Математика для студентов-медиков. В 4 частях. Ч.1. Начала линейной алгебры. Учебное пособие

2-й способ.

Применим несколько раз схему Горнера для деления многочлена x5 −5x4 +7x3 −2x2 +4x−8 на (x−2), пока не получим остаток, не равный нулю. Получаем

Так как в результате трех делений получались нулевые остатки, то кратность корня 2 для исходного многочлена равна трем.

4.Определить λ так, чтобы один из корней уравнения x3 − 7x + λ = 0 равнялся удвоенному другому.

Запишем разложение исходного многочлена на множители при заданном условии,

x3 − 7x + λ = (x − x1)(x − 2x1)(x − x2).

Раскрывая скобки и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем

3x + x = 0,

1 2

2x21 + 3x1x2 = −7,

2x21x2 = −λ.

Выражая x2 из первого уравнения и подставляя его во второе и третье уравнения, получим x21 = 1, отсюда x1 = ±1 и

λ = ±6.

5.Разложить на простейшие дроби

1

(x4 − 1)2 .

31

Разложим знаменатель исходной дроби на множители,

Приводя выражение в правой части равенства к общему знаменателю, получим в числителе выражение

A(x − 1)(x + 1)2(x2 + 1)2 + B(x + 1)2(x2 + 1)2+

+C(x − 1)2(x + 1)(x2 + 1)2 + D(x − 1)2(x2 + 1)2+ (2.10) +(Rx + F )(x2 + 1)(x − 1)2(x + 1)2 + (Gx + H)(x −1)2(x + 1)2.

Полученное выражение при любых значениях переменной x равно единице — числителю дроби, стоящей в левой части равенства.

Приравнивая коэффициенты при соответственных степенях x, получим систему линейных уравнений для нахождения неопределенных коэффициентов, которая однозначно разрешима. В данном случае это будет система из восьми линейных уравнений

x : A + C + R = 0.

32

Несколько коэффициентов можно найти, подставляя в выражение (2.10) такие значения переменной x, при которых одно или несколько слагаемых зануляются. Так, при x = 1 получим

Решая систему (2.11) относительно оставшихся коэффициентов, получим

A = −163 , C = 163 , R = 0, F = 14 , G = 0, H = 14 .

Таким образом,

1

(x − 1)2(x + 1)2(x2 + 1)2 =

11

+4(x2 + 1) + 4(x2 + 1)2 .

2.6.Задачи для самостоятельного решения

1.ФС-546. Выполнить деление с остатком:

b)x3 − 3x2 − x − 1 на 3x2 − 2x + 1.

2.ФС-549. Выполнить деление с остатком:

a)x4 − 2x3 + 4x2 − 6x + 8 на x − 1.

3.ФС-627. Разложить на простейшие дроби:

33

3.Матрицы и действия с ними

«Толковый словарь русского языка» под редакцией Д. Н. Ушакова (М.: Сов. энцикл.: ОГИЗ, 1935–1949) дает много значений слова «матрица» (лат. matrix — «первопричина»). В дальнейшем мы имеем дело со следующим объектом.

Определение. Матрица — прямоугольная таблица из n строк и m столбцов, в каждой клетке которой находится число — вещественное или комплексное.

Говорят, что такая матрица имеет размер n×m. Элемент матрицы, стоящий в i-й строке и j-м столбце, обозначается aij. Будем использовать следующие обозначения:

Определим следующие действия с матрицами.

1.Матрица A равна матрице B, если их размерности совпадают и соответственные элементы равны, A = B aij = bij для всех i, j.

2.Умножение матрицы на число c:

cA = {caij}.

3.Сложение матриц (возможно только для матриц одинаковой размерности):

A + B = {aij + bij}.

4.Умножение матриц. Пусть AB = C. Операция умножения возможна только в случае совпадения числа столбцов первой матрицы и числа строк второй,

A = {aij}, i = 1, ..., n, j = 1, ..., q,

34

B = {bij}, i = 1, ..., q, j = 1, ..., m.

