Математика для студентов-медиков. В 4 частях. Ч.1. Начала линейной алгебры. Учебное пособие

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Механико-математический факультет

Институт медицины и психологии В. Зельмана

Ж. Л. Мальцева, С. В. Мальцева, О. В. Рязановская

МАТЕМАТИКА ДЛЯ СТУДЕНТОВ-МЕДИКОВ

Часть 1. Начала линейной алгебры

Учебное пособие

Новосибирск

2023

ОГЛАВЛЕНИЕ

1.2.Формула Муавра и ее обращение . . . . . . . . . . . 11

1.3.Примеры задач с решениями . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . 16

2.1.Основные понятия и действия с многочленами . . . 17

2.2.Корни многочленов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3. Формулы Виета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4.Разложение на простейшие дроби . . . . . . . . . . . 23

2.5.Примеры задач с решениями . . . . . . . . . . . . . . 27

2.6.Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . 33

3.1.2. Свойства определителя . . . . . . . . . . . . . 38

3.2.Миноры и алгебраические дополнения . . . . . . . . 42

3.3.Обратная матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.4.Примеры задач с решениями . . . . . . . . . . . . . . 50

3.5.Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . 61

4.1.Операции над векторами . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.2.Линейное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.3.Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.3.1.Скалярное произведение . . . . . . . . . . . . 70

4.3.2.Векторное произведение . . . . . . . . . . . . 72

4.3.3. Смешанное произведение . . . . . . . . . . . 74

4.4.Примеры задач с решениями . . . . . . . . . . . . . . 75

4.5.Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . 80

3

5.1.Основные понятия и определения . . . . . . . . . . . 82

5.2.Примеры задач с решениями . . . . . . . . . . . . . . 94

5.3.Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . 100

6.Собственные числа и собственные

6.1.Основные понятия и определения . . . . . . . . . . . 101

6.2.Примеры задач с решениями . . . . . . . . . . . . . . 107

6.3.Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . 111

4

1.Комплексные числа

Человечество с незапамятных времен пришло к необходимости вести счет. История возникновения натуральных чисел берет свое начало еще от первобытного общества. Вначале они использовались исключительно для практических целей: что-то подсчитать, измерить, т. е. помогали именно в том, что было нужно в практической деятельности людей. Число 0 появилось гораздо позже. Расширяя понятие числа, в VII в. до н. э. в Индии и Китае ввели понятие долга или недостачи. Позже такие числа назвали отрицательными. Когда возникла необходимость делить что-либо, появилось понятие доли или части целого, а вместе с ними и рациональных чисел. Развитие теории чисел в приложении к гео-

метрии в дальнейшем привело к понятию иррациональных чисел.

√

Так, сторона квадрата площади 2 получила обозначение 2. История возникновения комплексных чисел была самой слож-

ной среди других видов чисел. Первое их упоминание в истории связывают с именем Герона Александрийского. Тем не менее тогда эту идею посчитали абсурдной и развития она не получила. И лишь в XVI в. н. э. при вычислении корней уравнения (даже не квадратного, а третьей степени!) эти числа получили право на существование. Полная теория комплексных чисел была разработана сравнительно недавно — в XIX в. Именно тогда комплексные числа получили признание ученых. В самом деле, вскоре мы увидим, что комплексные числа являются обобщением вещественных и позволяют совершать гораздо больше математических действий. Область их применения значительно шире, чем можно было представить, имея в арсенале лишь вещественные числа.

5

1.1.Представление комплексных чисел и действия с ними

Для начала научимся “решать” уравнение z2 + 1 = 0. Для этого введем следующее обозначение. Пусть i — это такое число, которое при возведении в квадрат дает −1. Как известно, вещественные числа легко можно представить на прямой Ox (рис. 1).

-2 0 1 e p x

Рис. 1: Вещественная ось

Дополняя ось Ox осью Oy, получим плоскость, на которой точкой (парой чисел) будем изображать комплексные числа. Отметим, что изображение чисел и векторов на плоскости давно знакомо школьникам средних классов, но оно никак не связывалось с понятием комплексного числа. Теперь, имея аналогию с представлением точки на числовой прямой, можно определить действия с комплексными числами. Условимся записывать комплексные числа в алгебраической форме

где величина x отложена по оси Ox, а величина y — по оси Oy.

