Линейные дифференциальные уравнения и системы линейных уравнений. Учебное пособие

1. Линейныеуравнения с переменными коэффициентами

1e x 2 x2 x 3 0

стему решений уравнения (1.9), следовательно, на основании (1.5) его общее решение имеет вид

y C1e x C2 x2 x 3 .

имеющее два линейно независимых частных решения y1 ex ,

y2 x .

Решение. Покажем, что, согласно Замечанию, знание двух частных линейно независимых решений позволяет понизить порядок уравнения на две единицы. В (1.11) выполним подстановку

(1.7), где y1 ex , z – новая искомая функция от x . Имеем

y ex z,

y z z ex ,

y z 2z z ex ,

y z 3z 3z z ex .

Подставляя y , y , y , y в (1.11) и выполняя несложные преобразования, получаем уравнение

xz 3x 1 z 2x 2 z 0 .

Полагая u z , запишем уравнение второго порядка относительно функции u :

11

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

В связи с тем, что решения уравнений (1.11) и (1.12) связаны зави-

уравнения (1.11), получим первое частное решение u1 уравнения

(1.12):

Поэтому уравнение (1.12) допускает понижение порядка на единицу. Выполним в нём замену

u u1v , u 1 x e xv ,

где v – новая неизвестная функция от x . Имеем

u 1 x e xv,

u 1 x v 2 x v e x ,

u 1 x v 4 2x v 3 x v e x .

Подставляя u , u , u в (1.12) и сокращая на e x 0 , получаем уравнение

x 1 x v 1 x2 v 0 ,

порядок которого может быть понижен на единицу подстановкой

и интегрируется методом разделения переменных:

12

1. Линейныеуравнения с переменными коэффициентами

Находим общий интеграл

ln w x 2ln x 1 ln x ln C1 , C1 0 ,

из которого вследствие потенцирования, раскрытия модулей и переобозначения C1 C определяется общее решение

Полагая C 1 , находим частное решение уравнения (1.14):

Решения уравнений (1.12) и (1.14) связаны зависимостью (1.13), в силу которой

uu1 wdx , u 1 x e x xe x 2 dx .

x1

Вычисляя интеграл по частям, находим частное решение уравне-

13

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

образуют его фундаментальную систему решений, следовательно, общее решение, согласно (1.5), имеет вид

yC1ex C2 x C3e x .

2)Будем рассматривать уравнение (1.2) при n 2 :

a0 x y a1 x y a2 x y 0 .

Если y1 – известное нетривиальное частное решение линейного

однородного уравнения второго порядка, то для его интегрирования можно воспользоваться формулой Остроградского – Лиувилля

(1.6):

где y – любое решение уравнения второго порядка, отличное

от y1 .

Для интегрирования полученного уравнения первого порядка относительно функции y выделим в левой части уравнения пол-

ную производную от дроби, умножив обе части уравнения на ин-

В последнем уравнении разделяем переменные

и интегрируем

14

1. Линейныеуравнения с переменными коэффициентами

является общим решением, так как содержит две произвольные постоянные.

Пример 1.3. Найти общее решение уравнения

Решение. 1) Частное решение отыскиваем путём подбора в ви-

15

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

2) Согласно формуле Остроградского – Лиувилля общее решение имеет вид (1.15).

В нашем случае

16

1. Линейныеуравнения с переменными коэффициентами

Тогда

yC1e 2x C2 4x2 1

–общее решение однородного уравнения (1.16).

1.3.Общее решение неоднородного уравнения. Метод вариации постоянных

Если известно общее решение однородного уравнения (1.2) y C1 y1 x C2 y2 x ... Cn yn x ,

то общее решение неоднородного уравнения (1.1) с любой непрерывной на a x b функцией f x можно найти, используя ме-

тод вариации постоянных – метод Лагранжа (Жозеф Луи Ла-

гранж (1736–1813) – французский математик, президент Берлинской Академии наук). Согласно методу решение уравнения (1.1) следует искать в виде

где C1 x ,C2 x ,...,Cn x – новые неизвестные функции от x .

Для нахождения Ci x , i 1, n , выписывается система алгебраических уравнений

17

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

Система (1.18) имеет единственное решение, т.к. определитель системы, являющийся определителем Вронского для n линейно

независимых решений yi x , i 1, n , однородного уравнения (1.2), отличен от нуля.

проинтегрировав выписанные уравнения, находим неизвестные функции

Ci x i x dx Ci , i 1, n .

Подстановка найденных Ci x в (1.17) даёт общее решение неоднородного уравнения (1.1).

Пример 1.4. Решить уравнение

xy x 1 y 2 x 1 y 9x2e x .

Решение. 1) Решим соответствующее однородное уравнение

ние

xa2ex x 1 aeax 2 x 1 eax 0 , x a2 a 2 2 a 0 ,

из которого получаем систему уравнений для нахождения a :

18

1. Линейныеуравнения с переменными коэффициентами

Подставляя y1 e2x в (1.19), убеждаемся, что частное решение

найдено верно.

2) Согласно формуле Остроградского – Лиувилля общее решение однородного уравнения (1.19) имеет вид (1.15):

y y1 C2 e p1 x dxdx C2 y1 . y1

В результате переобозначения постоянных находим общее решение однородного уравнения (1.19):

y0 C1e2x C2 3x 1 e x .

3) Решение исходного неоднородного уравнения будем отыскивать методом вариации постоянных в виде

y C1 x e2x C2 x 3x 1 e x .

Для нахождения неизвестных функций C1 x , C2 x составим систему алгебраических уравнений относительно C1 x , C2 x :

19

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения