Математика для студентов-медиков. В 4 частях. Ч.1. Начала линейной алгебры. Учебное пособие

y

0

x

Рис. 8: Многочлены шестой степени

ноль более чем в n точках, то он тождественно равен нулю.

Пример. Если многочлен y(x) = kx+b имеет 2 корня, то y(x) ≡ 0. Действительно, в этом случае мы имеем прямую, которая проходит через две точки на оси Ox.

Лемма. Если два многочлена Pn и Qm тождественно совпадают, то n = m и коэффициенты многочленов Pn(x) и Qn(x) при одинаковых степенях равны.

Пример. Если для любого x справедливо равенство

x3 + 2x2 + ax − 5 = αx4 + βx3 + γx2 + δ,

то, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, последовательно получим

0 = α, 1 = β, 2 = γ, −5 = δ.

2.3.Формулы Виета

При n = 2 для многочлена ax2 + bx + c имеем разложение на линейные множители

ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2).

Раскрывая скобки в правой части равенства и приравнивая коэффициенты при степенях переменной x, получим

a(x − x1)(x − x2) = a(x2 − x(x1 + x2) + x1x2) = ax2 + bx + c,

21

ратного уравнения. Аналогично можно получить соотношения для корней полинома любой степени. Например, проводя аналогичные рассуждения для многочлена третьей степени x3 + bx2 + cx + d, будем иметь

(x − x1)(x − x2)(x − x3) = x3 + bx2 + cx + d,

−

Для многочлена n-й степени anxn + an 1xn 1 + . . . + a1x + a0 также можно получить подобные соотношения. Важно заметить, что при an = 1 получим

(−1)nx1 · x2 · . . . · xn = a0.

Таким образом, целые корни многочлена можно искать подбором среди делителей свободного члена.

Пример. Решить уравнение

x4 − x3 − 7x2 + x + 6 = 0.

Будем искать корни среди делителей свободного члена, т. е. корнями могут быть числа ±1; ±2; ±3; ±6.

Подставляя x = 1, получим 14 − 13 − 7 · 12 + 1 + 6 = 0. Тогда исходный многочлен можно разделить на (x − 1) в столбик без остатка,

x4 − x3 − 7x2 + x + 6 = (x − 1)(x3 − 7x − 6).

Далее продолжим искать корни многочлена x3 − 7x − 6 таким же способом. Оставшийся многочлен второй степени легко раскладывается на множители. В итоге получим набор корней уравнения

x1 = 1, x2 = 3, x3 = −1, x4 = −2,

22

и многочлен раскладывается на множители следующим образом:

x4 − x3 − 7x2 + x + 6 = (x − 1)(x − 3)(x + 1)(x + 2).

2.4.Разложение на простейшие дроби

Определение. Дробь

Pn(x) = anxn + an 1xn 1 + ... + a1x + a0

Qm(x) bmxm + bm 1xm 1 + ... + b1x + b0

называется правильной, если n < m, и неправильной, если n ≥ m.

Определение. Простейшими дробями назовем выражения вида

где квадратный трехчлен x2 + px + q не имеет действительных корней (дискриминант соответствующего квадратного уравнения отрицателен).

Теорема о разложении правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей. Каждая рациональная дробь

Pn(x) ,

Qm(x)

знаменатель которой имеет вид

Qm(x) = (x − x1)m1 (x − x2)m2 . . . (x2 + p1x + q1)k,

может быть разложена и притом единственным образом на сумму простейших дробей по правилу

23

Здесь A1, . . . , Am1 ; B1, . . . , Bm2 ; C1, . . . , Ck; D1, . . . , Dk —

действительные постоянные числа, часть которых в разложении может обратиться в нуль. В частности, если в числителе правильной дроби стоит многочлен P (x) степени не выше 1, а в знаменателе — квадратный трехчлен с корнями x1 и x2, то

Заметим, что при разложении дроби на простейшие нас интересуют только вещественные корни знаменателя.

Приведем алгоритм разложения дроби Pn(x)/Qm(x) на простейшие.

1.Если степень числителя не меньше степени знаменателя, n ≥ m, то делением многочлена на многочлен выделяем целую часть.

Без ограничения общности будем считать, что исходная дробь является правильной и коэффициент при старшей степени знаменателя Qm(x) равен 1.

2.Находим вещественные корни знаменателя и представляем многочлен Qm(x) в виде произведения сомножителей вида

(x − a), (x − a)k, x2 + px + q, (x2 + px + q)m.

Множители вида x2+px+q и (x2+px+q)m возникают в случае, если рассматриваемый квадратный трехчлен не имеет действительных корней (дискриминант соответствующего квадратного уравнения отрицателен).

Таким образом, многочлен Qm(x) в знаменателе представляется в виде произведения

Qm(x) = (x − a1)k1 · (x − a2)k2 · . . . · (x − as)ks ×

×(x2 + p1x + q1)m1 · . . . · (x2 + prx + qr)mr .

3. Выписываем общий вид разложения (2.7) с неопределенными коэффициентами с учетом вида множителей и их кратности. Придерживаемся правила: в числителе степень многочлена на единицу меньше, чем степень основания знаменателя. Так, множителю

24

знаменателя (x−a)k в формуле (2.7) будет соответствовать сумма k простейших дробей

а множителю вида (x2 + px + q)m — сумма m дробей

4. Ищем неопределенные коэффициенты.

Для этого следует привести сумму простейших дробей к общему знаменателю.

