Линейные дифференциальные уравнения и системы линейных уравнений. Учебное пособие

3.Линейныесистемы с постоянными коэффициентами

x 4x y 5t 1,

6.y x 2y t 1.

Найти все действительные решения систем уравнений, построив частные решения по виду вектора F :

x 2 y 3t,

7.y 2x 4.

8.x y t2 6t 1,y x 3t2 3t 1.

9.x 3x y e2t ,y x 5y et .

10.x 2x 4 y cost,

y x 2 y sin t.

11.x x y 2e t ,

y 6x 4 y 4e t .

x x y t2 ,

12.y y z 2t,z z t.

Ответы

111

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

x cost sin t sin t ln tgt

3.y C1 sin t C2 cost cost ln tgt .

112

3. Линейныесистемы с постоянными коэффициентами

3.6.Общие методы интегрирования систем

3.6.1.Метод исключения

Метод интегрирования нормальной системы n дифференциальных уравнений

заключающийся в приведении системы к одному уравнению n -го порядка с одной неизвестной функцией или к нескольким таким уравнениям с суммой их порядков, равной n , называется методом исключения.

В качестве примера применения метода рассмотрим решение системы дифференциальных уравнений в научной задаче, связанной с изучением MAP-потока (Markovian Arrival Process) – дважды стоха-

стического потока событий, являющегося математической моделью реальных информационных потоков запросов (сообщений) в телекоммуникационных сетях и системах связи [4, стр. 29–33].

Пример 3.10. Рассматривается поток событий, сопровождающий случайный процесс которого t является кусочно-

постоянным с двумя состояниями – S1 и S2 : если t i , то

113

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

процесса t возможны следующие ситуации, каждая из которых протекает мгновенно: 1) наступает событие потока, и процесс t

P0 j i P1 j i P1 i i 1, i, j 1,2 , i j .

Вариант возможного поведения случайного процесса t и MAP-потока событий представлен на рис. 1, где S1 и S2 – состояния процесса t ; t1,t2 ,...,tk ,... – моменты наступления событий в потоке.

114

3. Линейныесистемы с постоянными коэффициентами

Одной из характеристик случайного процесса t является априорная вероятность состояния S1 или S2 , в котором может находиться процесс t в произвольный момент времени t .

Необходимо получить систему дифференциальных уравнений для априорных вероятностей состояний процесса t для MAP-

потока событий, проинтегрировать её и выписать явный вид априорных вероятностей.

ные ситуации на полуинтервале t,t t , связанные с поведением процесса t :

115

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

2) в момент времени t значение процесса t i с вероят-

i t t0 i t o t P1 i i i P1 i i i t t0 t o t ;

3)в момент времени t значение процесса t j с вероят-

ностью j t t0 , j 1,2 , j i , и за промежуток времени длитель-

ности t закончится состояние S j процесса t с вероятностью

P1 i j ; вероятность рассмотренной ситуации равна

j t t0 j t o t P1 i j j P1 i j j t t0 t o t ;

4)в момент времени t значение процесса t j с вероят-

ности t закончится состояние S j процесса t с вероятностью1 e j t j t o t , не наступит событие потока, и процесс

116

3.Линейныесистемы с постоянными коэффициентами

j t t0 j t o t P0 i j j P0 i j j t t0 t o t .

В результате несложных преобразований находим

Разделив оба соотношения на t и выполнив в них предельный переход при t 0 , получим однородную систему линейных дифференциальных уравнений относительно априорных вероятно-

стей i t t0 состояний Si , i 1,2 , процесса t :

117

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

Тогда система запишется в виде

Решим полученное линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами заменой 1 t t0 ekt . Подставляя

Простым действительным корням соответствуют два линейно независимых частных решения

1 t t0 1 , 1 t t0 e a b t .

Общее решение уравнения есть 1 t t0 C1 C2e a b t . Тогда

2 t t0 1b dtd C1 C2e a b t ab C1 C2e a b t ba C1 C2e a b t .

Значения произвольных постоянных C1 и C2 в общем решении

118

3. Линейныесистемы с постоянными коэффициентами

системы уравнений определим из начальных условий: в момент

Решая последнюю систему, находим

Cb , C b e a b t0 .

1a b 2 a b

Сучётом вычисленных C1 , C2 , а также введённых

обозначений, решение (3.28) запишется в виде

где a и b определны в (3.27).

Методом исключения можно проинтегрировать и неоднородную систему порядка n 2 .

Пример 3.11. Найти все решения системы

119

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

и подставим в (3.30).

Запишем уравнение третьего порядка относительно неизвест-

Итак, система уравнений третьего порядка методом исключения приведена к уравнению третьего порядка относительно

неизвестной функции z t .

1) Решим соответствующее однородное уравнение с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение

k3 11k 2 28k 0

имеет простые действительные корни k1 0 , k2 4 , k3 7 .

Корням характеристического уравнения соответствуют линейно независимые решения

z1 1 , z2 e 4t , z3 e 7t .

Общее решение однородного уравнения есть

z0 C1 C2e 4t C3e 7t .

120