Математика для студентов-медиков. В 4 частях. Ч.1. Начала линейной алгебры. Учебное пособие

3.5. Задачи для самостоятельного решения

4. ФС-224. Вычислить AAT , где

61

9.ФС-442c. Найти ранг матрицы

62

4.n-мерные векторные пространства

Определение. Вектор — упорядоченная совокупность из n действительных (ak R) или комплексных (ak C) чисел,

a1

a2

a = (a1, a2, . . . , an) или a = . .

.. an

Векторы равны тогда и только тогда, когда равны их координаты:

a = b ak = bk, k = 1, . . . , n.

Определение. Нулевой вектор 0 = (0, 0, . . . , 0).

4.1.Операции над векторами

1.Операция сложения возможна только для векторов одинаковой размерности:

a + b = (a1 + b1, a2 + b2, . . . , an + bn).

2. Операция умножения на число:

λa = (λa1, λa2, . . . , λan).

Нижеперечисленные свойства операций над векторами вытекают непосредственно из определений операций и свойств действительных и комплексных чисел — компонент векторов:

1.a + b = b + a;

2.(a + b) + c = a + (b + c);

3.a + 0 = 0 + a = a;

4. существует вектор −a такой, что a + (−a) = 0;

63

5.(λµ)a = λ(µa);

6.(λ + µ)a = λa + µa;

7.λ(a + b) = λa + λb;

8.1 · a = a.

4.2.Линейное пространство

Определение. Назовем линейной комбинацией векторов выражение

c1a1 + c2a2 + . . . + ckak.

Здесь ci, i = 1, ..., k, — числовые коэффициенты, вещественные или комплексные.

Определение. Говорят, что векторы образуют линейное подпространство L пространства Rn, если для любых двух элементов

u L, v L

и любых чисел λ и µ линейная комбинация

λu + µv

является элементом L.

64

Пример. Проверьте, что совокупность всех векторов размерности n образует линейное пространство.

Обозначение Rn используют для линейного пространства всех векторов размерности n над множеством действительных чисел, т. е. векторов вида

x = (x1, x2, . . . , xn), xi R.

Обозначение Cn используют для линейного пространства всех векторов размерности n над множеством комплексных чисел, т. е. векторов вида

z = (z1, z2, . . . , zn), zi C.

Определение. Система векторов a1, a2, . . . , ak называется линейно зависимой, если можно подобрать коэффициенты ci, не все равные нулю, что

c1a1 + c2a2 + . . . + ckak = 0.

Определение. Систему векторов a1, a2, . . . , ak называют линейно независимой, если равенство

c1a1 + c2a2 + . . . + ckak = 0

возможно только при нулевых значениях постоянных ci, i = 1, ..., k.

Определение. Базис векторного пространства — совокупность линейно независимых векторов, через которую можно выразить любой элемент пространства. Число элементов базиса есть размерность векторного пространства.

Из данных выше определений следует, что размерность Rn равна n.

Вопрос исследования линейной зависимости системы векторов является важным при вычислении размерности пространства, натянутого на эти векторы.

Иногда линейная зависимость векторов очевидна, например, в следующих случаях.

65

1.Система векторов содержит нулевой вектор.

2.Среди набора векторов есть 2 одинаковых вектора или более.

3.Один из векторов пропорционален другому, т. е.

ai = λaj.

4.Если какой-то вектор очевидным образом выражается через остальные.

Определение. Линейной оболочкой векторов назовем подпространство, состоящее из всевозможных линейных комбинаций этих векторов. Говорят, что это подпространство натянуто на исходную систему векторов.

В общем случае размерность пространства, натянутого на систему векторов, равна рангу матрицы, составленной из этих векторов. При приведении матрицы к ступенчатому виду число ненулевых строк совпадает с числом линейно независимых элементов в данной системе векторов.

Пример. Пусть задана система векторов

Составим матрицу, записывая данные векторы строками,

Будем проводить над строками элементарные преобразования, приводя матрицу к ступенчатому виду,

66

Здесь справа от матрицы записаны результаты элементарных преобразований строк.

