Математика для студентов-медиков. В 4 частях. Ч.1. Начала линейной алгебры. Учебное пособие

2.(a + b) · c = a · c + b · c;

3.(λa) · b = λ(a · b) = a · (λb);

4.a · a ≥ 0, a · a = 0 a = 0.

Рассмотрим скалярное произведение векторов с точки зрения физики. Из школьного курса физики известно, что работа A по-

стоянной силы F по перемещению тела на вектор s есть произве-

дение F , |s| и cos φ. Таким образом,

()

A = F , s .

Иллюстрация действия приложенной силы представлена на рис. 11.

Рис. 11: Работа силы F по перемещению тела на вектор s

Пример . Пусть даны векторы m и n. Известно, что m n,

|m| = 3, |n| = 2. Определим a = 7m + 3n и b = 5m + 8n. Найти

a · b.

Используя свойства скалярного произведения, получим

Пример. Даны векторы a = (1, 0, λ + 1) и b = (λ, 1, λ). При каком

значении λ скалярное произведение векторов a · b = −1? Вычислим

Отсюда λ = −1.

71

4.3.2.Векторное произведение

{ }

Определение. Упорядоченная тройка векторов a, b, c назы-

вается правой, если из конца вектора c поворот от вектора a

к вектору b по наименьшему углу происходит против часовой стрелки, и левой — если по ходу часовой стрелки (рис. 12).

c c

b a

Рис. 12: Правая (левый рисунок) и левая (правый рисунок) системы координат

Замечание. Циклическая перестановка

{ } { } { }

a, b, c → c, a, b → b, c, a

не меняет ориентацию тройки.

Определение. Векторное произведение векторов a и b

c = a × b ≡ [a, b]

— вектор, перпендикулярный исходным векторам и имеющий длину, равную площади параллелограмма, образованного векто-

рами a и b:

где α — угол между векторами a и b (рис. 13). Выбор из двух направлений вектора c определяется так, что тройка векторов

a, b, c ориентирована как исходная система координат.

Векторное произведение определено только для векторов из трехмерного пространства.

Физический смысл векторного произведения: AB×F — момент

силы F , приложенной к точке B относительно точки A.

72

aX b

b

a

Рис. 13: Векторное произведение векторов в правой системе координат

В дальнейшем, если не оговорено дополнительно, систему координат будем считать правой.

Если два вектора a и b в правом ортонормированном базисе имеют координаты

a = (a1, a2, a3),

b = (b1, b2, b3),

то их векторное произведение имеет координаты

(c1, c2, c3) = (a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1).

Для вычисления векторного произведения удобно использовать мнемонический определитель, раскладывая его по первой строке,

73

Свойства векторного произведения:

1.a × b = −b × a;

2.(p + q) × r = p × r + q × r;

4.3.3.Смешанное произведение

()

3.(m + n), a, d = (m, b, d) + (n, b, d),

()

a, (p + q), d = (a, p, d) + (a, q, d),

()

a, b, (u + v) = (a, b, u) + (a, b, v);

74

4.Если один из векторов в смешанном произведении равен 0, то смешанное произведение равно 0.

4.4.Примеры задач с решениями

1.В пространстве строк над числовым полем дана система векторов

f1 = (2, 3, −4, −1), f2 = (1, −2, 1, 3), f3 = (5, −3, −1, 8), f4 = (3, 8, −9, −5).

Выделить максимальную линейно независимую подсистему и выразить остальные векторы в виде линейных комбинаций векторов выделенной подсистемы.

Запишем координаты векторов в виде строк матрицы

Заметим, что f1 и f2 линейно независимы, поскольку координаты этих векторов не пропорциональны друг другу.

Будем проводить элементарные преобразования строк, фиксируя слева их линейные комбинации:

На этом этапе можно заметить пропорциональность второй, третьей и четвертой строк:

2f2 − f1 = −(f3 − 5f2),

75

f4 − 3f2 = −2(2f2 − f1),

т. е.

f3 = f1 + 3f2

и

f4 = 2f1 − f2.

Таким образом, пара f1, f2 является максимальной линейно независимой подсистемой, поскольку остальные векторы можно представить в виде их линейной комбинации.

Решение данной задачи неоднозначно. Так как все векторы попарно не пропорциональны друг другу, то в качестве линейно независимой подсистемы можно рассмотреть любые два вектора.

2.Найти базис и размерность подпространства пространства строк, натянутого на систему векторов

f1 = (2, 1, 3, −1), f2 = (−1, 1, −3, 1),

f3 = (4, 5, 3, −1), f4 = (1, 5, −3, 1).

