Математика для студентов-медиков. В 4 частях. Ч.1. Начала линейной алгебры. Учебное пособие

образования второго типа), то определитель сменит знак:

6.Если матрица содержит две одинаковые строки, то определитель равен 0:

7. Элементарные преобразования матрицы первого типа не ме-

41

8.Определитель произведения матриц равен произведению их определителей,

det (AB) = det (A) det (B) .

3.2.Миноры и алгебраические дополнения

Рассмотрим квадратную матрицу

Определение. Рассмотрим определитель матрицы A порядка n. Возьмем целое число k, 1 ≤ k ≤ n − 1, и в определителе матрицы A выберем произвольные k строк и k столбцов. Элементы матрицы A, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, составляют матрицу порядка k. Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка. Если при этом вычеркнуть те строки и столбцы, на пересечении которых стоит этот минор, то останется минор порядка n − k, который называется дополнительным минором.

42

Рассмотрим дополнительный минор Mij — определитель матрицы размерности (n − 1) × (n − 1), полученной из исходной матрицы вычеркиванием i-й строки и j-го столбца,

Определение. Алгебраическое дополнение к элементу aij обозначается Aij и вычисляется по формуле

Aij = (−1)i+j · Mij.

С использованием этих понятий можно привести еще один способ вычисления определителей высокого порядка — разложение определителя по строке или столбцу:

Пример. Вычислим определитель матрицы, раскладывая его по первой строке,

43

Заметим, что вторая строка содержит только один ненулевой элемент. Поэтому удобно вычислить определитель, раскладывая его именно по второй строке:

литель разложением по третьему столбцу и методом параллельных полосок.

Метод вычисления определителя разложением по строке или столбцу позволяет вычислять определители матриц любого порядка, поскольку сводит вычисление определителя n-го порядка к вычислению n определителей порядка (n − 1).

Также для вычисления определителя произвольного порядка можно элементарными преобразованиями строк первого типа привести матрицу к верхнетреугольному виду (все элементы ниже главной диагонали равны нулю). Легко заметить, что у такой матрицы определитель равен произведению элементов, лежащих на главной диагонали,

44

= . . . = a11 · a22 · . . . · aii · . . . · a(n 1)(n 1) · ann.

Понятие определителя имеет геометрический смысл. С учетом этого многие вышеперечисленные свойства определителей становятся более наглядными.

Если рассматривать строки (столбцы) матрицы n × n как набор из n векторов, то абсолютное значение определителя равно объему n-мерного параллелепипеда, сформированного векторами (строками или столбцами) матрицы. Знак определителя зависит от того, как эти векторы сориентированы друг относительно друга (по 5-му свойству, если поменять местами две строки (столбца), то определитель сменит знак).

Для матрицы 2 × 2 определитель по абсолютной величине будет равен площади параллелограмма, стороны которого соответствуют вектор-строкам (столбцам) матрицы.

Для матрицы 3 × 3 определитель по абсолютной величине будет равен объему параллелепипеда, ребра которого соответствуют вектор-строкам (столбцам) матрицы. Более подробно этот факт будет рассмотрен в пункте 4.3.3.

Определение. Рангом матрицы A = {aij}, i = 1, ..., n, j = 1, ..., m, назовем число, обозначаемое rang A и равное наибольшему порядку отличного от нуля минора.

Пример. Определим ранг матрицы

45

таким образом, ранг матрицы не равен трем. При этом существует минор второго порядка, не равный нулю, например,

Для определения ранга матрицы можно использовать следующие методы.

1.Метод окаймляющих миноров. Простой перебор всех возможных миноров — занятие неблагодарное, поскольку их число достаточно большое. Однако количество вычисляемых миноров можно сократить, рассматривая лишь те из них, которые содержат найденный ранее ненулевой минор.

2.Более удобным для использования является метод Гаусса. Для этого элементарными преобразованиями строк приведем матрицу к ступенчатому виду. Число ненулевых строк в полученной матрице и есть ранг.

Пример. Определим ранг матрицы методом Гаусса. В наших обозначениях элементарные преобразования изменяют строки, на которые указывает стрелка, строки суммируются с учетом коэффициентов, на которые умножаются все элементы строки.

46

Здесь знаком "s" обозначен переход к матрице, полученной с помощью элементарных преобразований строк и, следовательно, имеющей такой же ранг.

3.3.Обратная матрица

Определение. Матрица, обозначаемая A 1, называется обратной к матрице A, если выполнено равенство

AA 1 = A 1A = E.

Обратная матрица определяется только для квадратной матрицы. В свою очередь, исходная матрица A является обратной к матрице A 1.

Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда det (A) ≠ 0.

Приведем два способа нахождения обратной матрицы.

1.Метод алгебраических дополнений. Обратная матрица A 1 состоит из элементов

Символом {Aij}T обозначается транспонированная матрица, состоящая из алгебраических дополнений.

2.Метод элементарных преобразований строк расширенной матрицы. Составляем матрицу размера n ×2n, написав слева исходную матрицу, а справа через вертикальную черту — единичную матрицу соответствующей размерности. Далее элементарными преобразованиями строк длины 2n левую матрицу приводим к единичной. Тогда справа от вертикальной черты получим матрицу, обратную к исходной:

(A|E) s . . . s (E|A 1).

47

Пример 1. Методом алгебраических дополнений найдем матрицу,

Любым удобным способом вычислим detA = 1. Далее для каждого элемента aij исходной матрицы вычислим алгебраическое дополнение Aij. Для этого вычеркиваем i-ю строку и j-й столбец, вычисляем определитель матрицы размера (n−1)×(n−1), составленной из оставшихся строк и столбцов, и умножаем полученное значение на (−1)i+j:

A11 = −4, A21 = 3, A31 = −2,

A12 = −8, A22 = 6, A32 = −5,

A13 = −7, A23 = 5, A33 = −4.

Подставляя в формулу (3.16) полученные значения, имеем

Пример 2. Найдем эту же матрицу методом элементарных преобразований. Составим расширенную матрицу

и проведем вычисления, описанные в способе 2.

48

На последнем этапе из диагональной матрицы получили единичную, разделив каждую строку на соответствующий диагональный элемент левой матрицы. Таким образом,

Проверка соотношения A A 1 = E предоставляется читателю.

49

3.4.Примеры задач с решениями

1.Выполнить действия с матрицами

По определению операций сложения и умножения матрицы на число получаем

50