Определение. В записи (1.1) вещественное число x называется вещественной частью комплексного числа z и обозначается символом Re z, а вещественное число y — мнимой частью z и обозначается Im z.

Два комплексных числа z1 и z2 равны тогда и только тогда, когда Re z1 = Re z2 и Im z1 = Im z2. Таким образом, в декартовой прямоугольной системе координат Oxy всякому комплексному числу z = (x; y) = x + iy может быть поставлена в соответствие некоторая точка M(x; y) с абсциссой x = Re z и ординатой y = Im z. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью, ось Ox — действительной осью, Oy — мнимой (рис. 2).

6

Рис. 2: Комплексная плоскость

Определение. Число z = x −iy называют сопряженным к комплексному числу z = x + iy.

Расположение чисел z и z¯ приведено на рис. 3.

y z

Рис. 3: Сопряженные комплексные числа

Очевидно, что для любых комплексных чисел z1, z2 справедливы соотношения

(z1 ± z2) = z1 ± z2,

(z1z2) = z1 z2,

()

z1 = z1 , z2 z2

(z) = z.

Для чисел z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2 определим операцию сложения по формуле

z = z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2).

7

Это действие аналогично сложению векторов, и его результат легко изобразить на комплексной плоскости (рис. 4).

y z1 + z2 z2 z

z1

x

0

Рис. 4: Сложение комплексных чисел

Операцию умножения определим перемножением скобок с учетом равенства i2 = −1,

(x1 + iy1)(x2 + iy2) = x1x2 + iy1x2 + ix1y2 − y1y2.

Выделяя вещественную и мнимую части произведения, получим результат в алгебраической форме:

z1z2 = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + x2y1).

Операцию деления числа z1 на z2 определим как обратную к

умножению. Пусть

z = x + iy = z1 , z2

тогда

z1 = zz2.

Отсюда

(x + iy)(x2 + iy2) = x1 + iy1,

xx2 − yy2 + i(xy2 + yx2) = x1 + iy1.

Приравнивая вещественные и мнимые части комплексных чисел, получим систему уравнений для определения x и y,

{

xx2 − yy2 = x1, xy2 + yx2 = y1.

8

Таким образом,

z = x1x2 + y1y2 + ix2y1 − x1y2 .

x22 + y22

Этот же результат можно получить из следующей цепочки равенств, домножая числитель и знаменатель на число, сопряженное к знаменателю:

Как и для действительных чисел, модулем комплексного числа назовем его расстояние до начала координат,

√

|z| = x2 + y2.

Из определения модуля легко вывести, что для любых комплексных чисел z1, z2 справедливы соотношения

|z1z2| = |z1||z2|,

Определение. Аргументом комплексного числа z = x + iy и z ≠ 0 называется угол между действительной осью и радиусвектором точки с координатами (x; y), который отсчитывают от положительного направления действительной оси и обозначают φ = Arg z.

Величина угла φ считается положительной, если отсчет ведется против часовой стрелки, если по часовой — отрицательной.

9

Для числа z = 0 аргумент не определен. Для каждого числа z аргумент определяется неоднозначно, с точностью до величины, кратной 2π. Всякое ненулевое комплексное число z = x+iy может быть записано в тригонометрической форме z = r(cos φ + i sin φ), где

дует, что аргумент комплексного числа удовлетворяет соотноше-

Значение Arg z, удовлетворяющее условию 0 ≤ Arg z < 2π, называется главным значением аргумента и обозначается символом arg z.

Комплексные числа z1 и z2, записанные в тригонометрической

Основываясь на известных из школьной программы тригонометрических соотношениях, легко получить удобную формулу умножения комплексных чисел z1 и z2, записанных в тригонометри-

= r1(cos φ1 + i sin φ1)(cos φ2 − i sin φ2) = r2(cos2 φ2 + sin2 φ2)

=r1 (cos(φ1 − φ2) + i sin(φ1 − φ2)). r2

10