Чтобы выписать линейную зависимость в явном виде, выпишем очевидное соотношение между второй и третьей строками матрицы из второго действия,

a3 − 2a1 = 2(a2 − 2a1),

отсюда

a3 − 2a1 = 2a2 − 4a1, a3 + 2a1 − 2a2 = 0, a3 = 2a2 − 2a1.

Упражнение. Доказать, что система векторов

линейно независима.

Пример 1. Выяснить, является ли система векторов

базисом линейного пространства, натянутого на данную систему. Ответ на данный вопрос очевиден без вычислений, поскольку предложенная система векторов размерности 3 линейно зависима. Среди векторов размерности 3 не может быть более трех линейно независимых векторов, а данная система состоит из четырех

элементов.

Пример 2. Найти базис линейного пространства, натянутого на систему векторов из примера 1. Как отмечалось выше, для этого из предложенной системы векторов достаточно выделить максимально возможную линейно независимую подсистему. Для определенности исследуем независимость первых трех векторов системы.

67

Для того чтобы определить, является ли эта совокупность линейно независимой, сформируем матрицу из вектор-строк и опре-

В последней матрице линейная независимость всех трех строк очевидна. Таким образом, первые три вектора в исходной совокупности векторов линейно независимы и, следовательно, могут рассматриваться как один из базисов линейного пространства, натянутого на исходную систему векторов.

Замечание. Поскольку линейное пространство содержит всевозможные линейные комбинации исходных векторов, то пространство, натянутое на вектор-строки преобразованной матрицы, совпадает с линейным пространством, натянутым на исходную систему векторов. Поэтому вектор-строки итоговой матрицы также могут рассматриваться в качестве одного из базисов линейной оболочки системы исходных векторов.

Упражнение. Если к векторам из примера 2

(3, −2, 1), (2, 1, 2)

добавить вектор

(0, 0, 0),

будет ли полученная тройка векторов являться базисом линейной оболочки системы из примера 2?

Теорема. Любой вектор из векторного пространства Rn раскладывается по заданному базису единственным образом.

Определение. Коэффициенты разложения вектора по базису называются координатами вектора в выбранном базисе. Координаты являются проекцией этого вектора на базисные векторы и зависят как от самого вектора, так и от выбора базиса.

68

Пример 4. Пусть даны векторы

и вектор

x = (6, 2, −7).

Определить, образуют ли векторы e1, e2, e3 базис. В случае положительного ответа определить координаты вектора x в этом базисе.

Для ответа на первый вопрос вычислим ранг матрицы, составленной из векторов e1, e2, e3,

Это следует из того, что определитель матрицы не равен нулю. (В качестве упражнения вычислите его любым удобным способом.) Таким образом, данная система векторов образует базис в пространстве векторов размерности 3. Значит, вектор x однозначным образом представим в виде линейной комбинации базисных векторов. Вычислим коэффициенты λi в разложении

Приравнивая координаты векторов в левой и правой частях равенства, получим систему уравнений

69

Решением системы является тройка чисел

λ1 = 1, λ2 = 1, λ3 = 1.

Таким образом,

x = e1 + e2 + e3.

Непосредственной проверкой можно проверить правильность полученного результата.

4.3.Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

4.3.1.Скалярное произведение

Определение. Скалярное произведение векторов определяется как

(a, b) ≡ a · b = |a| · |b| · cos φ.

Здесь |a|, |b| — длины векторов, φ — угол между векторами.

Определение. Два вектора называют ортогональными, если их

скалярное произведение равно нулю. Обозначается a b.

Как следствие, если скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю, то угол между ними равен π/2.

Определение. Базис, состоящий из попарно ортогональных векторов длины 1, называется ортонормированным.

Теорема. Если координаты векторов заданы в ортонормированной системе координат, то

∑n

a · b = aibi ≡ a1b1 + . . . + anbn.

i=1

Зная координаты векторов, можно определить угол между векторами.

Свойства скалярного произведения:

1.a · b = b · a;

70