Линейные дифференциальные уравнения и системы линейных уравнений. Учебное пособие

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Л. А. Нежельская

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Учебное пособие

Томск Издательство Томского государственного университета

2023

УДК 517.9 ББК 22.161.6

Н 43

Нежельская Л. А.

Н 43 Линейные дифференциальные уравнения и системы линейных уравнений : учеб. пособие. – Томск : Издательство Томского государственного университета, 2023. – 142 с.

ISBN 978-5-907572-74-4

В учебном пособии рассматриваются обыкновенные линейные дифференциальные уравнения как с переменными, так и с постоянными коэффициентами и линейные системы дифференциальных уравнений. Для каждого класса уравнений и систем формулируются основные определения и понятия; излагаются методы интегрирования либо сведения из теории, которые позволяют прийти к решению поставленной задачи.

Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению «Прикладная математика и информатика» и другим направлениям с повышенной математической подготовкой, а также для аспирантов по научной специальности «2.3.1. Системный анализ, управление и обработка информации, статистика» и всех специалистов-исследователей, связанных с решением дифференциальных уравнений.

УДК 517.9 ББК 22.161.6

Рецензенты:

А. Г. Дмитренко, доктор физико-математических наук, профессор; А. О. Жданова, кандидат физико-математических наук, доцент

© Нежельская Л. А., 2023

ISBN 978-5-907572-74-4 © Томский государственный университет, 2023

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

уравнений и систем уравнений, побуждает автора к необходимости изложения теории дифференциальных уравнений в том числе через рассмотрение практических и научных задач. Такой подход способен сформировать у студентов второго курса научный интерес и обеспечить их вовлечённость в научный процесс.

Учебное пособие состоит из трёх разделов: первый посвящён линейным дифференциальным уравнениям с переменными коэффициентами, второй – линейным уравнениям с постоянными коэффициентами и приводящимся к ним, третий раздел – линейным системам с постоянными коэффициентами. Разобрано порядка сорока уравнений и систем уравнений. Для каждой из предложенных тем приводятся список заданий для самостоятельной работы и ответы к ним.

Учебное пособие может быть использовано бакалаврами, магистрантами и аспирантами высших учебных заведений с повышенной математической подготовкой, а также специалистамиисследователями, имеющими интерес к дифференциальным уравнениям.

4

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

мыми на отрезке a x b .

Определение. Любые n линейно независимых частных решений линейного однородного уравнения n -го порядка называются его фундаментальной системой решений.

Если y1 x , y2 x ,..., yn x есть фундаментальная система ре-

шений уравнения (1.2), то его общее решение на отрезке a x b имеет вид

где C1,C2 ,...,Cn – произвольные постоянные.

Пусть имеется n функций y1 x , y2 x ,..., yn x , имеющих непрерывные производные до n 1 -го порядка.

Определитель

называется определителем Вронского (Вроньский Юзеф (1776– 1853) – польский математик и философ-мистик) этих функций.

Для определителя Вронского n частных решений y1, y2 ,..., yn

линейного однородного уравнения (1.2) имеет место формула Остроградского – Лиувилля

6

1861/62) – русский математик, академик Петербургской Академии наук (1830); Лиувилль Жозеф (1809–1882) – французский математик, иностранный член-корреспондент Петербургской Академии наук (1840).

1.2.Однородные линейные уравнения

1)Если известно частное решение y1 уравнения (1.2), то его порядок понижается на единицу подстановкой

7

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

в котором коэффициент при z тождественно равен нулю, т.к. y1

есть решение уравнения (1.2). В последнем уравнении порядок понижается на единицу, если ввести новую искомую функцию u z . Получаем линейное уравнение порядка n 1 с новыми ко-

Замечание. Если известны два частных линейно независимых решения уравнения (1.2), то порядок уравнения может быть понижен на две единицы.

Нахождение частного решения линейного однородного уравнения

Универсального алгоритма для отыскания частного решения уравнения

не существует.

В отдельных случаях, когда функции ai x , i 0, n , являются многочленами, удаётся найти частное решение путём подбора:

1) в виде y eax ; коэффициент a определяется подстановкой y eax в (1.2) и приравниванием к нулю коэффициентов при соответствующих степенях x ;

2) в виде многочлена y xn a1xn 1 ... an . Степень многочлена n находится подстановкой y в (1.2) и приравниванием к нулю коэффициента при старшей степени x ; коэффициенты многочлена a1,...,an определяются подстановкой y в (1.2) методом неопределённых коэффициентов.

8

1. Линейныеуравнения с переменными коэффициентами

Пример 1.1. Решить уравнение

a 1.a 0,

a 1.

Находим a 1, следовательно, частное решение y1 e x . Непо-

средственной подстановкой y1 e x в уравнение (1.9) убеждаемся, что частное решение найдено верно.

2) В (1.9) выполним замену y e x z . Так как y e x z e x z , y e x z 2e x z e x z , то (1.9) принимает вид

9

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

x2 3x 4 z x2 5x 7 z 0 .

Полагая u z , получаем линейное уравнение первого порядка

решение уравнения первого порядка относительно функции u .

частное решение уравнения (1.10).

Решения уравнений (1.9) и (1.10) связаны зависимостью (1.8), в силу которой находим

y2 y1 u1dx , y2 e x x2 3x 4 ex dx .

Вычисляя интеграл два раза по частям, находим y2 e x x2ex xex 3ex C .

Наконец, полагая C 0 , находим второе частное решение уравне-

ния (1.9):

y2 x2 x 3 .

Нетрудно показать, что решения y1 e x и y2 x2 x 3 линейно независимы x . Согласно (1.4) тождество

10