Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Линейные дифференциальные уравнения и системы линейных уравнений. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1513 14 15 > Следующая >>>

3.Линейныесистемы с постоянными коэффициентами

2)Подберём частное решение неоднородного уравнения (3.32)

по виду функции			f t 120et 18e t или		f t f	t f	2	t ,
					1		2
где f	t 120et ,	f	2	t 18e t .
1			2

Согласно принципу суперпозиции найдём частные решения

z1 t и z2 t

соответственно для уравнений

а) z 11z 28z 120et ; б) z 11z

28z 18e t .

Для случая а)

имеем

t 120et

e pt A

t ,

t 120 ,

m 0 ;

p 1 – не корень характеристического уравнения. Поэтому

частное решение имеет вид

B et .

Подставляя

t z t

z t B et

уравнение

п.

а),

получаем

B et 11B et 28B et 120et , 40B et 120et

B 3 и z

3et .

Для случая б)

имеем

18e t e pt A

t , где

t 18 ,

m 0 ;

p 1

–

не

корень

характеристического

уравнения.

Поэтому

B e t .

Подставляя

t B e t

уравнение в п. б), находим

B e t 11B e t 28B e t 18e t , 18B e t 18e t ,

B 1 и

t e t .

Частное решение неоднородного уравнения (3.32) есть

z z

t z t , z 3et e t .

3) Общее решение уравнения (3.32) запишется в виде

121

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

z C1 C2e 4t C3e 7t 3et e t .

Подставляя найденную функцию z в (3.31), найдём

x4C2e 4t 7C3e 7t 7et e t .

Наконец, подставляя x в (3.29), получим

y2C2e 4t 7C3e 7t et 2e t .

Общее решение системы имеет вид

x		0		4			7		7et		e t
y	C	0	C		2 e 4t C		7
y	C	0	C		2 e 4t C		7	e 7t et 2e t					.
	1			2		3						t
							1		3e	t	e	t
z		1			1		1		3e		e

3.6.2. Интегрируемые комбинации

Системы дифференциальных уравнений, в том числе и линейные, можно интегрировать путём подбора интегрируемых комбинаций.

Интегрируемой комбинацией называется дифференциальное уравнение, являющееся следствием уравнений системы

dxi	a	x		f		t , i 1, n ,	(3.1)
	n
dt	j 1 ij		j		i

но легко интегрирующееся.

Одна интегрируемая комбинация даёт возможность выписать одно уравнение

1 t, x1, x2 , , xn C1 ,

которое связывает неизвестные функции xi t ,	i		, и
		1, n

независимую переменную t . Такое уравнение называется первым интегралом системы (3.1).

Знание первого интеграла позволяет выразить одну из неизвестных функций через остальные и, подставив в систему, свести задачу к интегрированию системы меньшего порядка.

122

3. Линейныесистемы с постоянными коэффициентами

Пример 3.12. Найти общее решение системы

x 2 y,y 2x.

Решение. Складывая почленно уравнения системы, приходим к первой интегрируемой комбинации

x y 2y 2x , d x y 2 x y . dt

Интегрируя последнее уравнение с разделяющимися переменными, получаем первый интеграл

ln	x y	2t ln	C		e 2t .
				или x y C
				1

Вычитая почленно уравнения системы, приходим ко второй интегрируемой комбинации

x y 2y 2x , d x y 2 x y . dt

Интегрируя уравнение с разделяющимися переменными, находим ещё один независимый первый интеграл

ln x y 2t ln C или x y C2e2t .

Складывая почленно два уравнения системы относительно не-

известных функций x t

и y t :

e 2t

x y C

e2t ,

x y C

получаем

e 2t C

e2t

или x C1 e 2t

e2t .

2x C

Вычитая почленно уравнения алгебраической системы

относительно			x t и	y t ,	получаем							e 2t C		e2t	или
									2 y C				2
											1
y C1 e 2t	C2		e2t . Обозначим		C1	C	,	C2	C	2	.

2		2			2	1		2

Общее решение исходной системы имеет вид

123

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

x	C	1 e 2t C	1	e2t .
	1		2
y		1	1

Пример 3.13. Найти общее решение системы

x y z,y x y,z x z.

Решение. Вычитая из второго уравнения системы третье уравнение, находим интегрируемую комбинацию

y z y z ,	d y z	dt .
	y z

Тогда первый интеграл имеет вид y z C1et . С учётом первого

интеграла первое уравнение системы принимает вид x C1et ,

является уравнением с разделёнными переменными и легко интегрируется. Имеем

x C1et C2 .

