Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Линейные дифференциальные уравнения и системы линейных уравнений. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 155 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

2. Линейныеуравнения с постоянными коэффициентами

Пример 2.8. Решить уравнение

x2 y y 0 .

Решение. Замена x et , x 0 , приводит к уравнению с постоянными коэффициентами относительно функции y t :

y t y t y t 0 ,

для которого соответствующее характеристическое уравнение имеет вид

k2 k 1 0 .

Его простые комплексно сопряжённые корни равны k1,2 12 23 i . Взяв действительную и мнимую части комплексного решения

	1	3			t
			i t				3		3
			i t
	2	2
y t e	2	2		e2		cos		t i sin		t	, выпишем два линейно
y t e				e2		cos		t i sin		t	, выпишем два линейно
							2		2
							2		2

независимых решения, составляющие фундаментальную систему:

				t				3							t					3
	y	e		2	cos			3	t ,		y	2	e		2	sin				3		t .
	y	e		2	cos				t ,		y		e		2	sin						t .
	1							2											2
Общее решение уравнения относительно y t имеет вид
			t							3									3
	y e2					C	cos			3	t C				sin				3		t		.
														2

						1
									2									2
									2									2
Общее решение уравнения Эйлера относительно функции y x
есть
						3											3							,	x 0 .
y x	C1 cos						ln x			C2 sin									ln x
y x	C1 cos						ln x			C2 sin									ln x
						2											2
						2											2
Определение. Уравнение вида
a	ax b n					y n a				ax b n 1 y n 1 ...
0									1
		... an 1 ax b y an y 0																							(2.13)

также называется уравнением Эйлера.

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

Заменой независимой переменной ax b et ,

если ax b 0 ,

или ax b et , если ax b 0 , уравнение (2.13) преобразуется в линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами. Как и в случае уравнения (2.9), частные решения уравнения (2.13)

можно искать в виде y ax b k .

Пример 2.9. Решить уравнение

2x 1 2 y 4 2x 1 y 8y 0 .

Решение. а) Полагая 2x 1 0 , сделаем замену 2x 1 et . То-

гда t ln 2x 1 и

2e t .

2x 1

Находим

dy dt

t e

dx dt dx 2 y

ddx2 2y

2 y t e t

4 y t y t e 2t .

Подставляя dy ,

d 2 y

и 2x 1 et в уравнение, получаем

dx2

4e2t y t y t e 2t

8et y t e t 8y t 0

или, в результате преобразований, запишем линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами относительно функции y t :

y t 3y t 2 y t 0 .				(2.14)
Соответствующее характеристическое уравнение
k2 3k 2 0
имеет простые действительные корни k1 1, k2	2 . Фундамен-
тальную систему решений образуют функции	y et ,	y	2	e2t .
	1		2

Общее решение уравнения (2.14) имеет вид

2. Линейныеуравнения с постоянными коэффициентами

y C et C

e2t .

Общее решение уравнение Эйлера есть

y C

2x 1 C

2x 1 2 .

б) Полагая

2x 1 0 ,

сделаем

замену

2x 1 et . Тогда

t ln 2x 1 ,

2e t .

Имеем

t e

d 2 y

t e

2 y

, dx2 4

t y

В результате указанных подстановок приходим к уравнению с постоянными коэффициентами, которое полностью совпадает с

уравнением

(2.14)

в случае а):

y t 3y t 2 y t 0 . Общее

решение последнего уравнения запишется в виде y C et

e2t .

Общее решение уравнения Эйлера есть

2x 1 C

2x 1 2 , C

C , y C

2x 1 C

2x 1 2 .

y C

Объединяя результаты пунктов а) и б), запишем ответ:

yC1 2x 1 C2 2x 1 2 .

2.3.Задачи для самостоятельной работы и ответы к ним

Решить уравнения:

1.yIV 2 y 0 .

2.yIV 4 y 0 .

3.y y 2y 0 .

4.yIV y 0 .

5.y 5 27 y 0 .

6.y 3y 3y y 0 .

7.y 3y 4y 0 .

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

8.y 2y 3y 10y 0 .

9.yIV 2 y 3y 2 y y 0 .

10.x2 y 6 y 0 .

11.x2 y 12 y 0 .

12.x2 y 5xy 13y 0 .

13.x2 y 3xy 4y 0 .

14.x 1 2 y 2 x 1 y 2y 0 .

15.x 2 2 y x 2 y 3y 0 .

16.2x 3 3 y 3 2x 3 y 6y 0 .

