Математика для студентов-медиков. В 4 частях. Ч.1. Начала линейной алгебры. Учебное пособие

или размерности линейного многообразия (в случае неоднородных систем) решается по ходу исследования и совпадает с количеством свободных переменных, т. е. числом констант в ответе.

Упражнение. Пусть матрица коэффициентов уравнений квадратная. Допустим, мы решаем систему методом Крамера, который дает решение в явном виде. К какому результату и к каким выводам мы придем в случае невыполнения условия теоремы Кронекера — Капелли?

Пример. Найти значения параметра λ, при которых система уравнений имеет решения.

Для неоднородной системы выпишем расширенную матрицу. Выполняя цепочку элементарных преобразований, приведем матрицу к ступенчатому виду, тем самым построив эквивалентную систему уравнений более простой структуры.

91

Заметим, что ни при каких значениях параметра λ первая строка матрицы не становится нулевой. Рассмотрим последнюю строку матрицы.

a33 = (λ2 − 1) − (1 − λ) = (λ − 1)(λ + 2).

Видим, что при λ ≠ 1 и одновременно при λ ≠ −2 ни одна из строк в ноль не обращается. Тогда матрица системы и расширенная матрица имеют наибольший из возможных ранг, равный трем.

Тогда по теореме Кронекера — Капелли исходная система имеет решение.

Более того, если заметить, что определитель приведенной к треугольному виду матрицы

00 (λ2 − 1) − (1 − λ)

равен произведению ее диагональных элементов и при значениях параметра λ ≠ 1 и λ ≠ −2 не обращается в ноль, то решение будет единственным. Найти его можно также методами Крамера или Гаусса.

Рассмотрим указанные ранее значения параметра λ более подробно.

1. При λ = 1 расширенная матрица примет вид

92

Исходная система будет эквивалентна одному уравнению

Если заменить в записи свободные переменные на парамет-

Таким образом, решение представляет собой линейное многообразие размерности 2.

2.При λ = −2 расширенная матрица примет вид

Очевидно, что последнее уравнение не выполняется ни при каких значениях переменных.

Этот же результат можно получить, если рассмотреть ис-

ходную систему с λ = −2 и сложить все уравнения:

−2x1 + x2 + x3 = 1,

x1 − 2x2 + x3 = 1, x1 + x2 − 2x3 = 1,

тогда получим уравнение

0 · x1 + 0 · x2 + 0 · x3 = 3,

которое решений не имеет.

Таким образом, исходная система уравнений имеет решение при

λ ≠ −2.

93

5.2.Примеры задач с решениями

1.Решить систему уравнений

Заметим, что мы получили матрицу треугольного вида с ненулевым определителем, следовательно, соответствующая

94

ей система однородных уравнений, эквивалентная исходной, имеет единственное тривиальное решение

Ранг полученной в результате преобразования строк системы для четырех переменных равен 2. Можно утверждать, что линейное пространство решений будет иметь размерность 2 и в ответ войдут две произвольные константы, т. е. ФСР — базис пространства решений — будет состоять из двух линейно независимых решений.

Удобно взять в качестве главных переменных x1 и x2, а переменные x3 и x4 рассматривать как свободные. Выразим

95

переменные x1 и x2 через x3 и x4. Для этого выпишем однородную систему, задаваемую полученной матрицей коэффициентов уравнений,

Решая эту систему относительно переменных x1 и x2, полу-

Придавая переменным x3 и x4 произвольные значения C1 и C2, ответ можно записать в виде

96

Векторы, линейная комбинация которых с коэффициентами C1 и C2 есть решение системы, составляют фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений.

и применим метод Гаусса к расширенной матрице системы.

97

Последняя матрица задает систему линейных уравнений, эквивалентную заданной. Последняя строка, состоящая из нулей, соответствует тривиальному уравнению, не накладывающему условий на переменные, и ее можно отбросить.

Поэтому система, первоначально содержащая четыре уравнения, по существу состоит из трех уравнений для трех неизвестных. Поскольку определитель матрицы третьего порядка, соответствующей системе (5.23), не равен нулю, то система (5.23) и, соответственно, исходная система (5.22) имеют единственное решение

Выпишем расширенную матрицу системы и проведем с ней элементарные преобразования, отняв из третьей строки сумму первых двух, а из четвертой — первую:

98

Третья и четвертая строки соответствуют уравнениям

2x2 − 2x3 + 4x4 = −4,

2x2 − 2x3 + 4x4 = −3,

что не может быть выполнено одновременно. Таким образом, исходная система несовместна. Полученный результат согласуется с критерием совместности Кронекера — Капелли, так как

5. Подобрать λ так, чтобы система уравнений

2x1 − x2 + x3 + x4 = 1,

x1 + 2x2 − x3 + 4x4 = 2, x1 + 7x2 − 4x3 + 11x4 = λ

имела решение.

99

Выпишем расширенную матрицу и будем проводить элементарные преобразования. Отнимем из первой строки удвоенную вторую, а из третьей — вторую. Получим

Видим, что левые части первой и третьей строк (уравнений) отличаются лишь знаком. Поэтому для совместности системы необходимо

λ− 2 = −(−3), т. е. λ = 5.

5.3.Задачи для самостоятельного решения