Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Линейные дифференциальные уравнения и системы линейных уравнений. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 154 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

2. Линейныеуравнения с постоянными коэффициентами

y e p iq x ,

которое, согласно формуле Эйлера e p iq x e px cos qx isin qx , может быть заменено двумя действительными решениями:

y	x Re y e px cos qx ,		y	2	x Im y e px sin qx .
1
При этом решения y1 x и		y2 x	линейно независимы. Отметим,

что сопряжённый корень ki 1 p iq не даст новых линейно неза-

висимых решений.

В общем решении уравнения (2.2) паре комплексных сопряжённых корней p iq соответствует функция

y C cos qx C	2	sin qx epx ,	(2.5)
1	2

где C1,C2 – произвольные постоянные.

3) Если характеристическое уравнение имеет действительный корень ki кратности i , то ему соответствуют i линейно независимых решений

y x eki x , y	2	x xeki x ,..., y	i	x x i 1eki x .
1	2		i
В общем решении уравнения (2.2) корню ki кратности i					соот-
ветствует функция
y C1i	C2i x ... C ii x i 1 eki x ,				(2.6)

где Csi – произвольные постоянные, s 1, i .

4) Если характеристическое уравнение имеет комплексный корень k p iq кратности , то соответствующие ему комплекс-

ные решения

y1 x e p iq x , y2 x xe p iq x ,..., y x x 1e p iq x

можно преобразовать по формуле Эйлера и, взяв действительную и мнимую части комплексных решений, получить 2 действительных решений:

e px cos qx, xepx cos qx,..., x 1epx cos qx ,

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

e px sin qx, xe px sin qx,..., x 1epx sin qx .

Сопряжённый корень k p iq (в случае действительных коэффициентов уравнения (2.4)) не даст новых линейно независимых

решений.	Итак,	паре комплексных сопряжённых корней p iq
кратности	в	общем решении уравнения (2.2) соответствует

функция

y C1 C2 x ... C x 1 e px cos qx

(2.7)

C 1 C 2 x ... C2 x 1 e px sin qx,

где Cs , s 1,2 , – произвольные постоянные.

Пример 2.1. Решить уравнение

y 5y 14y 0 .

Решение. Имеем уравнение с постоянными коэффициентами, следовательно, будем отыскивать решения в виде y x ekx , где k – постоянная. Подставляя y x ekx , y x kekx , y x k 2ekx

в исходное уравнение и сокращая на множитель ekx 0 , получаем характеристическое уравнение для нахождения k :

k2 5k 14 0 .

Его корни действительные простые и равны k1 2 , k2 7 . Соответствующие частные решения

y1 e2x , y2 e 7 x

являются линейно независимыми и образуют фундаментальную систему решений.

Общее решение есть

y C1e2x C2e 7x .

Пример 2.2. Решить уравнение

y 10 y 26y 0 .

2. Линейныеуравнения с постоянными коэффициентами

Решение. Подставляя y x ekx , y x kekx , y x k 2ekx в

исходное уравнение и сокращая на множитель ekx 0 , получаем характеристическое уравнение для определения k :

k2 10k 26 0 ,

которое имеет пару простых комплексных сопряжённых корней k1 5 i , k2 5 i .

Рассмотрим корень k1 5 i . Ему соответствует комплексное решение

y x e 5 i x e5x cos x isin x ,

которое может бытьзамененодвумя действительными решениями:

y	x Re y x e5x cos x , y	2	x Im y x e5x sin x .
1		2

Решения y1 , y2 являются линейно независимыми и образуют фундаментальную систему решений.

Нетрудно показать, что сопряжённый корень k2 5 i не даст

новых линейно независимых решений.

Общее решение уравнения, согласно (2.5), имеет вид y C1 y1 C2 y2 , y e5x C1 cos x C2 sin x .

Пример 2.3. Решить уравнение

y 6 y 12 y 8y 0 .

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид

k3 6k2 12k 8 0 , k3 8 6k k 2 0 или k 2 3 0 .

Его корни равны k1 k2 k3 2 , кратность 3 . Фундаментальную систему решений образуют функции

y1 e2x , y2 xe2x , y3 x2e2x .

Общее решение, согласно (2.6), имеет вид y C1 C2 x C3x2 e2x .

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

Пример 2.4. Решить уравнение

yIV 2 y y 0 .

Решение. Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид

k4 2k2 1 0 , k 2 1 2 0 .

