Математика для студентов-медиков. В 4 частях. Ч.1. Начала линейной алгебры. Учебное пособие

1.2.Формула Муавра и ее обращение

Формулу Муавра

для возведения комплексного числа z ≠ 0 в целую степень легко доказать, используя формулы умножения комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме.

Применяя (1.2), получим формулу для вычисления корней n-й степени из комплексного числа. Пусть задано ненулевое комплексное число z = r(cos φ+ i sin φ) и натуральное число n. Примем без доказательства, что уравнение wn = z имеет в точности n раз-

личных решений w0, w1, ..., wn 1, которые называют корнями n-й

√

степени из комплексного числа z и обозначают символом n z.

√

где n r — действительное положительное число.

Доказательство. Будем искать w в тригонометрической форме w = ρ(cos ψ + i sin ψ) как решение уравнения wn = z. Тогда по формуле Муавра (1.2) возведения в целую степень получим

wn = ρn(cos nψ + i sin nψ) = r(cos φ + i sin φ) = z.

Отсюда

n

Таким образом, формула (1.3) доказана.

Важно отметить, что на комплексной плоскости корни

из комплексного числа z = r(cos φ + i sin φ) расположены в вершинах правильного n-угольника и удалены от начала координат

11

√

на расстояние ρ = n r. Интересной геометрической интерпретацией обратной формулы Муавра (1.3) является изображение на

комплексной плоскости корней n-й степени из 1.

√

Для примера вычислим 5 1. Рассматривая число 1 как комплексное, имеем r = 1, φ = 0. Используя формулу (1.3), получим

Перебирая разные значения k = 0, 1, 2, 3, 4, ..., последовательно будем получать

w4

Рис. 5: Корни пятой степени из 1

Таким образом, все эти корни лежат на окружности радиуса 1 (так как их модули равны 1), а более точно, они расположены

12

в вершинах правильного пятиугольника, одна вершина которого совпадает с числом 1 (рис. 5). Отметим, что эти корни попарно сопряженные, w¯1 = w4, w¯2 = w3. Это не случайно, справедливо следующее утверждение.

Теорема. Если комплексное число z = x + iy является решением уравнения с вещественными коэффициентами, то комплексно сопряженное число z¯ = x−iy тоже является решением этого уравнения.

Пусть φ — произвольное действительное число, символом eiφ обозначают комплексное число cos φ + i sin φ, с помощью этого обозначения всякое комплексное число z = r(cos φ + i sin φ), где r = |z|, может быть записано в показательной форме z = reiφ. Соотношение

называется формулой Эйлера.

В показательной форме удобно выполнять операции умножения, деления и возведения в целую степень.

Пусть z = reiφ, z1 = r1eiφ1 и z2 = r2eiφ2 , тогда

z1 · z2 = r1r2 · ei(φ1+φ2), zn = rn · einφ.

В заключение отметим, что существует замечательная формула, которая связывает основные математические константы,

eiπ + 1 = 0.

Это соотношение легко получается из формулы Эйлера.

1.3.Примеры задач с решениями

1.Найти (1 + 2i)(2 − 3i).

Решение.

(1+2i)(2−3i) = 1·2−1·3i+2i·2−2i·3i = 2+6+i(4−3) = 8+i.

2.Найти (1 + 2i)(2 − 4i).

Решение.

(1 + 2i)(2 − 4i) = (1 + 2i) · 2 · (1 − 2i) = 2(1 + 4) = 10.

13

{

a2 − b2 = −5,

a = 6b ,

36b2 − b2 = −5,

a = 6b ,

b2 = 9; b = ±3; a = ±2.

√

−5 + 12i = ±(2 + 3i).

7.Вычислить (1 + √3i)12.

Решение.

√

Вычислим модуль комплексного числа 1 + 3i.

√ √ √ √

|1 + 3i| = 12 + ( 3)2 = 1 + 3 = 2.

Тогда, записывая это число в тригонометрической форме,

=212(cos 4π + i sin 4π) = 4096.

8.Вычислить (1 + i√3)10.

Решение.

Из предыдущего примера

15

1.4.Задачи для самостоятельного решения

Здесь и далее используются задания из сборника Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Сборник задач по высшей алгебре. M., 1999. Нумерация ФС-55 соответствует задаче № 55 из указанного издания.

1. ФС-107. Выполнить действия:

2. ФС-109. Вычислить

a)− 12 + i 23 )2.

3.ФС-112. Вычислить

√

c)3 − 4i.

4.ФС-123. Описать множество точек, изображающих комплексные числа,

a)модуль которых равен 1; b) аргумент которых π/6.

5.ФС-124. Описать множество точек, изображающих комплексные числа z, удовлетворяющие неравенствам

a)|z| < 2; c) |z − 1 − i| < 1.