Подставляя найденную функцию x t в третье уравнение системы, приходим к линейному неоднородному уравнению относительно z t :

z z C1et C2 ,

интегрируя которое методом вариации произвольной постоянной, находим

z C1tet C2 C3et .

Наконец, из первого интеграла запишем решение для y t :

y z C1et или y C1tet C2 C3et C1et .

Общее решение системы имеет вид

124

3. Линейныесистемы с постоянными коэффициентами

x			0	1
y	C	t 1		1	et
	1

z			1	0

	1		0
		C3			t	.
C2	1	C3	1	e		.

	1		1

Пример 3.14. Найти все действительные решения системы

x y,y z,

z x.

Решение. Складывая почленно все три уравнения системы, приходим к интегрируемой комбинации

x y z x y z ,	d x y z	dt .
	x y z

Из последнего уравнения с разделёнными переменными находим первый интеграл

x y z C1et ,

из которого выразим z и подставим во второе уравнение исходной системы.

Таким образом, знание первого интеграла позволило свести задачу интегрирования нормальной системы третьего порядка

относительно функций	x t ,	y t ,	z t	к интегрированию
системы второго порядка относительно x t ,				y t :
x	y,

	x y C et .
y	x y C et .
		1

Методом исключения находим линейное неоднородное

уравнение второго порядка относительно x t :
x x x C et .	(3.33)
1
Соответствующее однородное уравнение	решим заменой
x ekt . Тогда характеристическое уравнение	k2 k 1 0 имеет

125

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

простые комплексно	сопряжённые корни	k	1	3i .
		1,2	2
			2
Комплексное решение,	соответствующее корню	k	1	3i ,
		1	2

заменим двумя действительными решениями: действительной и мнимой частями комплексного решения

					1 3i			t								t			i		3		t							t								3													3
								t								t					3									t
						2
		x e								e						2 e					2				e					2			cos									t i sin											t	,
		x e								e						2 e					2				e					2			cos									t i sin											t	,
																																					2													2
																																					2													2
						t e					t										3										t e							t								3
			x								2		cos								3			t ,			x											2		sin						3		t .
			x								2		cos											t ,			x											2		sin								t .
			1																		2								2															2
																					2																							2
Общее решение однородного уравнения запишется в виде
												t														3															3
						x	e									C					cos					3				t		C				sin					3		t			.
											2								2
											2
						0																													3
																									2																2
																									2																2
Частное			решение									x					уравнения																(3.33)									будем								искать						в виде
x Ae	t	; подставляя																					Ae						t			в (3.33), находим																					3Ae		t	C1e	t	,
x Ae		; подставляя								x x								x					Ae									в (3.33), находим																					3Ae			C1e		,
откуда A			C1	.
откуда A			3	.
			3
Общее решение уравнения (3.33) имеет вид
			x C1 et														e				t							3			t C e								t							3
										C										2		cos						3											2			sin				3			t .
										C										2		cos																	2			sin							t .
						3									2											2										3										2
Тогда						3																				2																				2
Тогда
						C			t												1									3							3							3								t
						C															1									3							3							3
						1																																													2
		y	x				e					C			2								cos											t				sin									t e
		y	x				e					C											cos											t				sin									t e
						3															2								2							2							2
						3															2								2							2							2
											1										3									3							3								t
						C					1										3									3							3
														sin										t										cos						t e				2		,
														sin										t										cos						t e				2		,
						3					2										2								2								2
											2										2								2								2

126

3. Линейныесистемы с постоянными коэффициентами

z C et x y	1	C et C						1			3			3			3		t
	1							1			3	t		3			3		2
						2			cos							sin		t e
									cos							sin		t e
1	3		1					2			2			2			2
	3							2			2			2			2
			1		3				3			3				t
C			1		3		t		3			3
				sin						cos			t e		2 .
				sin						cos			t e		2 .
3			2		2			2				2
			2		2			2				2

Таким образом, общее решение системы принимает вид

															cos				3	t
																			3
																		2
x	1																	2
x	1						1								3				3					3
		t					1								3				3					3
y	C1 1 e		C2						cos								t					sin
y	C1 1 e		C2				2		cos						2		t		2			sin		2
							2								2				2					2
z	1						1		cos						3		t		3			sin		3

