Линейные и евклидовы пространства. Ч.1. Методические указания по самостоятельной работе студентов
.pdf̅= (1, 1, 0, 2), ̅= (−1, −2, 1, −3), ̅ = (1, 0, 1, 1). |
||
1 |
2 |
3 |
Ответ: линейно зависимы.
5) Проверить линейную зависимость векторов
̅= (−1, 2, 2, 0), ̅ = (1, −1, −1, 1), ̅ = (2, −1, 0, 3), ̅= (1, 2, 3, 4). |
|||
1 |
2 |
3 |
4 |
Ответ: линейно зависимы.
6) Проверить линейную зависимость векторов
̅= (2, −1, 1, 1), ̅ = (1, 0, −1, 0), ̅= (1, 1, 0, 1), ̅= (0, −2, 2, 1). |
|||
1 |
2 |
3 |
4 |
Ответ: линейно независимы.
7) Проверить линейную зависимость матриц
1 = (11 11), 2 = (−11 02), 3 = (15 −31).
|
|
|
|
|
Ответ: линейно зависимы. |
||
8) Проверить линейную зависимость матриц |
|
|
|||||
0 |
1 |
1 |
0 |
−1 |
0 |
2 |
1 |
1 = (1 |
0), 2 = (0 |
1), 3 = ( 2 |
1 ), 4 = (0 |
1). |
|||
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
−1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
Ответ: линейно независимы. |
||
9) Проверить линейную зависимость многочленов |
|
|
|||||
( ) = 1 + − 3, ( ) |
= 2 + + 2 + 3, ( ) |
= − 2 |
− 3 3. |
||||
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: линейно зависимы. |
||
10) Проверить |
компланарность |
геометрических |
векторов |
2 − + 4 , |
|||
+ 2 + , 2 + + 5 в пространстве 3.
Ответ: некомпланарны.
3.Остов, базис и размерность линейного пространства.
3.1.Определения и свойства остова, базиса и размерности линейно-
го пространства. |
|
|
|
|
Напомним, что если ̅= ̅+ ̅+ + |
|
̅, то |
это равенство |
|
1 1 2 2 |
|
|
|
|
называется разложением вектора ̅по векторам ̅, ̅, … , |
̅ ( ̅, |
̅ , |
||
1 |
|
2 |
|
|
). Очевидно, что не всякий вектор можно разложить по некоторым за-
ранее указанным векторам.
11
Определение 1. Если в линейном пространстве найдется конечный набор векторов, по которым можно разложить любой вектор пространства ,
то этот набор векторов называется остовом пространства , а само простран-
ство – конечномерным. В противном случае пространство называется бесконечномерным.
Тривиальные линейные пространства (состоящие из единственного,
нулевого, вектора) относятся к конечномерным, но интереса, разумеется, не представляют. Отметим также как очевидное, что разные остовы одного и того же линейного пространства могут содержать разное количество векто-
ров.
Определение 2. Минимальный остов нетривиального конечномерного линейного пространства называется базисом этого пространства.
Во всяком нетривиальном конечномерном линейном пространстве существует бесконечно много различных базисов, но все эти базисы содер-
жат одно и то же натуральное число векторов, называемое размерностью
пространства и обозначаемое dim . Если линейное пространство триви-
альное или бесконечномерное, то соответственно полагают dim = 0 или dim = ∞.
Очень важно отметить, что если остов нетривиального конечномерного линейного пространства состоит из линейно зависимых векторов, то этот остов не минимальный и базисом не является: такой остов можно уменьшить,
убрав из него тот вектор, который раскладывается по остальным векторам данного остова (см. с.8, теорема 1). С этой идеей связаны три важнейшие теоремы.
Теорема 1. Всякий базис есть остов, состоящий из линейно независи-
мых векторов. И наоборот.
Теорема 2. Всякий базис есть максимальный набор линейно независи-
мых векторов. И наоборот.
12
Теорема 3. Пусть – конечномерное линейное пространство размер-
ности dim = . Тогда всякий базис пространства есть набор линейно независимых векторов. И наоборот.
3.2. Анализ примеров.