17.3x 1 2 y 5 3x 1 y 9y 0 .

Для всех значений параметра a решить уравнения:

18.y ay 0 .

19.x2 y xy ay 0 .

Для всех значений параметров a и b решить уравнение: 20. y ay by 0 .

Ответы

1.y C1 C2 x C3e 2x C4e 2x .

2.y ex C1 cos x C2 sin x e x C3 cos x C4 sin x .

3.y C1e2x C2e x .

4.y C1ex C2e x C3 cos x C4 sin x .

5.	y C	C x C e3x e		3	x C cos 3			3 x C sin 3		3 x	.
				2
	1	2	3			4		5
							2		2
	y ex C1 C2 x C3x2 .
6.

2. Линейныеуравнения с постоянными коэффициентами

7.	y C ex		e	x	C					15		x	C			15		x	.
				2			2	cos		15				sin		15
				2				cos						sin
	1												3
										2						2
										2						2
8.	y C e 3x e2x C							2	cos x C sin x .
	1							2		3
9.	y e	x	C C				x cos			3	x C				C		x sin			3	x	.
		2								3										3
		2				2										4
			1			2							3			4
										2									2
										2									2

10.y C1x3 Cx22 .

11.y C1x4 Cx32 .

12.y x12 C1 cos 3ln x C2 sin 3ln x .

13.y x2 C1 C2 ln x .

14.y C1 x 1 C2 x 1 2 .

15. y C

x 2 3

x 2

16. y C

x 3

3 2

x 3

1 2 .

17. y C1

3x 1

18. a 0 : y C1

C2 x ;

a 0 :

y C1 cos

ax C2 sin ax ;

a 0 :

y C e

x C

x .

19. a 0 : y C1

C2 ln

;

a 0 : y C1 sin

a ln

C2 cos

a ln

;

a 0 : y C1

20. a2 4b 0 : y e 2a x C

x ;

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

	a d				a d
d 2 a2 4b 0 :			x	C			x	;
d 2 a2 4b 0 :	y C e	2		C	e 2			;
	1			2
d 2 a2 4b 0 :	y e 2a x C		cos d x C			2	sin d x		.
		1		2		2		2
				2				2

2.4.Построение частного решения неоднородного уравнения

справой частью специального вида

Если правая часть f x линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами

a0 y n a1 y n 1 ... an 1 y an y f x	(2.1)
является функцией специального вида, то частное решение	y x

можно находить методом неопределённых коэффициентов с учётом вида f x .

1. Пусть правая часть уравнения (2.1) имеет вид f x epx A0 A1x ... Am xm ,

тогда:

а) если p не является корнем характеристического уравнения

(2.4), то частное решение неоднородного уравнения (2.1) следует искать в таком же виде

			y x e px B0 B1x ... Bm xm ;	(2.15)
б) если		p	является корнем характеристического	уравнения
(2.4) кратности			(имеет место резонансный случай),	то частное
решение уравнения (2.1) следует искать в виде
			y x x epx B0 B1x ... Bm xm .	(2.16)
Для	определения коэффициентов многочлена Bm x B0
B x ... B		xm	необходимо (2.15) или (2.16) подставить в (2.1),
1	m

сократить на множитель e px 0 и, приравнивая коэффициенты

2. Линейныеуравнения с постоянными коэффициентами

при одинаковых степенях x в левой и правой частях уравнения, выписать систему алгебраических уравнений относительно Bi ,

i0, m .

2.Пусть правая часть уравнения (2.1) имеет вид

f x epx Pm x cos qx Qn x sin qx ,

тогда:

а) если числа p iq не являются корнями характеристического

уравнения (2.4), то частное решение уравнения (2.1) следует искать в виде

	y e px R	x cos qx T	x sin qx ,	(2.17)
	s	s
где степень s	равна максимальной		из степеней	многочленов
Pm x и Qn x ,	s max m, n ;

б) если числа p iq являются корнями характеристического

уравнения (2.4) кратности	(имеет место резонансный случай),
то частное решение уравнения (2.1) следует искать в виде
y x e px R	x cos qx T x sin qx .	(2.18)
s	s
Заметим, что Rs x и Ts x – многочлены степени s		с неопре-

делёнными коэффициентами. Для нахождения коэффициентов требуется подставить (2.17) или (2.18) в уравнение (2.1), приравнять коэффициенты при подобных функциях в левой и правой частях уравнения и решить полученную систему алгебраических уравнений.