Элемент cij матрицы C вычисляется как произведение i-й строки матрицы A и j-го столбца матрицы B,

∑q

C = {cij}, cij = aikbkj, i = 1, ..., n, j = 1, ..., m.

k=1

Замечание. Операция умножения матриц не обладает свойством коммутативности, AB ≠ BA.

называется единичной и для любой квадратной матрицы A обладает свойством AE = EA = A.

6. Нулевая матрица O

для любой матрицы A обладает свойством

A + O = O + A = A.

35

3.1.Определитель матрицы

Рассмотрим систему линейных уравнений относительно x1 и x2

{

Определение. Знаменатель a11a22 −a21a12 в выражениях (3.13) называют определителем матрицы A размера 2 и обозначают

Введем обозначения ∆1 и ∆2 для определителей, в которых столбец C, состоящий из элементов правой части системы уравнений (3.12), заменяет первый или второй столбец матрицы A соответственно,

Тогда решение системы (3.12) можно выписать в виде

x1 = ∆∆1 , x2 = ∆∆2 .

36

Вышеизложенный метод нахождения решений системы уравнений называется правилом Крамера.

Замечание. Этот метод можно применять только при условии, что определитель матрицы системы не равен 0.

Метод Крамера обобщается для систем размера n × n, в этом

Способы вычисления определителей произвольного порядка мы приведем позже.

3.1.1.Вычисление определителя третьего порядка

Определитель третьего порядка матрицы A = {aij}, i, j = 1, 2, 3, вычисляется по формуле

В таком виде формула неудобна для запоминания, однако существуют мнемонические правила, облегчающие вычисление определителя третьего порядка. Примем как факт, что определитель есть сумма всевозможных произведений элементов матрицы, что никакие два из них не лежат ни в одном и том же столбце, ни

встроке. На рис. 9 слева изображены произведения, входящие

вопределитель третьего порядка со знаком “плюс”, справа — со знаком “минус”.

Рис. 9: Схема вычисления определителя третьего порядка

37

Существует еще одно правило, помогающее запомнить формулу для вычисления такого определителя — метод Саррюса, или метод параллельных полосок. Для этого допишем к элементам матрицы справа первый и второй столбцы, как показано на рис. 10. Со знаком “плюс” в него войдут произведения элементов, стоящие на главной диагонали и на параллельных ей прямых (рис. 10, слева), а со знаком “минус” — произведение элементов на побочной диагонали и параллельных ей прямых (рис. 10, справа).

Рис. 10: Метод Саррюса

3.1.2.Свойства определителя

Определение. Транспонированная матрица — матрица, обозначаемая AT и полученная из исходной матрицы A, если ее

строки записать столбцами.

Таким образом, транспонированная матрица для матрицы A размера n × m есть матрица AT размера m × n, элементами ее

являются {aji}:

AT = {aji}.

выпишем транспонированную. Следуя указанному правилу и записывая строки столбцами, получим

38

Пример 2. Транспонируем прямоугольную матрицу

14e

Определение. Элементарным преобразованием матрицы первого типа назовем добавление к строке (столбцу) других строк (столбцов) матрицы, умноженных на число. Перестановку строк или столбцов назовем элементарными преобразованиями второго типа.

Элементарные преобразования строк матриц используются при решении систем уравнений произвольной размерности методом Гаусса. В дальнейшем для краткости изложения будем говорить, что мы при этом “гауссим матрицу”.

Теорема. Для определителя матрицы {aij}, i = 1, ..., n, j = 1, ..., n, верны следующие утверждения.

1.Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы:

|A| = AT .

Отсюда следует, что все дальнейшие утверждения, сформулированные для строк матрицы, выполняются и для ее столбцов.

2. Если i-я строка состоит из нулей (aik = 0, k = 1, ..., n), то

39

3.Если одну строку (столбец) матрицы умножить на число c, то определитель умножится на это число:

4.Если каждый элемент i-й строки представим в виде суммы двух слагаемых, то определитель исходной матрицы равен сумме определителей соответствующих матриц:

5. Если строки матрицы поменять местами (элементарные пре-

40