Линейные и евклидовы пространства. Ч.1. Методические указания по самостоятельной работе студентов

С О Д Е Р Ж А Н И Е

1. Понятие линейного пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1. Мотивировка, определение и элементарные свойства линейных

пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Анализ примеров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Линейная зависимость и независимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1. Определение и свойства линейно зависимых и независимых век-

торов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2. Анализ примеров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3. Остов, базис и размерность линейного пространства . . . . . . . . . . . . . 11 3.1. Определения и свойства остова, базиса и размерности линейно-

го пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.2. Анализ примеров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.3. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Список используемой литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3

1.Понятие линейного пространства

1.1Мотивировка, определение и элементарные свойства линейных пространств.

Существуют различные классы математических объектов, сходных по своим алгебраическим свойствам с геометрическими векторами. Есть смысл объединить эти классы общим названием «Линейные пространства» и изу-

чить их свойства независимо от природы элементов, составляющих тот или иной класс.

Определение. Непустое множество называется линейным (или век-

торным) пространством, если а) на введена операция сложения, т.е. для любых двух элементов ̅и

̅ множества найдется единственный элемент в том же , названный их суммой и обозначаемый ̅+ ̅,

б) на введена операция умножения на скаляр (число), т.е. для любого скаляра ( ) и элемента ̅( ) найдется единственный элемент в ,

названный их произведением и обозначаемый ̅,

в) выполнены свойства (аксиомы линейного пространства):

1)̅+ ̅ = ̅ + ̅для любых ̅, ̅ ( ),

2)( ̅+ ̅) + ̅= ̅+ ( ̅ + ̅) для любых ̅, ̅, ̅( ),

3)существует такой ̅( ), что ̅+ ̅= ̅для любого ̅( ),

4)для любого ̅( ) существует такой − ̅( ), что ̅+ (− ̅) = ̅,

5)( + )̅= ̅+ ̅для любых , ( ) и ̅( ),

6)( ̅+ ̅) = ̅+ ̅ для любых ( ) и ̅, ̅ ( ),

7)( ̅)= ( )̅для любых , ( ) и ̅( ),

8)1 ̅= ̅для любого ̅( ).

4

Сложение и умножение на скаляр называются линейными операциями. Эле-

менты линейного пространства называются векторами. Вектор ̅называется нулевым вектором или нулем линейного пространства. Вектор − ̅называет-

ся противоположным вектору ̅.

Перечислим элементарные свойства линейных пространств:

1)нулевой вектор ̅единственный,

2)для всякого вектора ̅его противоположный вектор − ̅единствен-

ный,

3)̅= ̅для любого скаляра ,

4)0 ̅= ̅для любого вектора ̅,

5)если ̅= ̅, то = 0 или ̅= ̅,

6)(− ̅)= (− ) ̅= −( ̅) для любого скаляра и любого вектора ̅,

7)− ̅= (−1) ̅для любого вектора ̅,

8)разность ̅− ̅, определяемая условием ( ̅− ̅) + ̅ = ̅, всегда су-

ществует и равна ̅+ (−̅).

1.2. Анализ примеров.

Рассмотрим основные примеры линейных пространств.

Пример 1. = 3 – линейное пространство всех геометрических век-

торов с общим началом в некоторой точке и естественными линейными операциями: сложение ведется по правилу параллелограмма, | | = | | ∙ | |,

↑↑ при ≥ 0 и ↑↓ при < 0. Нулевым вектором является = ,

а роль противоположного вектора − играет (−1) . Аналогично рассматри-

ваются линейные пространства = 1 и = 2, если векторы лежат только на некоторой общей прямой или на некоторой общей плоскости. Свойства геометрических векторов подробно изучены в курсе средней школы, исходя из их геометрической природы. Восемь из этих свойств взяты за основу в ка-

честве аксиом линейного пространства. Можно сказать, что пространство

= 3 – прообраз абстрактного понятия «Линейное пространство».

5

Пример 2. = ( , , ) – линейное пространство всех вещественных матриц размера × с естественными (поэлементными) линейными операциями: ( ) + ( ) = ( + ), ( ) = ( ). Нулем пространства яв-

ляется нулевая матрица, а матрица (− ) противоположна матрице ( ).

Пример 3. = = (1, , ) – линейное пространство всех арифме-

тических векторов-строк (1, 2, … , ) с вещественными координатами .

Во многих задачах удобнее понимать пространство как ( , 1, ), т.е. за-

1

писывать его векторы в столбцы (1, 2, … , )т = ( 2). Отметим, что про-

странство 3 отождествится с 3, если каждому арифметическому вектору

(1, 2, 3) поставить в соответствие геометрический вектор 1 + 2+ 3 .

Пример 4. = [ ] – линейное пространство всех многочленов пере-

менной с вещественными коэффициентами, т.е. всех алгебраических функций ( ) = 0 + 1 + 2 2 + + , где – любое целое неотрицатель-

ное число. Линейные операции – обычные операции сложения многочленов путем приведения подобных и почленного умножения многочлена на скаляр.