Максимальная линейно независимая подсистема будет базисом подпространства строк, натянутого на данную систему векторов, а число векторов, входящих в эту подсистему, — искомая размерность подпространства.

Заметим, что, как и в предыдущей задаче, максимальная линейно независимая система векторов (базис подпространства, натянутого на данную систему векторов) находится неоднозначным образом, но при этом число векторов — размерность подпространства — не зависит от выбора базиса.

Выпишем координаты векторов в виде строк матрицы и проведем элементарные преобразования, фиксируя в начале строки действия с векторами.

Координаты векторов f1 и f2 не пропорциональны друг другу, следовательно, векторы f1 и f2 линейно независимы. Значит, в базисе не менее двух векторов.

76

Подпространство, натянутое на данную систему векторов, не изменится, при замене в системе какого-либо из векторов на линейную комбинацию векторов, входящих в систему:

Видим, что вторая, третья и четвертая строки различаются лишь множителями. Таким образом, только два вектора из предложенных линейно независимы.

Значит, размерность подпространства, натянутого на систему векторов {f1, f2, f3, f4}, равна 2 и в качестве базиса можно взять, например, векторы f1 и f2. Выбор базисных векторов не является однозначным, можно взять любые два вектора исходной системы, поскольку попарно все они линейно независимы.

3. Вычислить скалярное произведение векторов

X = (2, 1, −1, 2) и Y = (3, −1, −2, 1).

Скалярное произведение в евклидовом пространстве есть сумма попарных произведений соответствующих координат,

(X, Y ) = 2 · 3 + 1 · (−1) + (−1) · (−2) + 2 · 1 = 9.

4.Определить угол между векторами X = (2, 1, 3, 2) и

Y = (1, 2, −2, 1).

По определению скалярное произведение есть

(X, Y ) = |X||Y |cos φ

77

С другой стороны, скалярное произведение в евклидовом пространстве есть сумма произведений соответствующих координат. Отсюда

(22 + 12 + 32 + 22) · (12 + 22 + (−2)2 + 12)

Поскольку cos φ = 0, то данные векторы ортогональны.

5.Найти нормированный вектор, ортогональный к векторам (1, 1, 1, 1), (1, −1, −1, 1), (2, 1, 1, 3).

Пусть искомый вектор имеет координаты (x1, x2, x3, x4). Поскольку он должен быть ортогонален каждому из векторов, то скалярное произведение искомого вектора и каждого из заданных должно равняться нулю. Геометрически это значит, что мы ищем вектор в четырехмерном пространстве, нормальный к гиперплоскости, определяемой заданными векторами.

Приравнивая к нулю скалярные произведения, получим однородную систему из трех уравнений для четырех неизвестных

Для решения этой системы применим описанный ранее метод Гаусса:

78

Полученная матрица соответствует системе уравнений, эквивалентной исходной,

x1 = 0,

x2 + x3 = 0, x4 = 0.

Отсюда

x1 = 0, x2 = −x3, x4 = 0.

В общем виде, полагая x3 = α, решение системы можно записать следующим образом:

√

Длина этого вектора равна 2α2, поэтому, полагая α = ± 1 ,

p

2

получим два таких вектора, имеющих единичную длину:

22

c

площадь треугольника, натянутого на векторы a и b.

Длина вектора, являющегося векторным произведением век-

79

Площадь треугольника, натянутого на векторы a и b, равна половине площади параллелограмма,

7. Даны векторы

a (1, −1, 2), b (0, 4, 3), c (3, 2, −6).

Вычислить смешанное произведение (a, b, c) и объем

параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c.

Для вычисления векторного произведения выпишем определитель, записывая координаты векторов в виде строк матрицы, сохраняя при этом порядок векторов.

Значение векторного произведения (a, b, c) по абсолютной величине равно объему параллелепипеда, построенного на

векторах a, b, c. Знак полученной величины связан с ориен-

тацией тройки векторов a, b и c.

= (−24 − 6) + (−3 − 8) = −41.

Следовательно, объем параллелепипеда, построенного на заданных векторах, равен 41.

4.5.Задачи для самостоятельного решения

1.ФС-1076. Вычислить скалярное произведение векторов: b) X = (1, 2, 1, −1), Y = (−2, 3, −5, −1).

2.ФС-1078. Определить косинусы внутренних углов треугольника ABC, заданного координатами вершин:

A = (1, 2, 1, 2), B = (3, 1, −1, 0), C = (1, 1, 0, 1).

80