Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Линейные дифференциальные уравнения и системы линейных уравнений. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1514 15 > Следующая >>>

3. Линейныесистемы с постоянными коэффициентами

Решая систему алгебраических уравнений относительно неизвестных функций x и y , находим

			x			1 C e5t					2 C						e t	3 t		27		,
						3		1			3			2				5		25
			y			2 C e5t						2 C					e t	4 t		21 .
						3		1				3			2			5		25
Обозначим	1 C						,	2 C									и запишем общее решение
Обозначим	1 C			C			,	2 C		C							и запишем общее решение
	3	1				1		3	2					2
																			3 t 27
x					1 e5t C											1 e t			5			25
x		C			1 e5t C							2				1 e t			5			25		.
			1									2								4			21
y						2							1							4	t		21
																				5	t		25
																				5			25

Пример 3.16. Найти все действительные решения системы

x 3x 2 y,y 4x y.

Решение. Сложим почленно первое уравнение системы со вторым, умноженным на k :

d x ky

2 k

3x 2 y 4kx ky ,

3 4k x

3 4k

y .

Обозначим z t x ky

и положим

2 k

k . Тогда последнее

3 4k

дифференциальное уравнение принимает вид

dz 3 4k z , откуда z Ce 3 4k t

или

x ky Ce 3 4k t .

(3.39)

Решим уравнение

относительно

k :

4k 2 3k k 2 0 ,

2k 2 2k 1 0 , тогда корни k

1 i

1,2

131

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

Подставляя, например, k

1 i

в (3.39) и полагая при этом

C C1 iC2 , приходим к первому интегралу исходной системы

y C iC

e 1 2i t

cos 2t isin 2t ,

cos 2t C

sin 2t i C

sin 2t C

cos 2t .

Из равенства комплексных функций, стоящих в левой и правой частях последнего выражения, следует равенство их действительных и мнимых частей:

et C

cos 2t C

sin 2t ,

et C sin 2t C

cos 2t .

Общее решение системы имеет вид

cos 2t sin 2t et

cos 2t sin 2t et .

2sin 2t

2cos 2t

Пример 3.17. Найти общее решение системы

x 3x y,y y x.

Решение. Умножим первое уравнение на k и сложим почленно со вторым уравнением. Получим

	d y kx		d y kx					1 3k
		3kx ky y x ,			1	k y		1 k	x .
	dt		dt

Обозначим		z t y kx и положим		1 3k			k . Тогда последнее
				1 k

дифференциальное уравнение запишется в виде

132

3. Линейныесистемы с постоянными коэффициентами

dz 1 k z , откуда z C e 1 k t		или
dt	1
dt	y kx C e 1 k t .
	y kx C e 1 k t .	(3.40)
	1
Решим уравнение относительно k . Имеем		k2 k 3k 1 0 ,

k2 2k 1 0 , тогда корень k 1 кратности 2 .

Для нахождения еще одного недостающего уравнения выразим из (3.40) при k 1 функцию x и подставим в любое, например, во

второе уравнение исходной системы. Находим
y 2 y C e2t .	(3.41)
1
Решение соответствующего однородного есть	y0 C2e2t . Приме-

ним метод вариации постоянной, согласно которому решение

(3.41) имеет вид					y C2 t e2t . Для определения C2 t														подставим
y в (3.41):
C	2	t	e2t 2C			2	t	e2t 2C			2	t e2t C e2t		, C		2	t	C .
	2					2					2		1			2			1
Тогда		C	2	t C t C					2	и		y C t C		2	e2t .				Подставляя
			2			1			2			1		2
полученную функцию y в (3.40), где k 1 , находим x .
Общее решение системы запишется в виде
				x	C			t		1	1 e2t C		1 e2t .
							1						2
				y					1		0		1

3.7. Задачи для самостоятельной работы и ответы к ним

Методом исключения найти все действительные решения систем уравнений:

x x 2y,

1.y x y.

x 3x 2 y,

2.y 2x y.

133

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

x y cost,

3.y x sin t.

x x y 8t,

4.y 5x y.

x 2x y,

5.y 2 y z,z 2z.

x 3x 12 y 4z,

6.y x 3y z,z x 12 y 6z.

