Математика и информатика. Материалы Международной конференции (Москва, 14 - 18 марта 2016 г.)

также если Z – разрешимое многообразие Z для ≥ 2 (в том числе мета-

белево многообразие Z) или многообразие Z всех колец Ли.

Отметим следующее утверждение об элементарной эквивалентности алгебр и колец Ли.

Следствие 11. Пусть F – произвольное поле, F – многообразие алгебр Ли содержащее в качестве подмногообразия F. Тогда свободные алгебры ( F)

и ( F) различных конечных рангов и , соответственно, не элементарно эквивалентны. Аналогичное утверждение справедливо и для колец Ли ( Z) и ( Z).

Заметим, что Е.Н. Порошенко [1] представил алгоритм вычисления коммутаторной ширины элемента коммутанта алгебры F любого конечного ранга над алгебраически замкнутым полем F нулевой характеристики с алгоритмически разрешимой проблемой существования решения у произвольной системы

линейных уравнений. Другими словами, он доказал алгоритмическую разреши-

∑

мость уравнений вида [ , ] = , в котором , ( = 1, ..., ) – неизвестные,

=1

– фиксированный элемент. Уравнения вида ( 1, ..., ) = , где левая часть

– слово от неизвестных 1, ..., , а – фиксированный элемент, как в группах, так и в алгебрах (кольцах) называются расщепляемыми. В [2] показана алгоритмическая неразрешимость расщепляемых уравнений в целом ряде относительно свободных колец Ли.

Список литературы

1.Порошенко Е.Н. Коммутаторная ширина элементов свободной метабелевой алгебры Ли. //Алгебра и логика, 2014, Т. 53, № 5. С. 587 – 613.

2.Романьков В.А. О неразрешимости проблемы эндоморфной сводимости в свободных нильпотентных группах и в свободных кольцах. //Алгебра и логика, 1977, Т. 16, № 4. С. 457 – 471.

Алгебры квазиэндоморфизмов некоторых квазиразложимых абелевых групп без кручения ранга 4

Чередникова А. В. av-cherednikova@list.ru

Всюду в работе под словом «группа» подразумевается абелева группа без кручения конечного ранга, записанная аддитивно.

Пусть Q — поле рациональных чисел и группа содержится в делимой обо-

.

лочке Q группы . Группы и называются квазиравными ( = ), если существуют натуральные числа и такие, что и . Под ква-

зиразложением группы понимается семейство ненулевых подгрупп ( )

.

делимой оболочки Q группы таких, что = . Группа называется квазиразложимой, если она обладает нетривиальными квазиразложениями.

Алгеброй квазиэндоморфизмов или кольцом квазиэндоморфизмов ( ) группы

называется Q-алгебра Q ( ), где ( ) — кольцо эндоморфизмов группы

.

Понятие алгебры квазиэндоморфизмов группы было введено Р. Бьюмонтом и Р. Пирсом в 1961 году в их совместной работе [1]. Эта работа послужила возникновению задачи классификации алгебр квазиэндоморфизмов групп малых рангов. В частности, в ней были перечислены все рациональные алгебры, реализующиеся в качестве алгебр квазиэндоморфизмов групп ранга 2. В конце 1990-х годов автором была получена классификация алгебр квазиэндоморфизмов групп ранга 3 [2].

Классификационная задача для групп ранга 4 до настоящего времени не является полностью решенной. В монографии Т. Фатикони (см. [3], теорема 4.4.9) представлена классификация алгебр квазиэндоморфизмов сильно неразложимых групп ранга 4 с нулевым радикалом Джекобсона. На пути решения этой проблемы для сильно неразложимых групп ранга 4 с ненулевым радикалом

Джекобсона получен ряд результатов в работах [4,5]. Классификационная задача для почти вполне разложимых групп ранга 4 решена автором в работах [6,7].

В данной работе получена классификация алгебр квазиэндоморфизмов групп ранга 4, квазиразложимых в прямую сумму сильно неразложимых групп ранга 2. Доказано, что с точностью до изоморфизма или антиизоморфизма существует 26 алгебр и 9 бесконечных серий алгебр, реализующиеся в качестве алгебр квазиэндоморфизмов таких групп.

