Математика для студентов-медиков. В 4 частях. Ч.1. Начала линейной алгебры. Учебное пособие

3.ФС-928. В пространстве строк над числовым полем дана система векторов f1, ..., fm. Выделить максимальную линейно независимую подсистему и выразить остальные векторы в виде линейных комбинаций векторов выделенной подсистемы:

a)f1 = (2, 2, 7, −1), f2 = (3, −1, 2, 4), f3 = (1, 1, 3, 1);

b)f1 = (3, 2, −5, 4), f2 = (3, −1, 3, −3), f3 = (3, 5, −13, 11).

4.ФС-933. Найти базис и размерность пространства строк, натянутого на данную систему векторов:

a)f1 = (2, 1, 3, 1), f2 = (1, 2, 0, 1), f3 = (−1, 1, −3, 0).

81

5.Системы линейных уравнений

5.1.Основные понятия и определения

Ax = b,

Определение. Система уравнений (5.20) называется однородной, если вектор правой части нулевой, т. е.

b = 0, bi = 0, i = 1, ..., m,

и неоднородной, если хотя бы одна компонента вектора b ненулевая.

Определение. Вектор x = (x1, ..., xn) — решение (5.20), если при подстановке значений xi каждое уравнение системы обращается в тождество.

Определение. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Если система не имеет решений, она называется несовместной.

Определение. Систему называют определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если решений бесконечно много.

82

Определение. Две системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.

Следующие преобразования, с очевидностью приводящие систему уравнений к эквивалентной, будем называть элементарными:

1.перестановка уравнений (строк) местами,

2.линейная комбинация уравнений (строк матрицы системы).

Замечание. Отметим, что каждому уравнению системы сопоставляется строка матрицы A, так что действия с уравнениями есть действия с соответствующими строками матрицы.

Вернемся к исходной системе (5.20). Для более компактной и наглядной записи достаточно оперировать коэффициентами уравнений и их правыми частями, т. е. со строками расширенной мат-

Проводя последовательную цепочку элементарных преобразований строк матрицы (A|b), приводим ее к ступенчатому виду с нулями под главной диагональю. Заметим, что матрица не всегда получается треугольная, так как в общем случае m ≠ n.

В зависимости от вида получившейся ступенчатой матрицы возможны следующие варианты.

1. Система несовместна, если матрица имеет, например, вид

83

Действительно, в этом случае последней строке расширенной матрицы соответствует уравнение

0x1 + 0x2 + ... + 0xn = 3,

не имеющее решений.

2. Система совместна и определена, если расширенная матрица

Заметим, что в этом случае rang(A) = rang(A| b) = n.

3.Система неопределена и совместна, если расширенная матрица имеет вид

В этом случае rang(A) = rang(A| b) = r < n, число неизвестных больше числа уравнений.

84

Пример 1. Решим неоднородную систему линейных уравнений

Запишем расширенную матрицу системы

Помня, что каждой строке соответствует уравнение, из последней строки (уравнения) получаем x3 = −1. Подставляя значение переменной x3 в предпоследнее уравнение, получим

x2 = 3 + x3 .

2

Найденные значения x3 и x2 подставляем в первое уравнение, находим x1 = 3.

Определение. Назовем неизвестные, которые расположены на первых местах в ненулевых строках преобразованной матрицы системы (5.21), главными, или базисными.

Этих переменных ровно r штук, где r = rang(A) = rang(A| b). Остальные (n − r) переменных называются свободными.

Перенесем свободные переменные в правую часть и будем решать систему относительно главных переменных, считая свободные переменные известными параметрами. Как и в примере 1, двигаясь снизу вверх, можно последовательно вычислить значения главных переменных x1, ..., xr.

Пример 2. Рассмотрим совместную неопределенную систему уравнений с четырьмя переменными, уже приведенную к ступенчато-

85

Следуя данным выше определениям, переменную x2 назовем свободной, x1, x3, x4 — главными.

Из третьего уравнения получаем x4 = −1. Далее, двигаясь снизу вверх, последовательно получаем

x1 + 7x3 + 3x4 = 8 − 5x2,

4x3 + 2x4 = 6, x4 = −1,

x1 = −3 − 5x2,

x3 = 2, x4 = −1.

