Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика для студентов-медиков. В 4 частях. Ч.1. Начала линейной алгебры. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

608 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 126 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

4.Перемножить матрицы

				2			и		(					).
			3				и		(			2		).
				1						1		2		3
Вычисляя по этому же правилу, получаем
2	(	)		2 · 1					2 · 2 2 · 3								2 4 6
	(	)
				3 1					3 2 3 3							=
1 1 2 3 =					1		1		1	·	2 1		·	3		=	1	2 3 .
3						·				·			·				3	6 9

				·						·			·
5. Перемножить матрицы
			(					)					2
			(					)					3
			1 2				3			и
			1 2				3			и		1 .
Перемножая по правилу “строка на столбец”, получим
				2 + 2 + 9 = 13.
6. Вычислить определитель										4 .
							1			4 .
								2		3

По правилу вычисления определителя															второго порядка по-
лучаем
			2	3
			2	3

		1 4 = 2 · 4 − 1 · 3 = 5.
7. Вычислить определитель
				−							cos α
					sin α						cos α
						cos α sin α							.

Аналогично предыдущему примеру

−

cos α

sin α

cos α

sin α = sin α · sin α − (−cos α) cos α =

= sin2 α + cos2 α = 1.

8. Вычислить определитель

sin α

cos α

sin β

cos β .

По правилу вычисления

определителя

второго порядка по-

лучим

sin α

cos α

cos β

= sin α · cos β − sin β · cos α = sin(α − β).

sin β

9. Вычислить определитель

−a

x .

−

1-й способ. В соответствии

с правилом

вычисления опреде-

лителей третьего порядка (3.14) получаем

−a

−

= a

x + a

x ( a) + a ( a)

( a) −

·a

·( a) +· a ·x−

( a) +· a−

(

·a)−x )=

(

· −

−

)

(

−

)

− ·

2x+a3

)−(−

a2x

−

= a2

a2x = 2a3+2a2x = 2a2(x+a).

2-й способ.

Будем проводить элементарные преобразования со строками матрицы, приводя матрицу к гауссовому виду:

a	a a	a	a a		a a		a
−a	a x s −a		a x s		0	2a	x + a s
−a	−a x	0	−2a 0 0			−2a	0
		a	a	a	.
		0	x + a	2a	.
	− 0		0	−2a

В последней матрице единственное не равное нулю произведение элементов составляют числа, стоящие на главной диагонали, поэтому

det		0	x + a	2a	= 2a2(x + a).
		a	a	a
	−
		0	0	−2a

Все способы нахождения определителей можно комбинировать. Так, проведя одно элементарное преобразование, в качестве третьей строки записана разность между третьей и второй строками исходной матрица. У этой матрицы в третьей строке всего один ненулевой элемент, так что можно посчитать определитель, раскладывая по третьей строке:

det

= (

1)3+2

( 2a) det

−0

−

· − ·

−

)

2a 0

(

= −1 · (−2a) · (a · x − a · (−a)) = 2a · (ax + a2) = 2a2(a + x).

10. Вычислить определитель

1 .

Проделаем со строками исходной матрицы размера 4×4 элементарные преобразования, не меняющие определитель. В соответствии с методом Гаусса будем последовательно занулять элементы, стоящие ниже главной диагонали. Затем выпишем разложение определителя по первому столбцу, содержащему единственный ненулевой элемент.

		1			2	3	4		1	2		3		4
det	2				3	4	1	= det	0	−1		−2		−7		=
					4	1				−		−		−
	3				4	1	2		0	−2		−8		−10
	4				1	2	3		0		7		10	13
							−1	−2	−7					1	2		7
= ( 1)1+1		·	1	·	det −2			−8	−10		=	−	det	2	8		10 .
−		·		·		−7 −10			−13			−		7	10		13

С получившейся матрицей размера 3 × 3 проведем аналогичные преобразования, чтобы в первом столбце ниже главной диагонали получить нулевые элементы. Затем разложим определитель по первому столбцу с единственным ненулевым элементом, при этом определитель размера 2 × 2 вычисляем непосредственно:

		1	2	7		1	2	7
−	det	0	4	−4	= det	0	4	−4	=
−		0	−4	−36		0	4	36

()

= (

1)1+1

det

−4

= 4

−

(

−

4 = 160.