Роль нулевого вектора играет нулевая функция ( ) = 0, а роль противопо-

ложного многочлена – многочлен с противоположными коэффициентами.

Пример 5. = [ ] – линейное пространство всех многочленов из

[ ] степени не выше . Линейные операции индуцируются (заимствуются)

из [ ].

Пример 6. = 2( ; ) – линейное пространство всех вещественных суммируемых с квадратом функций на интервале ( ; ) (интервал может быть и неограниченным): принадлежность функции ( ) данному простран-

ству определяется условием существования интеграла ∫ ( ( ))2 . Линей-

ные операции обычные: ( + )( ) = ( ) + ( ), ( )( ) = ∙ ( ) (здесь

– скаляр, а ( ) и ( ) – функции). Нулевая функция ( ) = 0 – нуль про-

странства , а функция (−1)( ) противоположна ( ).

6

Все изложенное в примерах очевидно, за исключением того важного для примера 6 факта, что сумма двух функций из пространства 2( ; ) оста-

ется в нем же. Но этот факт доказан в курсе функционального анализа.

Пример 7. Тривиальное линейное пространство – линейное простран-

ство, содержащее единственный элемент ̅(произвольной природы), который является результатом любых линейных операций над ним же: ̅+ ̅= ̅и ̅= ̅. Ясно, что ̅= ̅и − ̅= ̅.

1.3. Задачи для самостоятельного решения.

1) Доказать, что множество всех вещественных диагональных матриц 2

порядка (0 0) с поэлементными линейными операциями является линей-

ным пространством, и дать его геометрическую интерпретацию путем отож-

дествления с 2 (указать нужное соответствие).

2)Дать геометрическую интерпретацию линейного пространства 2[ ].

3)Доказать, что множество векторов пространства , имеющих толь-

ко положительные координаты, не может быть линейным пространством с покоординатными линейными операциями, индуцированными из .

4) Ввести структуру линейного пространства (т.е. линейные операции,

удовлетворяющие аксиомам) на множестве всех функций, определенных и дифференцируемых в точках интервала (0; 1).

2.Линейная зависимость и независимость.

2.1.Определение и свойства линейно зависимых и независимых

векторов.

Пусть в дальнейшем по умолчанию всегда означает линейное про-

странство.

7

линейно зависимыми. В противном случае – линейно независимыми.

Теорема 1. Для того, чтобы несколько векторов линейного простран-

ства были линейно зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы один из них можно было разложить по остальным в виде их линейной комбинации.

Теорема 2. Если среди нескольких векторов линейного пространства есть ̅, то эти векторы линейно зависимы.

Геометрическая интерпретация линейной зависимости: линейная зависимость двух векторов в пространстве 2 или 3 означает их коллинеар-

ность, а линейная зависимость трех векторов в пространстве 3 – не что иное, как их компланарность.

Существуют простые правила проверки линейной зависимости в про-

× , строками которой являются эти векторы. Если ранг полученной мат-

рицы меньше числа её строк, то векторы линейно зависимы. И наоборот.

2)Иногда эта матрица оказывается квадратной (когда = ). В этом случае можно вычислить ее определитель. Если определитель равен 0, то векторы линейно зависимы. И наоборот.

3)Если нужно проверить линейную зависимость нескольких матриц в пространстве ( , , ), то каждую матрицу заменяем вектором пространства

, который строится путём последовательной записи строк этой матрицы в одну строку, и затем проверяем линейную зависимость этих векторов по пра-

вилу 1) или 2).

4) Если нужно проверить линейную зависимость нескольких многочле-

нов в пространстве [ ], то каждый многочлен заменяем вектором про-

8

странства +1, координатами которого являются коэффициенты этого мно-

гочлена, и затем проверяем линейную зависимость этих векторов по правилу

1)или 2).

2.2.Анализ примеров.

Пример 1. В пространстве 5 проверить линейную зависимость векто-

той форме элементарными преобразованиями строк (преобразованиями

ратная. Тогда можно применить правило 2). Вычислим определитель матрицы :

| | = 0 + 18 + 15 − 0 − 15 − (−12) = 30.

+ − , − + 2 , 2 + в пространстве 3.

Решение. Для компланарности этих векторов необходима и достаточна

их линейная зависимость, которую легко проверить, понимая эти векторы

симы и их геометрические образы, т.е. векторы + − , − + 2 , 2 +

компланарны.

2.3.Задачи для самостоятельного решения.

1)Проверить линейную зависимость векторов

Ответ: линейно зависимы.

2) Проверить линейную зависимость векторов

Ответ: линейно независимы.

3) Проверить линейную зависимость векторов

Ответ: линейно независимы.

4) Проверить линейную зависимость векторов

10