Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Линейные дифференциальные уравнения и системы линейных уравнений. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1510 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

3. Линейныесистемы с постоянными коэффициентами

1 2i a			1	2i b	3a 2b	4a b
	1	2i c				.
	1	2i c	1 2i d		3c 2d	4c d

Из равенства матриц следуют системы алгебраических уравнений относительно элементов a , b , c , d матрицы S :

1 2i a 3a 2b, 1 2i							c 3c 2d,

	2i b 4a b,						d 4c d,
1	2i b 4a b,				1 2i		d 4c d,

решая которые,	находим b 1 i a ,					d 1 i c . Полагая		a 1 ,
c 1, находим b 1 i , d 1 i . Тогда
	S	1	1 i		, det S		0 .
	S				, det S		0 .
		1	1 i
3) Интегрируя уравнение			dZ	ZB с диагональной матрицей B
3) Интегрируя уравнение			dt	ZB с диагональной матрицей B
по формуле (3.16), получим			dt
по формуле (3.16), получим
		Bt	e 1 2i t				0
	Z e	Bt
	Z e			0	e	1 2i t .
				0	e

4) Зная матрицы Z и S , запишем фундаментальную матрицу X заданной системы по формуле (3.19):

e 1 2i t			0	1	1 i	e 1 2i t		1 i e 1 2i t
X ZS							1 2i t		.
	0	e	1 2i t	1	1 i		1 2i t	1 i e	1 2i t
	0	e				e		1 i e

5)Запишем общее решение

xC1e 1 2i t C2e 1 2i t ,

yC1 1 i e 1 2i t C2 1 i e 1 2i t .

Всилу произвола в выборе коэффициентов C1 и C2 положим

C1 A1 iA2 , C2 A1 iA2 , где A1 и A2 – любые действительные постоянные. Тогда

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

x A	iA	e 1 2i t A		iA e 1 2i t et A						iA	cos 2t
1	2		1	2					1	2
isin 2t A		iA	cos 2t i sin 2t et 2A cos 2t 2A									sin 2t ,
	1	2						1			2
y A iA			1 i e 1 2i t		A iA			1 i e 1 2i t
	1	2				1	2
et 2A cos 2t sin 2t 2A						sin 2t cos 2t .
		1		2

Обозначив 2A1 C1 , 2A2 C2 , запишем решение в действительной форме

x et C1 cos 2t C2 sin 2t ,

y et C1 cos 2t sin 2t C2 cos 2t sin 2t .

Ответ в векторном виде есть

x		cos 2t		t		sin 2t		t	.
	C1		e		C2		e		.
y	cos 2t sin 2t					cos 2t sin 2t

3.3. Задачи для самостоятельной работы и ответы к ним

Методом Эйлера найти все действительные решения систем уравнений:

x 5x y 4z,

12z,

1,k2,3

12x

10x 3y 9z.

x 10x 3y 9z,

7 y

18z,

2, k2,3

18x

18x 6 y 17z.

x 2x y z,

12x 4 y 12z,

k 0, k

1, k 2

4x y 5z.

3. Линейныесистемы с постоянными коэффициентами

x y z,

1,k2,3

x z.

x x z,

2 y

6z,

k1,2

0, k3

4x y 4z.

x x y,

k1,2,3

x x y z,

1,k2,3

x y z.

x 2 y z,

4 y

2z,

2, k2,3

2x 2 y.

x 7x y 2z,

k1,2,3

8x 2y z.

x 3x y 2z,

10.

3z,

2, k2,3

x 3y.

x 3x y z,

11.

2z,

3,k2,3

8x 6 y 3z.

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

x 4x 2 y 2z,

12.

k1,2,3

3x 3y z.

x 3x 3y z,

13.

2z,

1,k2,3

x 2 y.

Матричным методом найти все действительные решения систем уравнений:

14.x x y,

y 4x 4 y.

15.x 4x y,

y x 2 y.

16.x x 2y,

y x y.

x 3x 12 y 4z,

17.

x 3y z,

1,k

2, k

x 12 y 6z.

x 5x 6 y z,

18.

x z,

6, k

2,k

6z.

x 6x y 2z,

19.

2 y

k1,2,3

8x 2y 2z.

x 5x,

20.

5 y,

k1,2,3

y 5z.

3. Линейныесистемы с постоянными коэффициентами

x x 2y 2z,

21.

2z,

1,k2,3

3x 2 y 3z.

x y z,

22.

0,k2,3

x z.

Ответы

2 e t

t 0

0 et .

2 e

3 e

x 2 1 1

3.y C1 3 C2 0 et C3 2 e2t .z 1 1 2

cost sin t

et C

cost

sin t

cost

x 1 1 1 1

5.y C1 0 C2 3 t 0 C3 2 e t .z 1 0 1 2

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

	x			1		0	0			1	0
6.			2					t				t
6.	y	C1 t		0	t 2		0 e		C2 t 0		1 e
						0
	z			0		0	2			0	0

1C3 0 e t .0

	x				1						1							0
7.								t						2t						2t	.
7.	y		C1 1 e						C2		0 e				C3			1 e			.

	z				1						1						1
	x				1							cos t sin t									cost sin t
8.	y		C			1	e2t C						2cost				et		C			2sin t	et .
				1							2									3
						0								2cost								2sin t
	z					0								2cost								2sin t
	x								1		1					1						1	1
					t2													3t							3t
9.	y		C1						0	t		1			1 e				C2		t	0	1	e
9.	y		C1			2			0	t		1			1 e				C2		t	0	1	e
		z				2			2			2										2	2
		z							2			2				1						2	2

			1
						3t	.
	C3 0			e			.

