Линейные дифференциальные уравнения и системы линейных уравнений. Учебное пособие

3. Линейныесистемы с постоянными коэффициентами

Итак, (3.19) – новое матричное уравнение, в котором B – каноническая матрица (нормальная жордановая форма матрицы A ).

Замечание. Построение нормальной жордановой формы матрицы A (приведение к каноническому виду) состоит из следующих этапов:

а) составляется и решается характеристическое уравнение det A kE 0 ; определяются собственные значения ki и их кратности i ;

б) для каждого собственного значения ki подсчитывается число соответствующих ему жордановых клеток lip различной размерности 1 p i по формуле

lip Rang A kiE p 1 2Rang A kiE p Rang A kiE p 1 ,

где Rang A kiE – ранг матрицы A kiE ; простым собствен-

ным значениям соответствуют жордановые клетки единичной размерности;

в) после того, как число клеток разной размерности, соответствующих различным собственным значениям, определено, записывается нормальная жорданова форма с точностью до перестановки клеток.

Пример 3.4. Найти общее решение системы

Решение. Проинтегрируем матричным методом записанную систему, выполнив следующие действия.

1) Запишем матричное уравнение ddtX XA , соответствующее исходной системе, где

81

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

Выписанная матрица A имеет произвольный, не канонический вид, поэтому сразу записать интегральную матрицу X не представляется возможным.

2) Приведём матрицу A к каноническому виду. Составляем и решаем характеристическое уравнение

k k 2 k 2 3 1 3k 2 k 2 k 0 ,

k k 1 k 1 0 , тогда k1 1, k2 0 , k3 1.

Так как собственные значения простые, то каждому ki соответ-

ствует жордановая клетка единичной размерности. Каноническая форма матрицы A имеет вид

82

3. Линейныесистемы с постоянными коэффициентами

или

Из равенства двух матриц следуют системы алгебраических уравнений относительно элементов матрицы S :

83

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

Покажем подробнее, как находится матрица Z . По формуле

(3.14) имеем

4) Найдём интегральную матрицу X (фундаментальную матрицу системы), подставив Z и S в (3.19):

z t , взяв линейные комбинации элементов матрицы X по столбцам с произвольными постоянными C1 , C2 , C3 :

или в векторной форме

84

3. Линейныесистемы с постоянными коэффициентами

Пример 3.5. Найти общее решение системы

x 7x y 2z,y 2x 3y z,

z 8x 2y z.

Решение. 1) Запишем систему в виде матричного уравнения

A– транспонированная матрица коэффициентов системы.

2)Приведём матрицу A к каноническому виду, определив корни характеристического уравнения

тогда k1 k2 k3 3 .

Так как кратность собственного значения равна 3 , то соот-

ветствующие ему жордановые клетки могут иметь размерность 1 p 3. Тогда возможные канонические формы матрицы A

имеют вид

Выясним, какой из случаев имеет место. Полагая, например, p 1, рассчитаем количество одномерных жордановых клеток

l1 Rang A 3E 0 2Rang A 3E Rang A 3E 2 ,

где

85

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

Rang A 3E 0 Rang E 3 ,

Выпишем системы алгебраических уравнений относительно искомых элементов ai , bi , ci , i 1,3 :

86

3. Линейныесистемы с постоянными коэффициентами

Решая выписанные системы, устанавливаем зависимости

c1 2a1 , b1 0 ; c2 2a2 , b2 1; c3 1 2a3 , b3 3 ,

на основании которых матрицу S можно задать в виде

1 0 2

1

0 3 1

3)Найдём интегральную матрицу Ζ матричного уравнения0 .2 , det S1S

С учётом того, что

87

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения