Тема 2. Зависимые и независимые случайные события. Теоремы умножения и сложения вероятностей и их следствия

2.1. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Теорема (сложения вероятностей несов-

местных событий). Вероятность суммы конечного числа несовместных событий А1, А2, …, Аn равна сумме вероятностей этих событий.

P(A1 + A2 +... + An ) = P(A1 ) + P(A2 ) +... + P(An ) . (2.1.1)

Следствие 1: Если события A1 , A2 ,..., An

образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице.

n

∑P(Ai ) =1 (2.1.2)

i=1

Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

P(A) + P(A) =1 (2.1.3)

Определение. Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается Р(А/В).

Если вероятность события А рассматривается при условии, что произошли два других события В и С, используется условная вероятность относительно произведения событий В и С: Р(А/ВС).

Теорема (умножения вероятностей).

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

Р(АВ) = Р(А)Р(В/А) = Р(В)Р(А/В). (2.1.4)

17

Следствие. Вероятность произведения конечного числа событий равна произведению их условных вероятностей относительно произведения предшествующих событий, то есть:

Р(АВС…LM) = Р(А)Р(В/А)P(C/AB)…P(M/ABC…L). (2.1.5)

Если вероятность события В не зависит от того, произошло событие А или нет, то событие В называется независимым от события А, то есть

Р(В/А) = Р(В). (2.1.6)

Впротивном случае событие В называется зависимым от события А.

Вслучае независимых событий вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий:

Р(АВ) = Р(А)Р(В). (2.1.7)

Теорема (сложения вероятностей совместных событий). Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ). (2.1.8) Например, вероятность приезда такси из

автопарка № 1 Р(А) = 0,7, а из автопарка № 2 Р(В) = 0,8. Эти события независимы и совместны. Тогда вероятность приезда хотя бы одного из этих такси

Р(А + В) = 0,7 + 0,8 – 0,7 * 0,8 = 0,94.

2.2. Формула полной вероятности

Теорема. Вероятность события А, которое может произойти вместе с одним из событий H1 , H2 ,..., Hn ,

образующих полную группу, равна сумме парных произведений вероятностей каждого из этих событий на

18

соответствующие им условные вероятности наступления события А.

n

P(A) = ∑P(Hi )P(A/ Hi ) (2.2.1)

i=1

Например, в магазин поступает одна и та же продукция от трех предприятий и в разном количестве. От первого предприятия поступило 30 изделий, от второго – 50 и от третьего – 20. Вероятности некачественного изготовления изделия на предприятиях соответственно равны 0,02; 0,03 и 0,05. Случайным образом отбирается одно изделие. Для определения вероятности того, что это изделие некачественное (событие А) используется формула полной вероятности.

Здесь события H1 , H2 , H3 – это выбор изделия из

продукции соответствующего предприятия. Тогда

P(H1 ) = 0,3; P(H 2 ) = 0,5; P(H3 ) = 0,2 .

По формуле полной вероятности получим:

P(A) = 0,3 0,02 + 0,5 0,03 +0,2 0,07 = 0,035 .

2.3. Формула Бейеса (формула гипотез)

Пусть имеется полная группа несовместных гипотез H1 , H2 ,..., Hn с известными вероятностями их

наступления P(H1 ), P(H2 ),..., P(Hn ) . Пусть в результате

опыта наступило событие А, условные вероятности которого по каждой из гипотез известны, т.е. известны

вероятности P(A/ H1 ), P(A/ H2 ),..., P(A/ Hn ) .

Требуется определить, какие вероятности имеют гипотезы H1 , H2 ,..., Hn относительно события А, т.е.

условные вероятности P(Hi / A) .

Теорема. Вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испы-

19

тания на соответствующую ей условную вероятность события, которое произошло при испытании, деленному на полную вероятность этого события.

i=1

Пример. Три компьютерные фирмы представили в контрольное управление компьютеры для выборочной проверки: первая – 20 компьютеров; вторая – 30 компьютеров; третья – 50 компьютеров. Вероятности того, что компьютеры без брака у этих фирм соответственно равны: 0,8; 0,9; 0,7. Был выбран один компьютер, и он оказался без брака. Определить вероятность того, что этот компьютер принадлежит третьей фирме.

Решение. Здесь события H1 , H 2 , H3 – это выбор

компьютера соответственно у первой, второй и третьей фирмы. Вероятности этих событий таковы:

P(H1 ) = 10020 = 0,2; P(H 2 ) = 10030 = 0,3; P(H3 ) = 10050 = 0,5 .

По формуле полной вероятности определяем вероятность выбора компьютера без брака (событие А):

P(A) = 0,2 0,8 + 0,3 0,9 + 0,5 0,7 = 0,78.

По формуле Байеса находим искомую вероятность:

P(H3 / A) = 0,5 0,7

0,78

2.4.Контрольные вопросы

1.Сформулируйте теоремы сложения для несовместных и совместных событий.

2.Мишень состоит из трех кругов, в которые стрелок попадает согласно вероятностям 0,2; 0,2; 0,1.

20

Стрелок делает один выстрел. Что более вероятно: возможность попасть или нет?

3.Бросают две монеты. Какова вероятность выпадения хотя бы одного герба?

4.Какие события называются независимыми? Приведите примеры зависимых и независимых событий.

5.Что такое условная вероятность? Как записывается условная вероятность.

6.Сформулируйте теоремы умножения для независимых и зависимых событий.

7.Вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет в цель, равна 0,8. Стрелок сделал два выстрела. Найдите вероятность того, что при двух выстрелах стрелок попал в цель.

8.Мяч трижды бросают в баскетбольную

корзину. События А1, А2,А3 означают: А1 – при первом броске мяч попал в корзину, А2 – при втором броске мяч попал в корзину, А3 – при третьем броске мяч попал в корзину. Запишите через события А1, А2,А3 следующие события:

1) В – мяч попал в корзину все три раза.

2) С – мяч ни одного раза не попал в корзину. 3) D – мяч хотя бы один раз попал в корзину.

4) К – мяч попал в корзину только при первом броске.

5) М – мяч попал в корзину только при втором и третьем броске.

9.Что такое полная вероятность? В каких случаях применяется формула полной вероятности?

10.Для чего применяется формула Бейеса? В каких случаях ее можно применять?

11.Для данных задач определите, какую формулу надо применить для нахождения вероятности:

21