Тема 4. Случайные величины и их числовые характеристики

4.1. Случайные величины

Величина называется случайной, если в результате опыта она может принимать любые заранее неизвестные значения. Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные.

Величина называется дискретной, если она может принимать определенные, фиксированные значения (множество ее значений конечное, или бесконечное, но счетное).

Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать значения, сколь угодно мало отличающиеся друг от друга (бесконечное несчетное множество значений которой есть некоторый интервал (конечный или бесконечный) числовой оси).

Случайная величина обычно обозначается прописной латинской буквой (X, Y), ее конкретные значения – строчными буквами (x, y).

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины

исоответствующими им вероятностями.

4.2.Распределение дискретной случайной величины

Пусть дискретная случайна величина X может принимать n значений х1, х2,…, хn. И заданы вероятности появления указанных значений р1, р2, …, рn.

Для дискретной случайной величины закон распределения может быть задан в виде таблицы, аналитически (в виде формулы) и графически. Простейшая форма задания закона распределения дискретной случайной величины – это таблица

42

(матрица), в которой перечислены в порядке возрастания все возможные значения случайной величины и соответствующие их вероятности, то есть:

Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины.

События Х = х1, Х = х2,…, Х = n образуют полную

Например, вероятность выигрыша по билету «Спортлото» равна 0,2. Составим закон распределения числа выигравших билетов для участника лотереи, купившего два билета. Возможные значения случайной величины Х – число выигравших билетов – 0, 1, 2.

Пусть Ai – событие, состоящее в том, что участник выиграет по i-ому билету (i = 1,2). Тогда вероятности того, что участник выиграет по 0, 1, 2 билетам, будут соответственно равны:

P(X = 0) = P(A1 A2 ) = P(A1 )P(A2 ) = (1−0,2) (1−0,2) = 0,64;

P(X =1) = P(A1 A2 + A1 A2 ) = P(A1 )P(A2 ) + P(A1 )P(A2 ) = = 0,2 (1−0,2) +(1−0,2) 0,2 = 0,32;

P(X = 2) = P(A1 A2 ) = P(A1 )P(A2 ) = 0,2 0,2 = 0,04

Тогда ряд распределения случайной величины X имеет вид:

Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не

43

меняется от того, какие возможные значения приняла другая величина.

Интегральной функцией распределения

называют функцию F(x) , определяющую для каждого

значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x , т.е.

F(x) = P(X < x) . (4.2.1)

Интегральная функция обладает следующими свойствами:

Свойство 1. Значения интегральной функции принадлежат отрезку [0;1] : 0 ≤ F(x) ≤1.

Свойство 2. Интегральная функция есть

неубывающая функция, т.е. F(x2 ) ≥ F(x1 ) , если x2 ≥ x1 . Следствие. Вероятность того, что случайная

величина X примет значение, заключенное в интервале (a;b) , равна приращению интегральной функции на этом

интервале:

P(a < X <b) = F(b) − F(a) . (4.2.2)

График функции распределения дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид.

4.3. Числовые характеристики дискретных случайных величин

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности.

n

M x = M (X ) = x1 p1 + x2 p2 +... + xn pn = ∑xi pi (4.3.1)

i=1

Математическое ожидание случайной величины – это постоянная величина, которая показывает, какое значение случайной величины можно ожидать в среднем при проведении серии опытов.

44

Например, на склад ежедневно поступает не более четырех телевизоров. Известны вероятности их поступления

р0 = 0,2, р1 = 0,1, р2 = 0,4, р3 = 0,2, р 4= 0,1.

Тогда, математическое ожидание числа поступлений телевизоров равно

M x = 0 0,2 +1 0,1+ 2 0,4 +3 0,2 + 4 0,1 =1,9.

Свойства математического ожидания:

1)Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной

М(С) = С . (4.3.2)

2)Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания

M (CX ) = CM (X ) . (4.3.3)

3) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

M(XY) = M(X)M(Y) (4.3.4)

Это свойство справедливо для произвольного числа случайных величин.

4) Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.

M (X +Y ) = M (X ) + M (Y ) (4.3.5)

Это свойство также справедливо для произвольного числа случайных величин.

Следствие. Математическое ожидание отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания равно нулю.

Например, пусть X и Y независимые случайные величины с математическими ожиданиями М(X) = 2, М(Y) = 5. Математическое ожидание случайной

45

величины 3X – 2Y + XY находим, используя свойства математического ожидания:

М(3X – 2Y + XY) = М(3X) – М(2Y) + М(XY) =

3М(X) – 2М(Y) + М(X)М(Y) = 3 2 – 2 5 + 2 5 = 6.

Определение. Дисперсией (рассеиванием) дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X) = M[X − M(X)]2 (4.3.6)

Например, найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины, заданной законом распределения:

Математическое ожидание случайной величины равно:

M(X) = 0 0,0625 +1 0,375 + 2 0,5625 =1,5

Возможные значения квадрата отклонения:

Тогда

Дисперсия равна:

D(X) = 2,25 0,0625 + 0,25 0,375 + 0,25 0,5625 = 0,375 .

Однако, на практике подобный способ вычисления дисперсии неудобен, т.к. приводит при большом количестве значений случайной величины к громоздким вычислениям. Поэтому применяется другой способ.

46