Воспользоваться методом интегрируемых комбинаций и найти все действительные решения систем уравнений:

x x y,

7.y 5x 5y.

x y,

8.y x.

x x y z,

9.y x y z,z x y z.

x 2x y,

10.y 2 y z,z x.

Методом Даламбера найти все действительные решения систем уравнений:

11.x 2x 9 y,y x 8y.

134

3. Линейныесистемы с постоянными коэффициентами

12.x 6x y,

y 3x 2 y.

13.x x 2 y 5,

y 2x y.

14.x 5x 4 y et ,y 4x 5y 1.

15.x 2x 4 y cost,

y x 2 y sin t.

Ответы

1.	x	C1		2cost									2sin t
1.		C1					C2											.
	y		cost			sin t					cost sin t
2.	x	C	1 et			C	t		2				0 et .
		1					2
	y		1						2			1
3.	x	C1	cost					sin t					t cost
3.		C1				C2								t sin t				.
	y		sin t					cost						t sin t
	x		1				2								2				1			2t 2 .
4.	x	C	5 cos 2t 5 sin 2t								C			2		5 cos 2t			5 sin 2t			2t 2 .
		1												2									10t
	y					cos 2t												sin 2t					10t
						cos 2t												sin 2t
				1
	x				2		0			0								1	0				1
5.		C1		2	2								2t	C2						2t				2t	.
5.	y	C1	t		0	t 1				0 e				C2			t 0 1 e				C3 0 e				.
	z				0		0			1								0	0				0



	x		2					8								3
6.	y	C		1 et C					3 e2t				C		3		1 e3t .
		1					2								3

	z			2					7								3

135

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

7.	x	C		1		C			1 e 4t .
		1						2
	y		1						5
8.	x	C	1 et			C						1 e t .
		1							2
	y		1							1
	x		1									1															0
9.					t									2t			C3												2t	.
9.	y	C1 1 e				C2						0 e					C3										1 e			.

	z		1							1																1
													1																					1
	x		1										1															t						1						t
	x		1																									t												t
												1					5							3			5						1		5			3	5

						t																				2												2
10.	y	C1 1 e					C2 2													e									C3				2			e				.
10.	y	C1 1 e					C2 2									2				e									C3				2		2	e				.

	z			1								3				5																3			5

												2		2																		2			2
												2		2																		2			2
11.	x	C	t	3					1 e5t						C				2					3 e5t .
		1																	2
	y				1				0												1
12.	x	C	1 e3t C							2	1 e5t .
		1								2
	y		3								1
13.	x	C	cos 2t 2sin 2t et C																			2		2cos 2t sin 2t et														1 .
		1																				2
	y		sin 2t 2 cos 2t																					cos 2t 2sin 2t													2
																		1							8t 1 et							4
	x		1									1
14.	x	C1	1		9t		C2					1			t						16											9
14.		C1	e				C2					e											1										5	.
	y		1									1											1			8t 1 e					t		5

																						16											9
																						16											9
15.	x	C1			4				0											2						3sin t 2cost
15.		C1	t								C2																		2sin t						.
	y			2					1									1											2sin t

136

3. Линейныесистемы с постоянными коэффициентами

Вопросы и темы для самоконтроля

1.Какой вид имеет линейное уравнение n -го порядка?

2.Какие функции называются линейно зависимыми, линейно независимыми на заданном интервале? Что такое фундаментальная система решений?

3.В чём состоит формула Остроградского – Лиувилля?

4.Как запишется общее решение линейного однородного уравнения при условии, что известна его фундаментальная система решений?

5.Каким образом может быть понижен порядок линейного однородного уравнения? Как отыскивается частное решение уравнения с переменными коэффициентами?

6.Как интегрируется линейное однородное уравнение с переменными коэффициентами второго порядка, если известно одно нетривиальное частное решение?

7.В чём заключается метод вариации постоянных интегрирования линейного неоднородного уравнения?

8.В чём заключается метод Эйлера нахождения решения линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами? Какое уравнение называется характеристическим?