Принцип суперпозиции. Если функция yi , i 1,l , является решением линейного неоднородного уравнения

a0 y n a1 y n 1 ... an 1 y an y fi x , i 1,l ,

то y i yi является решением уравнения

i 1

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

a0 y n a1 y n 1 ... an 1 y an y l	i fi x ,
i 1
где i – постоянные.

Пример 2.10. Решить уравнение

y 2 y y 2 y 2x2 sh x .

Решение. Имеем линейное неоднородное уравнение.

1) Найдём общее решение соответствующего однородного уравнения

y 2y y 2y 0 .

Замена y ekx , y kekx ,	y k 2ekx ,				y k3ekx приводит к харак-
теристическому уравнению
k3 2k2 k 2 0 , k 2 k 2 1 0 ,
корни которого равны k1 1,		k2 1,			k3 2 . Выписанным корням
соответствуют частные решения
y e x , y		2	ex ,		y e2x ,
1					3
образующие фундаментальную систему решений.
Общее решение однородного уравнения есть
y C e x		C		ex	C e2x .
0	1		2		3

2) Построим частное решение неоднородного уравнения с учё-

том вида		функции				f x 2x2		sh x 2x2 ex		e x			, где
									2		2
f x f	x f		2	x f	3	x ,	f	x 2x2	,	f	2	x ex		,
1			2		3		1				2		2
													2

f3 x e x .

Согласно принципу суперпозиции найдём частные решенияy1 x , y2 x , y3 x для уравнений

2. Линейныеуравнения с постоянными коэффициентами

а)

2 y

2y 2x

; б) y

2 y

2 y 2 ;

в)

2 y

e x

соответственно.

Имеем

x 2x2 epx A

x ,

x 2x2 ,

m 2 ;

p 0 не

является корнем характеристического уравнения. Поэтому частное решение отыскивается в виде (2.15):

					y x B B x B x2 .
					1	0	1	2
Подставляя		y1 x ,			y1 x B1 2B2 x ,			y1 x 2B2 ,		y1 x 0		в
уравнение в п. а), получаем
	4B B 2B x 2B 2B x 2B x2 2x2 .
			2	1	2	0	1	2				x ,
Приравнивая				коэффициенты			при	одинаковых		степенях		x ,
имеем
x0 : 4B			B 2B 0,
		2		1	0						5 .
x1 : 2B2			2B1		0,	откуда B2 1,			B1 1,	B0	5 .
x2 : 2B		2,									2
x2 : 2B		2,
	2
	2
Частное решение					y x x2 x 5 .
					1		2
							2
Имеем f	2	x ex			epx A	x ,	A x 1 ,		m 0 ;	p 1	являет-
	2			2	m		m	2
				2				2

ся корнем характеристического уравнения кратности									1, резо-
нансный случай. Поэтому частное решение ищем в виде (2.16):
				y	x	xex B .
				2		0
Подставляя		y	x ,	y x B ex B xex ,				y x 2B ex B xex ,
		2		2	0	0		2	0	0
y x 3B ex		B xex		в уравнение в п. б), получаем
2	0		0
3B ex	B xex 4B ex 2B xex B ex B xex 2B xex 1 ex
0	0			0	0	0	0	0		2
										2

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

или

		3B ex 4B ex B ex							1 ex , 2B ex			1 ex ,
				0		0	0		2		0		2
									2				2
тогда B 1				и	y	x 1 xex .
0		4			2		4
		4					4
Имеем	f	3	x e x				e px A	x ,		A	x 1		,	m 0 ;	p 1
		3				2	m			m		2
						2						2

является корнем характеристического уравнения кратности 1. Значит частное решение ищем в виде (2.16):

									y x xe x B .
									3			0
Подставляя y						x	,	y	x B e x B xe x					,	y x 2B e x
				3				3	0				0		3	0
B xe x	,	y x			3B e x B xe x							в уравнение в п. в), получаем
0		3					0		0
		3B e x 4B e x							B e x			e x	, 6B e x e x			,
		0						0	0			2	0		2
												2			2
тогда B			1		и y		x			1	xe x .
тогда B					и y		x				xe x .
0		12				3			12
		12							12

Частное решение исходного неоднородного уравнения равно

y y1 x y2 x y3 x , y x2 x 52 12x 3ex e x . 3) Общее решение неоднородного уравнения

y y0 y , y C1e x C2ex C3e2x x2 x 52 12x 3ex e x .

Пример 2.11. Решить уравнение

y 5 2 y y 4x 24sin x 8cos x .

Решение. Дано линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами.

1) Найдём общее решение однородного уравнения y 5 2 y y 0 .

Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 155 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]