							2							2					2					2
							2							2					2					2

							sin						3		t
													3

											2														t
				3			3							1					3						t
	C			3			3			t				1					3		t		e
					cos											sin								2 .
					cos											sin								2 .
	3			2			2							2					2
				2			2							2					2
				3					3						1				3
						cos						t					sin					t
				2		cos		2				t			2		sin		2			t
				2				2							2				2



			t
			t
			2
	t e		2


	t

3.6.3. Метод Даламбера

Метод интегрирования линейной системы с постоянными коэффициентами, который состоит в приведении системы к одному линейному уравнению относительно новой неизвестной функции, предложен Д'аламбером; Д'аламбер Жан Лерон (1717–1783) – французский математик, механик и философ – просветитель, иностранный почётный член Петербургской Академии наук

(1764).

Рассмотрим систему

127

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

dx	a	x a	y f t ,
	11	12	1
dt			(3.34)
dy	a21x a22 y f2 t .
	a21x a22 y f2 t .
dt
Умножая второе уравнение на			постоянную k и складывая

почленно с первым уравнением системы, приходим к новому уравнению

d xdt ky a11 ka21 x a12 ka22 y f1 t kf2 t .

Преобразуем правую часть полученного уравнения так, чтобы выделить новую неизвестную функцию z t x ky , производная

от которой имеется в левой части уравнения. Запишем

d x ky

a12

ka22

t kf

t .

Полагая

a12 ka22

(3.35)

и учитывая введённое обозначение z t x ky , приходим к линейному неоднородному уравнению относительно функции z t :

dz a		ka	21	z f	t kf	2	t ,	(3.36)
dt	11		21	1		2
dt

решение которого может быть найдено методом вариации произвольной постоянной [4].

Замечание.

1) Если уравнение (3.35) имеет различные действительные корни k1 и k2 , то из решения уравнения (3.36) получим два первых интеграла системы (3.34) относительно искомых функций x и y ;

128

3.Линейныесистемы с постоянными коэффициентами

2)если уравнение (3.35) имеет простые комплексные сопряжённые корни k1 и k2 , то в записи общего решения

уравнения (3.36) k – один из корней	ki ,	i 1, 2 , и произвольная
постоянная принимается в виде C C1	iC2 ;
3) если уравнение (3.35) имеет корень		k кратности 2 , то

кроме общего решения уравнения (3.36) для нахождения функций x и y необходимо использовать одно из уравнений исходной

системы;

4) подчеркнём, что k1 и k2 – это не характеристические числа, т.к. уравнение (3.35) не является характеристическим уравнением.

Пример 3.15. Найти общее решение системы

			x	x 2 y t,
				4x 3y 1.
			y	4x 3y 1.
Решение. Умножая			второе		уравнение				на k
почленно с первым, приходим к уравнению
		d x ky	x 2 y t 4kx 3ky k
		dt	x 2 y t 4kx 3ky k
		dt
или
	d x ky					2 3k
			1 4k x				4k	y	t k
		dt	1 4k x			1		y	t k
		dt				1
Обозначим z t x ky . Полагая
				2 3k	k ,
				1 4k

приходим к линейному неоднородному уравнению

и складывая

(3.37)

dzdt 1 4k z t k .

Общее решение соответствующего однородного есть z0 Ce 1 4k t . Частное решение z будем отыскивать исходя из функции

129

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

f t t k	в виде z At B . Подставляя	z At B ,	dz	A	в
			dt

последнее уравнение

A 1 4k At B t k

и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t , находим

t0 : A 1 4k B k , t1 : 1 4k A 1 .

A k

Тогда A

, B

1 4k

1 4k 2

1 4k

и частное решение имеет вид

1 4k

1 4k 2

1 4k

Общее решение

z z0 z ,

z Ce 1 4k t

1 4k

1 4k 2

1 4k

Возвращаясь к неизвестным функциям

y , имеем

первый

интеграл исходной системы

x ky Ce 1 4k t

(3.38)

4k 2

1 4k

Решая уравнение (3.37),

находим

4k 2 2k 2 0 ,

откуда

k 1,

k2 1 . Тогда:

а) подставляя k1 1 в (3.38), имеем

x y C e5t

или x y C e5t

;

б) подставляя k2

в (3.38), имеем

C e t t

1 1

или x y C

e t

t 3 .

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1513 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]