вероятность появления одного из этих несовместных событий будет определяться по формуле сложения вероятностей. Каждая из этих вероятностей может определяться по формуле Бернулли.

= 68!!2! p6 q2 + 78!!1! p7 q + 8!80!! p8 =0.149 +0.382 +0.43 =0.96

Таким образом, в 96 случаях из 100 очередей не будет.

3.6. Задания для самостоятельного решения

1.Вероятность появления события А в каждом из 15000 независимых испытаний равна 0,4. Найти вероятность того, что число появления события заключено между 5700 и 6300.

2.В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей:

а) два мальчика; б) не более двух мальчиков.

Вероятность рождения мальчика принять равной

0,51.

3.Завод выпускает в среднем 70% изделий со знаком качества. Найти вероятность того, что в партии из 1000 изделий число изделий со знаком качества заключено между 650 и 750.

4.В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей более двух мальчиков. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51.

40

5.Игральную кость бросают 720 раз. Какова вероятность того, что при этом три очка выпало 120 раз?

6.Найти вероятность того, что событие А появится не менее трех раз в четырех независимых испытаниях, если вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4.

7.Вероятность изготовления деталей первого сорта равна 0,8. Найти вероятность того, что из 60 взятых деталей 48 окажутся первого сорта.

8.Производство дает 1% брака. Какова вероятность того, что из взятых на исследование 1100 изделий бракованных будет не более 17?

9.Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит более двух разбитых бутылок.

10.Найти вероятность того, что при 100 бросках монеты орел выпадет не менее 75 раз.

41