Линейные дифференциальные уравнения и системы линейных уравнений. Учебное пособие

1. Линейныеуравнения с переменными коэффициентами

Пример 1.5. Решить уравнение

x2 y x2 2x y x 2 y x3 ex 1 .

Решение. 1) Решим соответствующее однородное уравнение

или

x n 1 n 1 xn n n 1 2n 2 ... 0 .

Коэффициент при самой старшей степени x равен n 1 , сле-

x3 z x3 z 0 или z z 0 .

21

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

Проинтегрируем последнее уравнение методом разделения переменных:

z C1 ex , z C1ex , C1 C2 , z C2ex .

Ещё раз интегрируем последнее уравнение

dxdz C2ex , dz C2 exdx C1 , z C1 C2ex .

Тогда xy C1 C2ex и

y0 C1x C2 xex – общее решение уравнения (1.20).

Второй способ. Согласно формуле Остроградского – Лиувилля общее решение однородного уравнения (1.20) имеет вид (1.15):

22

1.Линейныеуравнения с переменными коэффициентами

2)Решение исходного неоднородного уравнения будем отыскивать методом вариации постоянных в виде

y C1 x x C2 x xex .

Для нахождения неизвестных функций C1 x , C2 x выпишем систему алгебраических уравнений относительно C1 x , C2 x :

y x ex C1 x x e x C2 xex C1x C2 xex

x2 xex x2ex x C1 1 x C2 1 xex x2 e x 1 . .

Выполнив в полученном решении y переобозначение постоянных C1 1 C1 , C2 1 C2 , запишем ответ:

23

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

y C1x C2 xex x2 e x 1 .

Пример 1.6. Решить уравнение

x2 y cos x x2 sin x 2x cos x y 2cos x xsin x y x5 cos2 x .

Решение. 1) Решим соответствующее однородное уравнение x2 y cos x x2 sin x 2x cos x y 2cos x xsin x y 0 . (1.21)

Частное решение отыскиваем путём подбора в виде многочлена. Анализируя коэффициенты при y , y , y в левой части уравне-

ния, замечаем, что если выбрать y1 в виде y1 x , тогда y1 1 , y1 0 и уравнение (1.21) удовлетворяется:

x2 sin x 2x cos x 2cos x xsin x x 0 .

Итак, y1 x – частное решение уравнения (1.21).

По формуле Остроградского – Лиувилля общее решение уравнения (1.21) имеет вид (1.15):

24

1.Линейныеуравнения с переменными коэффициентами

иобщее решение однородного уравнения принимает вид

y0 Ñ1x C2 xsin x .

2) Будем общее решение исходного уравнения находить методом вариации постоянных в виде

y Ñ1 x x C2 x xsin x .

Запишем систему алгебраических уравнений относительно C1 x ,

C2 x :

Вычитая из второго уравнения системы первое уравнение, находим

C1 x C2 x sin x x2 sin x и C1 x x2 sin xdx C1 .

25

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

y C1x C2 xsin x x3 2x cos x x34 2x2 sin x

– общее решение линейного неоднородного уравнения.

1.4. Задачи для самостоятельной работы и ответы к ним

Решить уравнения:

14.2x 3 y 8x 10 y 6x 3 y 2x 3 2 e x .

x1

26

1.Линейныеуравнения с переменными коэффициентами

16.x2 y x2 4x y 2 3 x y 2x 1 x4 .

17.xy 2 3x y 3y 3e 3x .

18.x2 y 3x2 2x y 2 3x y 3x3e 3x .

19.x 1 xy x 2 y y x 1x .

20.3x3 x y 2 y 6xy 4 12x2 .

21.y x2 sin x x 2sin x xcos x y 2sin x xcos x y

x4 sin2 x .

22.y sin x cos x sin x y y cos x 2ex sin2 x .

23.y x2 cos x x 2cos x xsin x y 2cos x xsin x y

x4 cos2 x .

24.y cos x cos x sin x y y sin x 2e x cos2 x .

27

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

9.y C1ex C2 4x3 42x2 150x 183 e2x .

10.y C1ex C2ex exp 1 x2 2x dx .

2

16.y C1e x x2 C2 x2 x3 x4 .

17.y C1 e 3x C2 e 3x .

xx

18.y C1x C2 xe 3x x2e 3x .

20.y C1 x2 1 Cx2 2x .

21.y C1x C2 x cos x x2 sin x 12 x3 cos x .

22.y C1ex C2 sin x cos x 2ex cos x .

23.y C1x C2 xsin x x2 cos x 12 x3 sin x .

24.y C1e x C2 sin x cos x 2e x sin x .

28

2.Линейныеуравнения с постоянными коэффициентами

2.ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И ПРИВОДЯЩИЕСЯ К НИМ

2.1.Общее решение однородного уравнения

Определение. Линейным неоднородным дифференциальным уравнением n -го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

где все коэффициенты ai , i 0,n , постоянны; f x – известная

непрерывная функция на рассматриваемом отрезке изменения x , a x b .

Уравнение вида

вольными постоянными коэффициентами C1,C2 ,...,Cn представляет собой общее решение уравнения (2.2):

n

y Ci yi x .

i 1

Общее решение линейного неоднородного уравнения (2.1) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (2.2) и какого-нибудь частного решения неоднородного уравнения (2.1):

y x y0 x y x .

Уравнение (2.2) всегда можно проинтегрировать в элементарных функциях. Далее полагаем, что все ai , i 0,n , действительные, поэтому будем находить решения в действительной форме.

29

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

Применим метод Эйлера (Эйлер Леонард (1707–1783) – математик, механик, физик и астроном, швейцарец по происхождению; с 1766 г. академик Петербургской Академии наук), отыскивая решения уравнения (2.2) в виде

где k – постоянная величина (действительная или комплексная).

Определение. Алгебраическое степени n уравнение (2.4)

называется характеристическим уравнением, соответствующим однородному уравнению (2.2).

Возможные случаи корней характеристического уравнения

1) Все корни k1,k2 ,...,kn действительные простые. Согласно (2.3) им соответствуют n линейно независимых решений

y1 ek1x , y2 ek2x ,..., yn ekn x ,

образующих фундаментальную систему. Следовательно, общее решение уравнения (2.2) имеет вид

y C1ek1x C2ek2x ... Cnekn x ,

где C1,C2 ,...,Cn – произвольные постоянные.

2) Среди корней характеристического уравнения имеются комплексные. Заметим, что все коэффициенты уравнения (2.4) предполагаются действительными, поэтому комплексные корни входят попарно сопряжёнными.

Пусть уравнение (2.4) имеет комплексный корень ki p iq , где p , q – действительные числа и p 0 . Данному комплексному корню соответствует комплексное решение

30