Полагая значения свободной переменной x2 = c, получим

x1 = −3 − 5c,x2 = c,

x3 = 2,

x4 = −1.

Таким образом, решение системы есть

Полученные значения переменных являются решением исходной системы для любых значений параметра c.

Пример 3. Решить систему линейных однородных уравнений

{

86

Заметим, что правая часть системы состоит из нулей и при проведении элементарных преобразований не изменяется, поэтому выписывать расширенную матрицу нет необходимости. Элементарными преобразованиями строк приведем матрицу к ступенчатому

Выпишем для получившейся ступенчатой матрицы систему урав-

нений, эквивалентную исходной,

{

Согласно данным определениям переменные x1 и x2 являются главными, x3 и x4 — свободными. Перенесем свободные переменные в правую часть и обозначим их x3 = c1 и x4 = c2 :

x = x ,

3 3

x4 = x4,

или

x = c ,

3 1

x4 = c2.

87

Перепишем полученное решение в виде

Поскольку константы c1 и c2 принимают любые значения, решение системы представляет собой всевозможные линейные комбинации векторов

2−1

т. е. образует линейное пространство, натянутое на эти векторы (линейную оболочку).

Отсюда следует, что приведенная пара векторов v1, v2 является базисом пространства решений данной системы уравнений и называется фундаментальной системой решений (ФСР) системы линейных однородных уравнений. Любое решение данной системы может быть выражено как линейная комбинация векторов из ФСР.

Набор векторов в ФСР определяется не единственным образом, но число элементов любой ФСР совпадает. Это число является размерностью пространства решений системы линейных

однородных уравнений Ax = 0 и равно числу свободных переменных (числу констант в решении). Размерность пространства решений равна (n − r), где r = rang(A).

Теорема о связи множества решений однородной и неоднородной систем линейных уравнений.

1. Пусть x0 — решение линейной однородной системы уравнений Ax0 = 0 и x — некоторое (частное) решение неод-

нородной системы Ax = b, тогда x = x0 + x — решение

неоднородной системы Ax = b.

88

2.Любое решение неоднородной системы x может быть представлено в виде суммы x и некоторого решения системы линейных однородных уравнений.

Доказательство.

1. Рассмотрим x = x0 + x и подставим в систему, получим

2. Пусть x — решение неоднородной системы линейных уравне-

то z — решение однородной системы линейных уравнений.

Теорема Кронекера — Капелли. Для того чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы и ранг расширенной матрицы совпадали:

rang(A) = rang(A| b).

Пример. Найти значения параметра λ, при котором система линейных уравнений имеет решение.

Для системы линейных неоднородных уравнений

{

89

выпишем расширенную матрицу

Поскольку левые части уравнений пропорциональны, то для того, чтобы система была совместной, необходимо, чтобы правые части также были пропорциональны с тем же коэффициентом. Таким образом, неоднородная система линейных уравнений будет иметь решение при λ = 2, в этом случае

rang(A) = rang(A|b) = 1.

Этот же результат можно получить, приведя элементарными преобразованиями расширенную матрицу к виду

Замечание. Однородная система линейных уравнений всегда совместна, так как нулевой вектор является решением.

Неоднородная система линейных уравнений может не иметь решений. Она совместна, только если выполняется условие теоремы Кронекера — Капелли. При этом множество всех решений

неоднородной системы линейных уравнений Ax = b при ненуле-

вом b линейным пространством не является.

Определение. Множество такого типа называют линейным многообразием.

Геометрически такое множество можно представить как сдвиг линейного пространства на вектор x . Это могут быть, например, все трехмерные векторы, исходящие из начала координат, концы которых лежат на плоскости, не проходящей через начало координат. Линейное многообразие тоже имеет понятие размерности.

На практике решать системы линейных уравнений удобнее всего методом Гаусса, который не требует выяснения совместности и определенности системы. В этом случае для итоговой ступенчатой матрицы вопрос совместности, определения ранга и размерности пространства решений (в случае однородных систем)

90