Пример 1. В линейном пространстве ( ) рассмотрим векто-
ров ̅= (1,0, … ,0), ̅= (0,1,0, … ,0), … , ̅ = (0, … ,0,1) и произвольный |
|||
1 |
2 |
|
|
вектор ̅= ( , |
, … , |
). Очевидно, что ̅= ̅+ ̅+ + ̅ ̅, |
|
1 2 |
|
1 1 2 2 |
1 |
̅, … , ̅ – остов пространства , и потому – конечномерное простран-
2
ство. Кроме того, векторы ̅, ̅, … , ̅ линейно независимы, поскольку ни |
|||
|
|
1 2 |
|
один из них нельзя разложить по остальным. Но тогда по теореме 1 |
|||
1) |
̅, ̅, … , ̅– базис пространства , |
||
|
1 2 |
|
|
2) |
dim = . |
|
|
Базис ̅= (1,0, … ,0), ̅= (0,1,0, … ,0), … , ̅ = (0, … ,0,1) называется кано- |
||
1 |
2 |
|
ническим или единичным базисом пространства .
Пример 2. , и , , – простейшие базисы пространств 2 и 3 соот-
ветственно, dim 2 = 2, dim 3 = 3. На самом деле эти базисы – геометриче-
ские образы канонических базисов пространств 2 и 3: (1,0), (0,1) и (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1).
Пример 3. Аналогично примеру 1, в пространстве ( , , ) ( , )
простейший базис состоит из всевозможных матриц размера × , у кото-
рых один элемент 1, а все остальные элементы равны 0. Тогда dim ( , , ) = .
Пример 4. Набор функций-мономов 0( ) = 1, 1( ) = , 2( ) = 2,
…, ( ) = является простейшим базисом пространства [ ] ( ), и dim [ ] = + 1.
Пример 5. [ ] и 2( ; ) – бесконечномерные пространства.
Пример 6. Какие наборы векторов являются базисами пространства
2:
1) ̅1 = (−1, 1), ̅2 = (1, 2), ̅3 = (3, 1),
13
|
|
2) |
̅ |
|
̅ |
|
|
|
|
|
|
1 |
= (−2, 1), 2 = (4, −2), |
|
|
||||
|
|
3) |
̅= (2, 1), ̅= (4, 5)? |
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|||
1) Согласно примеру 1, dim 2 = 2, т.е. в любом базисе должно быть 2 |
|||||||||
вектора, поэтому ̅1, ̅2, ̅3 |
не могут быть базисом пространства 2. |
||||||||
2) | |
−2 |
1 |
|
|
̅ |
̅ |
|
|
|
4 |
|
−2 |
| = 4 − 4 = 0 1, |
2 линейно зависимы и по теореме 1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
тоже не могут быть базисом 2. |
|
|
|
|
|||||
3) |2 |
1| = 10 − 4 = 6 ≠ 0 ̅, ̅линейно независимы и по теореме |
||||||||
4 |
5 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 являются базисом 2. |
|
|
|
|
|
||||
Пример 7. Какие наборы матриц являются базисами пространства |
|||||||||
(2,2, ): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) 1 |
= ( 1 |
0), 2 |
= (0 |
2), 3 |
= (3 1), |
||
|
|
|
|
−1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
2) 1 = (10 01), 2 = (01 20), 3 = (10 11), 4 = (12 02),
3) 1 = (10 01), 2 = (01 10), 3 = (10 11), 4 = (21 22)?
Решение.