Его корни равны k1 k2 i , кратность 2 ; k3 k4 i , кратность 2 . Паре кратных комплексных сопряжённых корней соответствует четыре действительных решения:

y1 cos x , y2 x cos x ,	y3 sin x ,		y4 xsin x .
Общее решение, согласно (2.7), есть
y C1 C2 x cos x C3 C4 x sin x .
Пример 2.5. Решить уравнение
yIV y 1 0 .
Решение. Характеристическое уравнение запишется в виде
k4 k 2 1 0 .								(2.8)
Обозначив t k 2 , находим t k 2	1 i	3	, t	2	k 2	1	i	3	.
Обозначив t k 2 , находим t k 2	1 i		, t		k 2	1	i		.
1	2	2				2		2
	2	2				2		2

Для нахождения четырёх корней уравнения (2.8) необходимо

извлечь корень квадратный из комплексных чисел:

а) k2 1 i

; б)

k2 1 i

Воспользуемся формулой

n z n r

i sin

cos 2k

где z x iy ,

– модуль

комплексного числа

z ;

Arg z arctg

–

аргумент

комплексного числа

z ;

k 0,1,...,n 1 .

2. Линейныеуравнения с постоянными коэффициентами

Имеем							а)				k2 z						1 i	3		,		x	1	,			y			3	,
Имеем							а)				k2 z						1 i			,		x	2	,			y		2		,
																	2	2					2						2
	1 2								3	2
	1 2								3	2					arctg							, k 0,1 ;
r												1 ,							3 =
r												1 ,							3 =
								2													3
		2						2													3
пусть					0 , тогда
пусть		k			0 , тогда
								k				z			1		cos	isin						3		i 1 ;
								k				z			1		cos	isin								i 1 ;
									1									6						2	2
																		6				6		2	2
пусть				1, тогда
пусть			k	1, тогда
											2
k2		z									2				i sin				2		cos		isin
							1 cos
							1 cos					2						2										6
												2						2					6					6

б)					k2 z					1	i			3		,		x	1		,			y				3	,
б)					k2 z					2	i					,		x	1		,			y				2	,
										2			2						2									2
		1				2				3		2	1, arctg									= ,
																										k 0,1 ;
r																					3
r																					3
									2														3
		2							2														3

пусть k 0 , тогда

n 2 ;

23 i 12 ;

n 2 ;

			k		z	1	cos			i sin			3	i 1	;
			k		z	1	cos			i sin				i 1	;
		3							6				2	2
									6			6	2	2
пусть			1, тогда
пусть		k	1, тогда

k		z 1		cos		2		isin		2	cos isin					3	i 1 .
k		z 1		cos				isin			cos isin						i 1 .
	4					2				2		6		6		2	2
						2				2		6		6		2	2

Объединяя результаты пунктов а) и б), замечаем, что в силу действительных коэффициентов уравнения (2.8) комплексные корни появились сопряжёнными парами.

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

Паре k1,3 23 i 12 соответствуют действительные решения

									3			x cos				x									3	x sin		x
					y		e			2						x	,		y	2	e			2				x		;
					y		e			2							,		y		e			2						;
						1									2											2
															2											2
паре k2,4			3		i	1		соответствуют действительные решения
паре k2,4			2		i	2		соответствуют действительные решения
			2			2
									3							x										3			x
					y	e						x cos						,	y		e						x sin				.
											2									4					2
											2														2
					3										2											2
															2											2
Общее решение принимает вид
	3	x						x								x						3	x							x					x
		x						x								x							x							x					x
y e 2				C cos					C				2	sin					e		2					C cos						C	4	sin		.
y e 2				C cos					C					sin					e		2					C cos						C		sin		.
					1		2								2											3				2					2
							2								2															2					2
			2.2. Однородные уравнения Эйлера
Определение. Уравнение вида
a0 xn y n a1xn 1 y n 1													... an 1xy an y 0 ,																					(2.9)
где все ai – постоянные, называется уравнением Эйлера.
Заменой			независимой											переменной											x et ,						если			x 0 , или

x et , если x 0 , уравнение Эйлера преобразуется в линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами. Для определённости будем полагать x 0 .


При этом все производные	d k y		в (2.9) необходимо выразить
	dxk

через производные от функции y		по переменной t .

Имеем

dydx dydt dxdt dydt e t ,

2. Линейныеуравнения с постоянными коэффициентами

d 2 y

d dy

t dt

d 2 y

dt dt

d 2 y

e 2t .

Отмечаем, что выражения для

d 2 y

содержат множители e t

dx2

и e 2t . Допустим, что

d k y

имеет вид

dxk

d k y

d 2 y ...

d k y

e kt ,

где все i

– постоянные.