Далее, поскольку из тождественного равенства многочленов следует равенство их соответствующих коэффициентов, получаем систему линейных уравнений для определения чисел A1, ..., Ak, C1, ..., Cm, D1, ..., Dm.

Замечание. Можно существенно упростить вычисления, подставляя вместо переменной x вещественные корни знаменателя.

Пример 1. Написать общий вид разложения на простые дроби выражения

P5(x)

(x − x1)(x − x2)3(x2 + 2x + 8)2 ,

где P5(x) — многочлен пятой степени, числовых значений коэффициентов не находить.

Заметим, что заданная дробь является правильной, поскольку степень знаменателя равна 6. Знаменатель уже представлен в виде произведения линейных множителей и квадратичного, не имеющего действительных корней.

Сучетом кратности корней выпишем следующее разложение

снеопределенными коэффициентами:

P5(x)

(x − x1)(x − x2)3(x2 + 2x + 8)2 =

A B C D

= x − x1 + x − x2 + (x − x2)2 + (x − x2)3 +

25

Пример 2.

Разложить на простые дроби

1

x2 − 1 .

Эта дробь также является правильной. Выпишем разложение с неопределенными коэффициентами и приведем полученную сумму простых дробей к общему знаменателю,

На этом примере проиллюстрируем оба способа нахождения неопределенных коэффициентов.

I способ. В соотношении (2.8) приравняем числители первой и последней дробей, сгруппировав коэффициенты при степенях переменной x,

1 = (A + B)x + (A − B).

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим систему линейных алгебраических уравнений

{

A + B = 0,

A − B = 1,

из которой получаем A = 12 , B = −12 . Таким образом,

II способ. Как и ранее, в соотношении (2.8) приравняем числители первой и последней дробей, получим

26

Полагая в этом равенстве x = −1, получим

1 = A(−1 + 1) + B(−1 − 1) = −2B,

откуда B = −1/2.

Далее, при x = 1 тождество (2.9) дает

1 = A(1 + 1) + B(1 − 1) = 2A,

откуда A = 1/2.

Замечание. Методы I и II можно комбинировать. В случае, когда знаменатель исходной дроби имеет кратные действительные корни и/или комплексные, нам не хватит "удобных" значений x. Тем не менее для оставшихся коэффициентов система уравнений будет иметь уже меньший порядок.

2.5.Примеры задач с решениями

1.Разделить многочлен 2x4 −3x3 +4x2 −5x+6 на x2 −3x+1.

Выполняя деление столбиком, получаем

Таким образом, результат деления записывается в виде

2x4−3x3+4x2 −5x+6 = (x2 −3x+1)·(2x2 +3x+11)+(25x−5).

2. Разделим многочлен 2x5 − 5x3 − 8x на x + 3.

27

1-й способ. Выполним деление столбиком, которое является универсальным способом деления на любой многочлен,

−6x4−5x3

−6x4−18x3 13x3+ 0x2 13x3+39x2

−39x2− 8x −39x2−117x

109x+ 0

109x+ 327 − 327

Таким образом, результат деления запишем как

2x5 −5x3 −8x = (x + 3) ·(2x4 −6x3 + 13x2 −39x + 109) −327.

2-й способ. Для деления на многочлен вида (x − a) можно применить схему Горнера.

Кратко опишем процедуру.

(a)В первой строке (отступив одну позицию) записаны коэффициенты исходного многочлена.

(b)В первой позиции второй строки записано число a, входящее в бином (x − a), на который производится деление.

(c)Во второй позиции второй строки повторяется значение коэффициента из первой строки, расположенное выше.

28

(d)Каждое следующее значение во второй строке находится рекуррентным путем: сумма числа, расположенного выше, и произведения значений числа a, стоящего в самой первой позиции, и предыдущего числа в строке (полученное на шаг ранее).

Коэффициенты частного, полученные по схеме Горнера (вторая строка), совпадают с коэффициентами многочлена, полученного при делении в столбик. В последней позиции схемы Горнера находится остаток, это же значение получено при делении в столбик.

В отличие от универсального метода деления в столбик, схема Горнера применима лишь для деления на многочлен вида (x − a). Однако ее можно использовать для решения и других задач. Например, можно на основании теоремы Безу вычислить значение многочлена 2x5 − 5x3 − 8x при x = −3, равное −327, или посчитать значение производной заданного порядка многочлена в фиксированной точке.

3.Определить показатель кратности корня x = 2 для полинома x5 − 5x4 + 7x3 − 2x2 + 4x − 8.

1-й способ.

Делим исходный многочлен на x−2. Если остаток от деления равен нулю, то процесс повторяем.

4x − 8

4x − 8

0

Поскольку остаток равен нулю, x = 2 действительно является корнем многочлена x5 −5x4 + 7x3 −2x2 + 4x −8. Таким

29

образом, результат деления записывается в виде

x5 − 5x4 + 7x3 − 2x2 + 4x − 8 = (x − 2)(x4 − 3x3 + x2 + 4).

т. е.

x5 − 5x4 + 7x3 − 2x2 + 4x − 8 = (x − 2)(x4 − 3x3 + x2 + 4) =

= (x − 2)2(x3 − x2 − x − 2).

Продолжая деление, получаем

Таким образом,

x5 − 5x4 + 7x3 − 2x2 + 4x − 8 = (x − 2)3(x2 + x + 1).

Многочлен x2 + x + 1 в точке x = 2 не обращается в нуль, поэтому для полинома x5 −5x4 +7x3 −2x2 +4x−8 кратность корня 2 равна трем.

30