1) Согласно примеру 3, dim (2,2, ) = 4, т.е. в любом базисе должно
быть 4 матрицы, поэтому 1, 2, 3 |
не могут быть базисом (2,2, ). |
|||||||||||
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
2 |
1 |
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2) |0 2 1 0| = |0 2 1 0| = |1 0 0| = −1 ≠ 0 1, 2, 3, |
||||||||||||
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
2 |
1 |
||
1 |
0 |
2 |
2 |
0 |
0 |
2 |
1 |
|||||
|
|
|
||||||||||
4 линейно независимы и по теореме 3 являются базисом (2,2, ). |
||||||||||||
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3) |0 |
1 1 0| = |0 |
1 |
1 |
0| = |1 0 0| = 0 1, 2, 3, 4 ли- |
||||||||
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
2 |
1 |
0 |
|
2 |
2 |
1 |
2 |
0 |
2 |
1 |
|
0 |
||||
|
|
|
|
|||||||||
нейно зависимы и по теореме 1 не могут быть базисом (2,2, ). |
||||||||||||
Пример 8. |
Какие наборы многочленов являются базисами простран- |
|||||||||||
ства 2[ ]:
1) 1( ) = 2 + 3 − 2, 2( ) = 5 − + 2 2,
14
2)1( ) = 1 + − 2, 2( ) = 3 − + 2 2, 3( ) = 3 + 2,
3)1( ) = 1 + , 2( ) = 3 − 2, 3( ) = + 2, 4( ) = 7 + + 2?
Решение.
1) Согласно примеру 4, dim 2[ ] = 3, т.е. в любом базисе должно быть
3 многочлена, поэтому ни 1( ), 2( ), ни 1( ), 2( ), 3( ), 4( ) не могут быть базисом пространства 2[ ].
1 |
1 |
−1 |
2) |3 |
−1 |
2 | = −1 + 6 − 3 − 3 = −1 ≠ 0 1( ), 2( ), 3( ) ли- |
3 |
0 |
1 |
нейно независимы и по теореме 3 являются базисом 2[ ].
|
Пример 9. Разложить вектор ̅= (1, −1, −1) по базису ̅= (1, −1, 0), |
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
̅= (0, 1, 1), ̅= (1, 0, 2) пространства 3. |
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
Решение. Требуется представить ̅в виде ̅= ̅+ ̅+ ̅, где |
|||||
|
1 |
1 |
2 |
2 |
3 |
3 |
1, 2, 3 – некоторые скаляры, которые нужно найти. Подставим в эту фор-
мулу данные задачи:
(1, −1, −1) = 1(1, −1, 0) + 2(0, 1, 1) + 3(1, 0, 2) (1, −1, −1) = ( 1 + 3, − 1 + 2, 2 + 2 3)
1 |
+ 3 = 1 |
1 |
+ 3 = 1 |
1 |
+ 3 = 1 |
|
{− 1 + 2 |
|
= −1 { |
|
2 + 3 = 0 { |
2 + 3 = 0 |
|
2 + 2 3 = −1 |
|
2 + 2 3 = −1 |
|
3 = −1 |
||
|
|
|
1 = 2 |
|
|
|
|
|
|
{ 2 = 1 . |
|
|
|
|
|
|
3 = −1 |
|
|
|
Тогда ̅= 2 ̅+ ̅− ̅. |
|
|
|
|
||
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
Пример |
10. |
Доказать, |
что |
набор многочленов |
( ) = 1 + − 2, |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
( ) = 3 − + 2 2, ( ) = 3 + 2 |
является базисом пространства [ ] и |
|||||
2 |
|
3 |
|
|
|
2 |
разложить по этому базису многочлен ( ) = 2 + 5 − 2. |
|
|||||
Решение. Доказательство того, что набор |
многочленов 1( ), 2( ), |
|||||
3( ) является базисом пространства 2[ ], уже было дано выше в примере 8
на с.14-15. Разложение по этому базису многочлена ( ) имеет вид
( ) = 1 1( ) + 2 2( ) + 3 3( ),
15
где 1, 2, 3 – некоторые скаляры, которые нужно найти. Подставим в эту формулу данные задачи:
2 + 5 − 2 = 1(1 + − 2) + 2(3 − + 2 2) + 3(3 + 2) 2 + 5 − 2 = 1 + 1 − 1 2 + 3 2 − 2 + 2 2 2 + 3 3 + 3 2 2 + 5 − 2 = 1 + 3 2 + 3 3 + ( 1 − 2) + (− 1 + 2 2 + 3) 2.