Тогда производная

d k 1 y

будет равна

dxk 1

d k 1 y

d 2 y

d 3 y

... k

d k 1 y

k 1

e kt

k 1

d 2 y

...

d k y

e kt e t

d 2 y

...

d k 1 y

k 1

e k 1 t ,

где все i

– постоянные. Выражение для

d k 1 y

содержит множи-

dxk 1

тель e k 1 t ;

в скобке –

линейная комбинация производных от

первого до k 1 -го порядка с постоянными коэффициентами. Это свойство доказано для всякого натурального k . При подстановке в уравнение (2.9) множители e kt сокращаются с множите-

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

лями xk ekt , и мы приходим к линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами

b0 y n t b1 y n 1 t ... bn 1 y t bn y t 0 .

(2.10)

Частные решения уравнения (2.10) будем отыскивать в виде y t ekt . Тогда соответствующее характеристическое уравнение принимает вид

b kn b kn 1		... b	k b	0 .	(2.11)
0	1	n 1	n

Поскольку переход от уравнения (2.9) к (2.10) связан с подстановкой x et , то можно сразу искать решение уравнения (2.9) в виде y xk .

Подставляя y xk , y kxk 1,..., y m k k 1 ... k m 1 xk m ,

1 m n , в (2.9) и сокращая на xk , получаем алгебраическое уравнение для определения k :

a0k k 1 ... k n 1 a1k k 1 ... k n 2 ... an 1k an 0 , (2.12)

которое полностью совпадает с характеристическим уравнением (2.11), соответствующим преобразованному линейному уравнению с постоянными коэффициентами (2.10).

Различные случаи корней уравнения (2.12)

1) Простым действительным корням k1,k2 ,...,kn уравнения (2.12) соответствуют решения

y1 ek1t , y2 ek2t ,..., yn eknt

преобразованного уравнения (2.10) или, в силу x et ,

y1 xk1 , y2 xk2 ,..., yn xkn

исходного уравнения Эйлера (2.9);

2) действительному корню ki кратности i уравнения (2.12) соответствуют решения

2. Линейныеуравнения с постоянными коэффициентами

y ekit ,

tekit ,..., y

t i 1ekit

преобразованного уравнения (2.10) или

xki

, y

xki ln x,..., y

xki

ln i 1 x

исходного уравнения Эйлера (2.9);

3) паре простых комплексных сопряжённых корней k1,2 p iq

соответствуют решения

e pt cos qt , y

e pt

sin qt

преобразованного уравнения (2.10) или

x p cos q ln x , y

x p sin q ln x

исходного уравнения Эйлера (2.9);

p iq кратности

4) комплексным сопряжённым корням

со-

ответствуют решения

e pt

cos qt, y

te pt cos qt,..., y

t 1ept cos qt ,

ept

sin qt, y

te pt sin qt,..., y

t 1e pt sin qt

преобразованного уравнения (2.10) или

x p cos qln x

, y x p ln xcos qln x ,..., y

xp ln 1 xcos qln x ,

xp sin

qln x , y

xp ln xsin qln x ,..., y

xp ln 1 xsin

qln x

исходного уравнения Эйлера (2.9).

Пример 2.6. Решить уравнение

x2 y 2 y 0 .

Решение. Подставляя

y xk ,

y kxk 1 ,

y k k 1 xk 2 в

уравнение, получаем

x2k k 1 xk 2 2xk 0

или, после сокращения на множитель xk 0 , находим алгебраическое уравнение для определения k :

k2 k 2 0 .

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

Его корни равны k1 2 , k2 1 . Им соответствуют решения

y1 x2 , y2 1x .

Общее решение имеет вид

y C1x2 Cx2 .

Пример 2.7. Решить уравнение

4x2 y y 0 .

Решение. Выполняя подстановку x et , x 0 , находим dydx dydt dxdt y t e t ,

ddx2 2y dtd y t e t e t y t y t e 2t .

Приходим к уравнению с постоянными коэффициентами

4 y t 4 y t y t 0 ,

для которого характеристическое уравнение имеет вид

4k 2 4k 1 0 .

Корни последнего уравнения равны k1 k2 12 . Им соответствуют решения

	t				t
y e	2	, y	2	te	2	.
1			2

Тогда общее решение уравнения с постоянными коэффициентами запишется в виде

y C1 C2t e2 .

Общее решение исходного уравнения Эйлера при x 0 есть y C1 C2 ln x x .

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 154 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]