−

11. Решить систему уравнений

2x1 − x2 − x3 = 4,

3x1 + 4x2 − 2x3 = 11, 3x1 − 2x2 + 4x3 = 11.

1-й способ. Найдем решение системы методом Крамера.

Для краткости запишем систему в матричном виде

2	−1	−1	x1	4
3	−2	4	x3	11
3	4	−2 x2		= 11 .

Вычислим определитель матрицы системы

	2	−1	−1
∆ = det	3	4	−2	= 60 = 0,
	3	−2	4	̸

так что эта система допускает решение методом Крамера. Для этого вычислим еще три определителя, заменяя соответствующий столбец в исходной матрице на столбец правой

части:

−1

∆1 = det

−2

= 180,

−2

−1

∆2

= det

−2

= 60,

−1

∆3

= det

= 60,

так что

−2

x1 =

∆1

= 3, x2 =

∆2

= 1, x3 =

∆3

= 1.

∆

2-й способ. Решим систему методом Гаусса, проводя элементарные преобразования с расширенной матрицей системы,

2	−1	−1	4	s	−1 −5		1	−7	s
3	4	−2	11	s	3	4 −2		11	s
3	−2	4	11		0	−6	6	0

−1 −5 1

−7

−1

−5

−7

−11 1

−1

−1 1

−0

0 −10

−10

что соответствует системе уравнений

− x1

−

5x2

+ x3

= −7,

−

10x3

−

10,

эквивалентной исходной. Треугольный вид этой системы легко позволяет найти решение

x3 = 1, x2 = 1, x1 = 3.

12. Обратить матрицу

1	2
A = (2	5).

1-й способ. Допишем к матрице A справа единичную матрицу E размера 2 × 2, отделив ее от исходной матрицы вертикальной чертой. Будем выполнять с полученной прямоугольной матрицей такие элементарные преобразования строк, чтобы слева от черты получилась единичная матрица. Тогда справа от черты будет матрица, обратная исходной.

(	1	2	1	0	) (	1	2	1	0	) (	1	0	5 −2 .
(	2	5	0	1	) (	0	1	−2	1	) (	0	1	−2 1 )

Двигаясь по методу Гаусса сверху вниз, мы отняли из второй строки удвоенную первую. В результате получили верхнетреугольную матрицу. Вторым шагом, двигаясь снизу вверх, из первой строки отняли удвоенную вторую и получили слева от черты единичную матрицу.

Таким образом,	(−2 1 )
	A 1 = 5	−2 .

2-й способ. Используем для нахождения обратной матрицы метод алгебраических дополнений. Вычислим определитель исходной матрицы

	1	2
			= 5 − 4 = 1 ̸= 0.
2 5			= 5 − 4 = 1 ̸= 0.

Будем обозначать через Aij алгебраическое дополнение к элементу aij.

	A11 = (−1)1+1 · 5 = 5,					A12 = (−1)1+2 · 2 = −2,
Тогда	A21 = (−1)2+1 · 2 = −2,						A22 = (−1)2+2 · 1 = 1.

	1		A11	A12	T		5 −2	T	5 −2 .
A 1
	=					=		=
		det A	(A21	A22)
							(−2 1 )		(−2 1	)

13.Найти матрицу, обратную к

1 2 −3

					0	1	2	.
		B = 0				0	1	.
Найдем определитель матрицы B,
				0		0	1
					1	2	−3
						1	2
	det B = 0					1	2	= 1.