Поскольку равенство многочленов возможно только при совпадении их ко-
эффициентов, то
1 + 3 2 + 3 3 = 2
{ 1 − 2 |
= 5 . |
− 1 + 2 2 |
+ 3 = −1 |
Данную систему уравнений можно решить по формулам Крамера:
|
1 |
3 |
3 |
∆= | 1 −1 |
0| = −1 + 6 − 3 − 3 = −1, |
||
|
−1 |
2 |
1 |
|
2 |
3 |
3 |
∆1= | 5 −1 |
0| = −2 + 30 − 3 − 15 = 10, |
||
|
−1 |
2 |
1 |
|
1 |
2 |
3 |
∆2= | 1 5 |
0| = 5 − 3 + 15 − 2 = 15, |
||
|
−1 |
−1 |
1 |
1 |
3 |
2 |
|
∆3= | 1 |
−1 |
5 | = 1 − 15 + 4 − 2 + 3 − 10 = −19 |
|
−1 |
2 |
−1 |
|
1 = ∆∆1 = −10, 2 = ∆∆2 = −15, 3 = ∆∆3 = 19. Тогда ( ) = −10 1( ) − 15 2( ) + 19 3( ).
3.3. Задачи для самостоятельного решения.
1) Являются ли (−1, 1, 0), (1, 2, 1) базисом 3?
Ответ: нет.
2) Являются ли (−1, 1, 0), (1, 2, 1), (0, 3, 1), (7, 1, 5) базисом 3?
Ответ: нет.
3) Являются ли (−1, 1, 0), (1, 2, 1), (0, 3, 1) базисом 3?
Ответ: нет.
4) Являются ли (−1, 1, 0), (1, 2, 1), (0, 1, 3) базисом 3?
16
Ответ: да.
5) Являются ли − + , + + 2 , 2 + 5 базисом 3?
Ответ: да.
6) Являются ли + − , − 2 + 2 , 2 − + базисом 3?
Ответ: нет.
7) Являются ли 2 − , 1 + , 2 + 3, 2 − 3 базисом 3[ ]?
Ответ: да.
8) Являются ли 1 − , + 2, − 2 + 3, 1 + 3 базисом 3[ ]?
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: нет. |
|
9) Являются ли (1 |
0 |
3), |
(2 |
1 |
0), |
(0 |
3 |
4), |
(7 |
3 |
1) бази- |
0 |
2 |
4 |
5 |
7 |
3 |
8 |
1 |
9 |
2 |
6 |
9 |
сом (2,3, )? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: нет. |
10) Являются ли (1 |
2), (1 |
1), (0 |
0), (0 |
0) базисом (2,2, )? |
|||
3 |
1 |
1 |
5 |
3 |
1 |
1 |
1 |
Ответ: да.
11) Доказать, что векторы ̅1 = (1, 2, −1), ̅2 = (2, 3, 0), ̅3 = (1, 1, 2)
являются базисом пространства 3 и разложить вектор ̅= (1, 2, 1) по это-
му базису.
Ответ: ̅= 3̅1 − 2̅2 + 2̅3.
12) Доказать, что набор многочленов
1( ) = 2 + 3 + 3 2, 2( ) = 5 − , 3( ) = −1 + 2 + 2
является базисом пространства 2[ ] и разложить по этому базису многочлен
( ) = 4 − 2 + 5 2.
Ответ: ( ) = 5,1 1( ) − 3,3 2( ) − 10,3 3( ).
17
Список используемой литературы.
1.Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.1: Учеб. пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – 6-е изд. – М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2005. – 304 с.: ил.
2.Владимирский Б.М., Горстко А.Б., Ерусалимский Я.М. Математика. Общий курс: Учебник. 3-е изд., стер. – СПб.: Издательство «Лань», 2006. – 960 с.: ил. – (Учебники для вузов. Специальная литература).
3.Виленкин И.В. Высшая математика для студентов экономических, технических, естественно-научных специальностей вузов: Учеб. пособие / И.В.Виленкин, В.М. Гробер. – Изд. 3-е, испр. – Ростов н/Д: Феникс, 2005. – 414, [1] с.: ил. – (Высшее образование).
4.Гусак А.А. Высшая математика: В 2 т. Т. 1. Учеб. для студентов вузов. – 5-е изд. – Мн.: ТетраСистемс, 2004. – 544 с.
5.Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник / Под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2004. – 656 с. – (Серия «Высшее образование»).
18