Приведем некоторые из полученных результатов.

Замечание. В нижеследующих теоремах 1–2 нижний индекс i алгебры A(ij)

обозначает ее размерность над Q, а верхний индекс j — порядковый номер алгебры. Кроме этого, k в обозначении алгебры A(ij)(k) и в записи представляющей ее матрицы — свободное от квадратов целое число.

.

Теорема 1. Пусть — группа ранга 4 такая, что = , где и— сильно неразложимые группы ранга 2. Пусть группы квазигомоморфизмов Q ( , ) и Q ( , ) имеют ранг 1. Кольцо K реализуется в каче-

стве алгебры квазиэндоморфизмов ( ) группы , K ( ), тогда и только

=

тогда, когда K изоморфно или антиизоморфно одной из следующих алгебр:

.

Теорема 2. Пусть — группа ранга 4 такая, что = , где и— сильно неразложимые группы ранга 2. Пусть группа квазигомоморфизмов

Q ( , ) имеет ранг 2, а группа квазигомоморфизмов Q ( , ) имеет ранг 1 или 2. Кольцо K реализуется в качестве алгебры квазиэндоморфизмов

( ) группы , K ( ), тогда и только тогда, когда K изоморфно или

=

антиизоморфно одной из следующих алгебр:

Список литературы

1.Beaumont R.A., Pierce R.S. Torsion free groups of rank two // Mem. Amer. Math. Soc. 1961. V. 38, P. 1–41.

2.Чередникова А.В. Кольца квазиэндоморфизмов абелевых групп без кручения ранга 3: дис. ... к.ф.-м.н. / М.: МПГУ, 1998.

3.Faticoni T.G. Direct sum decompositions of torsion-free finite rank groups / CRC Press, 2007.

4.Чередникова А.В. Кольца квазиэндоморфизмов сильно неразложимых абелевых групп без кручения ранга 4 с псевдоцоколями ранга 3 // Фунд. и прикл. матем. 2010. Т. 16, № 3. С. 245–250.

5.Чередникова А.В. О кольцах квазиэндоморфизмов сильно неразложимых абелевых групп без кручения ранга 4 с псевдоцоколями ранга 1 // Фунд. и прикл. матем. 2012. Т. 17, № 8. С. 177–182.

6.Чередникова А.В. Кольца квазиэндоморфизмов почти вполне разложимых абелевых групп без кручения ранга 4 с нулевым радикалом Джекобсона // Фунд. и прикл. матем. 2012. Т. 17, № 8. С. 169–175.

7.Чередникова А.В. Кольца квазиэндоморфизмов почти вполне разложимых абелевых групп без кручения ранга 4, не совпадающих со своими псевдоцоколями // Матем. заметки. 2015. Т. 97, № 4. С. 609–619.

Гомоморфизмы -упорядоченных колец

Ширшова Е. Е. (Москва, МПГУ) shirshova.elena@gmail.com

Пусть =< , +, · > – кольцо. Кольцо называется частично - упорядоченным кольцом, если < , +, ≤> – частично упорядоченная группа, удовлетворяющая условию:

если > 0 в < , +, ≤>, то ≤ и ≤ для всех ( [1]). Множество + = { |0 ≤ } – положительный конус кольца .

Пусть =< , +, ·, ≤> – ассоциативное линейно -упорядоченное кольцо. Известно, что существуют кольцо Ли

и йорданово кольцо

Кольца − и + в этом случае также являются -упорядоченными кольцами.

Подгруппа частично упорядоченной группы называется выпуклой, если из неравенств ≤ ≤ следует для всех , и . Идеал кольца < , +, ·, ≤>, являющийся выпуклой подгруппой в < , +, >, называется

выпуклым идеалом кольца .