			2

	x		1
10.		C1		2t
10.	y	C1	1 e

	z		1
	x		0
11.	y	C	1 e3t
		1

	z		1

2cost sin t								2sin t cos t
	3cost				3t			3sin t		3t	.
C2	3cost		e				C3	3sin t	e		.

sin t 2cost								2sin t cost
	1		1				1
				t				t
C2 t	0	1 e				C3 0 e .

	2		0				2

3. Линейныесистемы с постоянными коэффициентами

	x						1									1									2	1
12.				C1					2t			C2							2t									2t	.
12.	y			C1			1 e					C2				0 e				C3 t			1			0	e		.

	z						0									1									3	0
	x						1									cost sin t										cost sin t
13.				C1			1		t			C2						cost						t	C3		sin t			t
13.	y			C1			1	e				C2						cost			e				C3		sin t			e .
																		sin t									cost
	z						1											sin t									cost
14.	x			C		1 C							1 e5t .
					1					2
	y					1							4
15.	x			C		1 e3t			C					t 1 1 e3t .
					1								2
	y					1										1			0
16.	x			C1				2cost												2sin t
16.				C1												C2									.
	y					cost sin t													cost sin t
	x					2									8						3
17.	y			C			1	et			C						3 e2t C							1 e3t .
					1								2							3

	z						2										7							3
	x					0										2					3
18.	y			C		1 e 6t						C				1 e2t				C	1 e3t .
					1									2						3

	z					6											0				0
	x							1									0			0							1			0
						t2																2t									2t
19.	y			C1					0 t							1				2 e					C2	t	0			1 e
19.	y			C1			2		0 t							1				2 e					C2	t	0			1 e
		z					2		2								0										2			0
		z							2								0			1							2			0

				1
	C				0 e2t .
			3

					2

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

	x				0	0	1		0	0
20.	y	C	t2		0	t 1	0 e5t C	t 0		1 e5t
				2
		1						2

	z				1	0	0		1	0

0C3 0 e5t .1

	x		0					2cos t					2sin t
21.	y	C	1		et C			2cost			C		2sin t			.
		1					2				3

	z		1				3cost sin t					3sin t cost
	x				1			0	1				0
22.		C1				C2				t				t	.
22.	y	C1		1		C2	t	1	1 e		C3		1 e		.
	z				1			1	0				1

3.4. Общее решение неоднородной системы

Общее решение линейной неоднородной системы

dX	AX F	(3.2)
dt

равно сумме общего решения

X C1X1 C2X2 ... CnXn

(3.5)

соответствующей однородной системы и частного решения

x1 t X x2 t

xn t

рассматриваемой неоднородной системы. 98

3.Линейныесистемы с постоянными коэффициентами

3.4.1.Метод вариации произвольных постоянных

Если известно общее решение однородной системы

dX	AX ,	(3.21)
dt

но подобрать частное решение неоднородной системы не удаётся, то для нахождения общего решения неоднородной системы можно применить метод вариации произвольных постоянных.

Пусть

X Ci Xi , (3.5)

i 1

где Xi – линейно независимые частные решения однородной си-

стемы (3.21), Ci – произвольные постоянные, i 1, n , является об-

щим решением системы (3.21).

Решение неоднородной системы (3.2) будем отыскивать в виде

X Ci t Xi , (3.22)

i 1

где Ci t – новые неизвестные функции от t . Подставляя (3.22) в (3.2), находим

i 1

Ci t Xi Ci t dXi A Ci t Xi F .
n		n
i 1	dt	i 1

Поскольку ddtXi AXi , то имеем

Ci t Xi F .

i 1

Решая систему n линейных алгебраических уравнений, находим n

неизвестных dCi t , i 1, n : dt

dCi t i t , dt

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

интегрируя которые, получаем

Ci t i t dt Ci , i 1, n .

В результате подстановки полученных функций Ci t в (3.22)

приходим к общему решению линейной неоднородной системы. Полагая в полученном общем решении произвольные постоянные

Ci , i 1, n , равными конкретному значению, находим частное решение неоднородной системы (3.2).

Пример 3.7. Найти общее решение системы

x x 2 y et ,

y 2x y.

Решение. 1) Решим соответствующую однородную систему

x x 2 y,y 2x y.

Находим корни характеристического уравнения det A kE 0 :

	1 k	2	0 , 1 k 2 4 0 , 1 k 2 1 k 2 0 , k 1, k 3.
	1 k	2	0 , 1 k 2 4 0 , 1 k 2 1 k 2 0 , k 1, k 3.
	2	1 k													1	2
	2	1 k
Оба корня действительные простые.
	а)	Строим собственный											вектор,		соответствующий	корню
	k1 1, решив систему
			2 2									0,		тогда 1 2 .
				1						2		0,		тогда 1 2 .
				2 2						2		0,
				1						2
Собственный вектор								1	и первое частное решение X запишутся
Собственный вектор						A		1	и первое частное решение X запишутся
в виде															1
в виде
							1					1	, X		1 e t .
					A		1					1	, X		1 e t .
														1
											1				1

б) Собственный вектор A 2 , соответствующий корню k2 3 , определится из системы

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1510 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]