Математика для студентов-медиков. В 4 частях. Ч.1. Начала линейной алгебры. Учебное пособие

6.Собственные числа и собственные векторы матриц

6.1.Основные понятия и определения

Пусть A — квадратная матрица n × n, число λ и вектор x Rn, x ≠ 0 таковы, что

Определение. Число λ называется собственным числом матрицы A, а вектор x — собственным вектором, соответствующим собственному числу λ.

Равенство (6.24) эквивалентно

Отсюда следует, что число λ есть собственное число матрицы A в том и только в том случае, когда det(A − λE) = 0, т. е. λ есть корень многочлена p(λ) = det(A − λE), называемого характеристическим многочленом матрицы A.

Столбец координат x собственного вектора, соответствующего собственному числу λ, есть нетривиальное решение однородной системы (6.25).

Итак, задача о нахождении собственных чисел и собственных векторов матрицы решается в следующей последовательности.

1.Составляем характеристическое уравнение. Для этого в заданной матрице по главной диагонали вычитаем число λ и вычисляем определитель полученной матрицы (A−λE). Отметим, что характеристический многочлен имеет степень n. В соответствии с общей теорией многочленов такое уравнение имеет ровно n корней в пространстве комплексных чисел. Для уравнений с вещественными коэффициентами известно, что если комплексное число α + iβ является его корнем, то комплексно-сопряженное число α−iβ тоже является корнем.

2.Для каждого собственного числа ищем один или несколько собственных векторов как решение уравнения (A−λE)u = 0.

101

Пример 1. Найти собственные числа и собственные векторы мат-

Приравнивая характеристический многочлен к нулю и решая полученное квадратное уравнение, находим λ1 = 1, λ2 = 5.

Далее, поочередно подставляя найденные собственные числа в выражение (6.25), для каждого собственного числа найдем собственный вектор v = (v1, v2).

с нулевым определителем, решением которой будет, например, вектор (1, −1).

{

−3 · w1 + 1 · w2 = 0, 3 · w1 − 1 · w2 = 0,

в качестве собственного можно взять вектор (1, 3). Итак, собственному числу 1 соответствует вектор (1, −1), а собственному числу 5

— вектор (1, 3). Проверку равенства (6.24) предоставим читателю.

102

Пример 2. Рассмотрим две матрицы простой структуры

инайдем для них собственные числа и собственные векторы.

Уобеих матриц совпадают характеристические многочлены (1 − λ)2 = 0, дающие в качестве собственного числа кратности 2 корень λ = 1.

Вычисление собственных векторов для матрицы A1 дает

Умножая справа на неизвестный вектор (u1, u2), получим

{

0 · u1 + 0 · u2 = 0, 0 · u1 + 0 · u2 = 0,

т. е. величины u1 и u2 могут быть любыми. Значит, любой двумерный вектор будет собственным вектором, отвечающим собственному числу 1. Таким образом, в качестве собственных можно взять два линейно независимых вектора

являющихся базисом пространства двумерных векторов. Проводя аналогичные вычисления для матрицы A2, имеем

Отсюда с необходимостью следует u2 = 0, так что собственным вектором в этом случае будет только u = (1, 0). Напомним, что собственный вектор находится с точностью до множителя.

103

Таким образом, хотя обе матрицы имеют одинаковую размерность и одинаковые собственные числа одной и той же кратности, но число собственных векторов у них разное.

Теорема. Число линейно независимых собственных векторов, соответствующих собственному числу λ, равно

n − rang(A − λE).

Действительно, вычислим количество собственных векторов матриц A1 и A2 из примера 2:

rang(A1 − λE) = 0 n − rang(A1 − λE) = 2,

rang(A2 − λE) = 1 n − rang(A2 − λE) = 1,

что подтверждает правильность решения примера 2.

Пример 3. Найти собственные числа и собственные векторы мат-

Выпишем характеристическое уравнение и найдем собственные числа матрицы A:

В соответствии с теоремой Виета корни уравнения третьей степени ищем среди делителей свободного члена. Получим

λ1 = λ2 = 1, λ3 = 2.

Для простого собственного числа λ3 = 2 найдем собственный вектор u. Из (6.25) имеем

104

Умножая эту матрицу справа на неизвестный вектор (v1, v2, v3)T , получим систему {

v1 + v2 + v3 = 0, v1 = 0,

решением которой будет (0, 1, −1).

Обратите внимание, что для собственного числа λ1 = λ2 = 1 кратности 2 есть только один собственный вектор, поскольку

105

а размерность пространства решений (числа собственных векторов) в этом случае равна

n − rang(A − λE) = 3 − 2 = 1.

Теорема. Собственные векторы, соответствующие различным собственным числам, линейно независимы.

Пример 4. Рассмотрим матрицу

Построение характеристического уравнения и вычисление собственных чисел дает

λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 3.

Этим собственным числам соответствуют собственные векто-

Читателю предлагается проверить, что указанные векторы действительно являются собственными (выполнено (6.24)) и линейно независимы.

Пример 5. Найти собственные числа и собственные векторы мат-

106

Найдем собственные векторы. Для λ1 = i получаем

()( )

{

(−i)u1 + u2 = 0,

−u1 − iu2 = 0.

Отсюда имеем соотношение для координат собственного вектора

u1 = −iu2,

()

i

u = −1 .

Для λ2 = −i получим систему

()( )

{

iv1 + v2 = 0, −v1 + iv2 = 0,

v1 = iv2,

( )

i

v = 1 .

6.2.Примеры задач с решениями

1.Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

Для нахождения собственных чисел составим характеристическое уравнение

()

107

= λ2 − 5λ − 14 = 0.

Отсюда

λ1 = 7, λ2 = −2.

Для каждого собственного числа найдем собственный вектор.

Координаты собственного вектора v = (v1, v2)T для λ1 = 7 ищем из условия

Откуда

v1 = v2,

и в качестве собственного можно взять вектор (1, 1). Напомним, что собственный вектор всегда находится с точностью до множителя.

Аналогично для λ2 = −2 имеем

Откуда следует, что

5u1 + 4u2 = 0,

в качестве собственного вектора можно взять u = (4, −5).

108

2. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

()

Составим характеристическое уравнение

()

Данное квадратное уравнение имеет пару сопряженных комплексных корней

λ1 = ai, λ2 = −ai.

Найдем собственный вектор p = (p1, p2) для λ1 = ai:

()( ) ( )

Отсюда

−ap1 − (ai)p2 = 0,

p1 + ip(2 =) 0,

1

p = i .

Для λ2 = −ai аналогично имеем

(B − (−ai)E)q = 0,

()( ) ( )

−aq1 + (ai)q2 = 0,

q1 =( iq2),

1

q = −i .

109

3. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

Этот определитель удобно вычислить, раскладывая его по третьему столбцу. В итоге получаем уравнение

4 + 4λ − λ2 − λ3 = 0,

корнями которого будут

λ1 = −1, λ2 = 2, λ3 = −2.

Найдем собственный вектор для λ = −1 :

Отсюда

4u1 + u2 = 0,

4u1 − 8u2 − u3 = 0,

и в качестве собственного подходит вектор u = (1, −4, 36).

Отсюда

u1 + u2 = 0,

110