9.Какой вид имеют линейно независимые решения линейного однородного уравнения в зависимости от корней характеристического уравнения?

10.Определить вид правой части в линейном неоднородном уравнении с постоянными коэффициентами и условия нахождения частного решения методом неопределённых коэффициентов по виду правой части.

11.Какой вид имеет уравнение Эйлера? Какая замена приводит однородное уравнение Эйлера к уравнению с постоянными коэффициентами?

12.Как интегрируется неоднородное уравнение Эйлера?

137

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

13.Какая система дифференциальных уравнений называется линейной? Векторная запись однородной и неоднородной систем с постоянными коэффициентами.

14.Какое решение однородной системы называется частным? Что такое фундаментальная система решений линейной однородной системы уравнений?

15.Как строится общее решение линейной однородной системы, если известна фундаментальная система решений?

16.В чём состоит метод Эйлера интегрирования линейной однородной системы с постоянными коэффициентами? Как формируется фундаментальная система решений в зависимости от корней характеристического уравнения?

17.На каком основании комплексное решение линейной однородной системы с действительными коэффициентами может быть заменено действительным решением?

18.В чём заключается метод вариации произвольных постоянных нахождения общего решения линейной неоднородной системы?

19.В чём заключается матричный метод интегрирования линейной однородной системы с постоянными коэффициентами? Что такое интегральная матрица?

20.Что такое интегрируемая комбинация? Что даёт знание первого интеграла исходной системы?

21.В чём заключается метод исключения и метод Даламбера нахождения общего решения линейной системы дифференциальных уравнений?

138

3. Линейныесистемы с постоянными коэффициентами

Литература

1.Ипатова В. М., Пыркова О. А., Седов В. Н. Дифференциальные уравнения. Методы решений : учеб. пособие. 2-е изд., испр. и доп.

М. : МФТИ, 2012. 140 с.

2.Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. 6-е изд. СПб. : Лань, 2003. 576 с.

3.Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений : учеб. пособие. 5-е изд., доп. СПб. :

Лань, 2003. 832 с.

4.Нежельская Л. А. Дифференциальные уравнения первого и высших порядков : учеб. пособие. Томск : Издательство Томского государственного университета, 2022. 154 с.

5.Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. 6-е изд., стереотип. М. : Изд-во URSS, 2019. 336 с.

6.Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. Классический учебник МГУ. М. : Изд-во URSS, 2022. 512 с.

7.Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. 9-е изд. Классический учебник МГУ. М. : Изд-во URSS, 2022. 240 с.

8.Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. 4-е изд. М. : Эдиториал УРСС, 2000. 319 с.

139

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения
Оглавление
Предисловие...............................................................................		3
1. Линейные уравнения с переменными коэффициентами		.. 5
1.1. Основные определения.....................................................		5
1.2. Однородные линейные уравнения....................................		7
1.3. Общее решение неоднородного уравнения. Метод
вариации постоянных.......................................................		17
1.4. Задачи для самостоятельной работы и ответы к ним......		26
2. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
и приводящиеся к ним..................................................................		29
2.1. Общее решение однородного уравнения.........................		29
2.2. Однородные уравнения Эйлера.......................................		36
2.3. Задачи для самостоятельной работы и ответы к ним......		43
2.4. Построение частного решения неоднородного уравнения
с правой частью специального вида................................		46
2.5. Общее решение неоднородного уравнения с правой
частью произвольного вида.............................................		57
2.6. Задачи для самостоятельной работы и ответы к ним......		60
3. Линейные системы с постоянными коэффициентами.....		65
3.1. Основные понятия............................................................		65
3.2. Методы интегрирования линейной однородной
системы.............................................................................		67
3.2.1. Метод Эйлера ............................................................		67
3.2.2. Матричный метод......................................................		77
3.3. Задачи для самостоятельной работы и ответы к ним......		92
3.4. Общее решение неоднородной системы .........................		98
3.4.1. Метод вариации произвольных постоянных............		99
3.4.2. Построение частного решения неоднородной
системы с правой частью заданного вида....................	102

140

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1514 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]