Теорема 1. Если =< , +, ·, ≤> – частично -упорядоченное кольцо, то для каждого элемента + ( ̸= 0) существует выпуклый направленный идеал ( [2, 3]), положительный конус которого состоит из элементов+, удовлетворяющих неравенству ≤ для некоторого целого числа > 0.

Пусть – гомоморфизм частично упорядоченной группы в частично упорядоченную группу . Говорят, что сохраняет отношение порядка, если из

неравенства ≤ в группе следует верность неравенства ( ) ≤ ( ) в группе

.

Теорема 2. Пусть =< , +, ·, ≤> – частично -упорядоченное кольцо,

– выпуклая направленная подгруппа группы =< , + >, – естественный гомоморфизм группы на группу / . Тогда существует частично - упорядоченное кольцо / , и является гомоморфизмом кольца на кольцо

/ , сохраняющим отношение порядка.

Частично упорядоченная группа называется интерполяционной группой, если для любых элементов 1, 2, 1, 2 из неравенств 1, 2 ≤ 1, 2 следует существование элемента , для которого верны неравенства 1, 2 ≤ ≤

1, 2.

Элементы , + частично упорядоченной группы =< , · > называются почти ортогональными, если из неравенств ≤ , следует верность неравенств 2 ≤ , для любого элемента .

Частично упорядоченная группа =< , · > называется -группой, если каждый элемент представим в виде = −1 для некоторых почти ортогональных элементов и группы .

Определение. Частично -упорядоченное кольцо называется - кольцом, если группа < , + > является интерполяционной группой и

-группой одновременно.

Пусть – гомоморфизм -группы в -группу . Говорят, что сохраняет отношение почти ортогональности, если из почти ортогональности элементов и в группе следует почти ортогональность элементов ( ) и

( ) в группе .

Теорема 3. Пусть =< , +, ·, ≤> – -кольцо, – выпуклая направленная подгруппа группы =< , + >, – естественный гомоморфизм группы на группу / . Тогда существует -кольцо / , и является гомоморфизмом кольца на кольцо / , сохраняющим отношение почти ортогональности.

Список литературы

1.Бибаева В.Н., Ширшова Е.Е. О линейно -упорядоченных кольцах. //Фундаментальная и прикладная математика. – 2011/2012. – Т. 17, вып.4.

– C. 13 – 23.

2.Фукс Л. Частично упорядоченные алгебраические системы. – М.: Мир, 1965.

3.Копытов В.М. Решеточно упорядоченные группы. – М.: Наука, 1984.

Секция

«Математический анализ, дифференциальные уравнения и их приложения»

Точные оценки типов целых функций с нулями заданных плотностей

Брайчев Г. Г. (Москва, МПГУ) braichev@mail.ru

Исследование зависимости роста целой функции от распределения ее нулей на комплексной плоскости имеет важное значение как в самой теории целых функций, так и во многих ее приложениях. Достаточно полно эта зависимость была изучена уже к середине прошлого века в случае "регулярно" растущих функций с "правильно" распределенными нулями (см. работы Б. Я. Левина [1], A. Пфлюгера [2]). Здесь асимптотические формулы для целой функции и ее нулей взаимно определяют друг друга. При отсутствии регулярности роста асимптотические законы перестают действовать, и на первый план выходят задачи определения точных границ изменения характеристик роста функции в зависимости от границ скорости изменения нулей. Классическими характеристиками роста целых функций являются тип и нижний тип, а скорость изменения нулей измеряется плотностями их распределения. Приведем точные определения.

Пусть Λ = ( )∞=1 — последовательность комплексных чисел, стремящаяся к бесконечности и выписанная в порядке неубывания модулей. Пусть далее

∑

Λ( ) = 1 — считающая функция (с учетом кратностей) этой последова-

| |≤

тельности, а Λ( ) := ∫ Λ( ) — ее усредненная, считающая функция (счи-

таем, что 0 / Λ.)

Зададим > 0. Верхняя и нижняя плотности при показателе ( -плотности) последовательности Λ, а также верхняя и нижняя усредненные -плотности последовательности Λ определяются равенствами соответственно