6.ФС-137. Вычислить, пользуясь формулой Муавра:

a)(1 + i)25; b) (1 + i√3 )20. 1 − i

7.ФС-143. Извлечь корни:√

√ √ √ √ √

a) 3 i; b) 3 2 − 2i; c) 4 −4; d) 6 1, e) 6 −27.

8. ФС-145. Вычислить

√

1 − i a) 6 √ .

3 + i

16

2.Многочлены

2.1.Основные понятия и действия с многочленами

Назовем одночленом произведение, состоящее из числового множителя и одной или нескольких переменных, взятых каждая в неотрицательной целой степени, например, 5x, 3x2, 12x3y6.

Одночленом также считается каждое отдельное число (без буквенных множителей), причем степень такого одночлена равняется нулю. Числовой множитель при этом называется коэффициентом, а сумма степеней переменных — степенью одночлена.

Многочленом называется сумма одночленов. При сложении одночленов разных степеней под степенью многочлена понимается максимальная степень слагаемых. В этом разделе будем рассматривать многочлены (полиномы) одного переменного.

Итак, примерами многочленов являются выражения

P1(x) = 3x + b,

P3(x) = x3 + 2x2 + x + 1,

P0 = −3

(нижним индексом принято обозначать степень полинома). Не являются многочленами следующие функции:

x2 + x1 + 3,

x3 + 2x2 + sin x,

x2 + x tg x.

Обозначим

Pn(x) = anxn + an 1xn 1 + ... + a1x + a0,

Qm(x) = bmxm + bm 1xm 1 + ... + b1x + b0.

Отметим, что тождественное равенство многочленов возможно только в том случае, если коэффициенты при одинаковых степенях равны:

Pn(x) ≡ Qm(x) n = m; an = bn, . . . , a0 = b0.

17

Для многочленов определены следующие действия. 1. Сложение

Pn + Qm = Rk, где k ≤ max(n, m).

Например,

(x3 + 2x2 + 1) + (3x2 − 1) = x3 + 5x2 = R3,

(x3 + 2x2 + 1) + (−x3 − x2 + 1) = x2 + 2 = R2, (x3 + 2x2 + 1) + (−x3 − 2x2 + 3) = 4 = R0.

2. Умножение (Pn ≠ 0, Qm ≠ 0)

Pn · Qm = Rk, где k = m + n.

Например,

(x2 − 1)(x2 + 1) = x4 − 1 = R4.

3. Деление с остатком

Pn = Qm · Sn m + Rk, k < m,

где многочлен Rk — остаток от деления многочлена Pn на многочлен Qm. В качестве примера деления многочленов в столбик разделим многочлен x4 + 2x3 + 3x + 4 на многочлен x2 + x + 1.

Таким образом, результат деления можно записать в виде

x4 + 2x3 + 3x + 4 = (x2 + x + 1)(x2 + x − 2) + (4x + 6).

18

2.2.Корни многочленов

Определение. Число z называют корнем многочлена Pn, если

Pn(z) ≡ anzn + an 1zn 1 + . . . + a1z + a0 = 0.

Поделим многочлен Pn(x) на многочлен первой степени x − a. Получим

Пусть число a является корнем многочлена Pn(x). Подставляя x = a в выражение (2.5), получим

Pn(a) = R0 = 0.

Таким образом, мы доказали следующее утверждение.

Теорема Безу. Остаток от деления Pn(x) на (x−a) равен Pn(a) — значению многочлена в точке a.

Таким образом, Pn(x) делится без остатка на (x − a) тогда и только тогда, когда Pn(a) = 0, т. е. когда число a является корнем многочлена Pn(x). В этом случае справедливо разложение

Pn(x) = (x − a)Pn 1(x).

Определение. Говорят, что корень a имеет кратность m, если многочлен делится на (x − a)m и не делится на (x − a)m+1.

Теорема. Каждый многочлен имеет по крайней мере один корень (вообще говоря, комплексный), откуда следует разложение

Pn(x) = (x − x1)Pn 1(x).

Далее, повторяя рассуждения для многочлена Pn 1(x), получим

Pn(x) = (x − a)Pn 1(x) = (x − x1)(x − x2)Pn 2(x) = ... =

= (x − x1)(x − x2) . . . (x − xn) · an.

19

y

Рис. 6: Многочлены второй степени

Рис. 7: Многочлены третьей степени: а — один вещественный корень и два комплексных, б — три различный вещественных корня, в — один простой вещественный корень и один кратный

Таким образом, многочлен n-й степени имеет ровно n корней (вообще говоря, комплексных) с учетом их кратности.

На рис. 6 – 8 приведены примеры расположения графиков многочленов в зависимости от степени полинома, знака старшего коэффициента и наличия вещественных корней.

Итак, любое из чисел x1, x2, . . . , xn является корнем. Другие значения x корнями не являются, поскольку в этом случае ни один из множителей разложения в правой части равенства не обращается в ноль. Отсюда следует, что у многочлена n-й степени не может быть более чем n корней. Если многочлен обращается в

20