Вычислим Bij — алгебраические							дополнения			к соответству-
ющим элементам bij,			i, j = 1, 2, 3, исходной матрицы.
		1	2							0	2
B11												= 0,
B11	= (−1)1+1 0		1 = 1, B12 = (−1)1+2						0		1	= 0,

−					0 1												−							0 1									−
B13 = ( 1)1+3						0		1		= 0, B21 = (									1)2+1						2				−3		=		2,
																												0
	−				0				1												−							0		0
										3													2+3						1	2
B22 = ( 1)			2+2			1				3			= 1, B23 = ( 1)										2+3						1	2		= 0,
B22 = ( 1)								−					= 1, B23 = ( 1)																			= 0,

−				1 2															−						0 2								−
		3+1			2			3														3+2					1
B31 = ( 1)		3+1			2			3														3+2					1		−	3		= 2,
B31 = ( 1)								−			= 7, B32 = ( 1)																		−			= 2,
														3+3		1 2
					B33 = (−1)										0 1 = 1.

Тогда обратная матрица есть
													B1 1		B1 2					B1 3						T
								1					B1 1		B1 2					B1 3
	B 1 =							1				B2 1			B2 2					B2 3								=

							det B
												B3 1				−2					1
				1				0					0 T			1			−2					7
				7				−2 1								0				0				1
	= −2							1 0 = 0												1			−2 .
14. Найти неизвестную матрицу X из уравнения
								1			2					3		5
						(3					4)X =				(5			9).															(3.17)
Обозначим
								1				2							3			5
			A = (3 4), B = (5 9),

тогда уравнение можно записать в виде

AX = B.

Домножим левую и правую части уравнения слева на A 1,

получим

A 1AX = A 1B,

т. е.

X = A 1B.

Любым способом найдем матрицу A 1, получим
		A 1 = (−32 11 ).
						2			−		2
Тогда		( 2		−2 )				(5 9) ( 2											3 )
		( 2		−2 )				(5 9) ( 2											3 )
1		−2			1				3			5			=			1	1
X = A	B = 3				1										=	− − .

Проверка соотношения (3.17) предоставляется читателю.
15. Решить уравнение				5 −3) (										3 −1)
(3 2) (				5 −3) (										3 −1)
2 1 X −3 2									= −2 4 .
С учетом обозначений				(	5 −3)											( 3 −1)
(3 2)				(	5 −3)											( 3 −1)
A = 2 1 , B = −3 2												, C = −2 4
исходное уравнение запишется в виде
			A X B = C.
Домножим обе части исходного уравнения на матрицу A 1
слева, а на матрицу B 1 — справа, получим
	1	A X					1						1CB			1	,1
	A 1	(		B)B 1				= A						1			,1
(		) X		(= A				)		.
	A	A X BB							= A CB ,
							1CB 1
Вычислим					(−3					2		)
		A 1 =			2				−1					,

			3	2
			B 1 = (5	3).
Теперь можно вычислить искомую матрицу
X =	2 −1	)(	−2 4	3	2 =	24 13 .
	(−3 2	)(	3 −1)(5		3) (−34 −18)

16. Найти ранг матрицы

	1	−2	3		−1		−1	−2
	2	−1 1			0		−2	−2
			−				−	−
	−2								.
		−5 8			−4 3			−1
−		−		1	−		7
	6	0			2			5
	1	1	1			1	2	1

Для нахождения ранга матрицы воспользуемся методом Гаусса. Последовательно получим

		1		−2		3			−1	−1		−2
		2	−1 1						0 −2 −2
						−				−		−
rang		−2		−5					−4						=
						8				3		−1
	−			−				1	−	7
		6		0					2			5
		1			1	1			1	2		1
		1		−2		3			−1	−1		−2
	0			3		−5			2	0		2
						−				−
				−9					−6			−5				=
= rang		0				14				1
				−			19		−		1	−
	0			12					8			7
	0			3		4			2	1				1
			1	−2		3			−1	−1		−2
		0		3		−5			2	0		2
										−		−
= rang			0	0		−1			0							=
				0		−			0		1
		0				1							1
		0		0				1	0	1		1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 126 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]