Линейные дифференциальные уравнения и системы линейных уравнений. Учебное пособие

2.Линейныеуравнения с постоянными коэффициентами

4.y 4y ctg2x .

5. yIV 4 y 4 y ch 2x .

6.y y sin xsin 2x .

7.y y 2 y 10e2x cos2 2x .

8.y 2 y y 16chx 6xe x .

9.yIV y y y 2x 2sin x .

10.yIV 8y 16 y 8cos 2x .

11.y y 16 y 16 y 34x 4 e x 30sin x .

12.y 9y y 9 y 164sin x 18xe3x 1136 e 9x .

17.x2 y xy y 2x2 .

18.x2 y 2xy 4 y xsin x x2 8 cos x .

19.x2 y 3xy 4y 5x .

20.x2 y 3xy 5y x2 ln x .

21.x2 y 4xy 6 y x4 x2 .

22.4x2 y 5xy y ln x .

23.2x 1 2 y 2 2x 1 y 12y 3x 1.

61

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

24.x2 y 3xy y 1x .

25.4x4 y 4x3 y 4x2 y 1 .

26.x2 y 2xy 2y x5 ln x .

27.y 4y xsin 2x .

29.1 x 2 y 1 x y y 4cosln 1 x .

30.x2 y 2 y x2 1x .

Ответы

1.y C1 C2 x C3 x2 e2x x63 e2x .

6.y C1 cos x C2 sin x 4x sin x 161 cos3x .

8.y C1 C2 C3 x e x 2ex x3 x2 e x .

9.y C1 C2 C3 x e x C4ex 2x x2 12 sin x cos x .

62

2.Линейныеуравнения с постоянными коэффициентами

10.y C1 C2 x cos 2x C3 C4 x sin 2x 14 x2 cos 2x .

11.y C1e x C2 cos 4x C3 sin 4x x2e x cos x sin x .

12.y C1e9x C2 sin x C3 cos x 9xcos x xsin x

17.y C1x Cx2 23 x3 .

18.y C1x4 Cx2 cos x sinx x .

19.y C1x2 C2 x2 ln x 5x .

20.y C1x5 Cx2 x92 ln x .

24. xy C1 C2 ln x 12 ln2 x .

63

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

29.y C1 cos ln 1 x C2 sin ln 1 x 2ln 1 x sin ln 1 x .

30.y C1x2 Cx2 13 x2 ln x 31x ln x .

64

3.Линейныесистемы с постоянными коэффициентами

3.ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

3.1.Основные понятия

Система дифференциальных уравнений называется линейной, если она линейна относительно всех неизвестных функций и их производных.

Определение. Линейной системой с постоянными коэффици-

ентами, записанной в нормальной форме, называется линейная система уравнений

ны на некотором отрезке a t b .

Число уравнений системы (3.1) называется порядком системы. В векторной форме система (3.1) имеет вид

A a , i, j 1,n , – матрица коэффициентов системы:

ij

65

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

Одно матричное уравнение (3.2) эквивалентно системе (3.1). Если все fi t 0 , i 1, n , или, что то же самое, в (3.2) вектор

F 0 , то система (3.1) называется линейной однородной и имеет вид

Частным решением системы (3.3) является система функций x1i t , x2i t ,..., xni t , составляющих вектор

x1i t Xi x2i t ,xni t

такая, что при подстановке в (3.3) эти функции обращают уравнения системы в тождества.

Определение. Совокупность n линейно независимых решений

системы (3.3) называется фундаментальной системой решений линейной однородной системы уравнений (3.3).

Такая система характеризуется квадратной матрицей

66

3. Линейныесистемы с постоянными коэффициентами

которая называется фундаментальной матрицей системы (3.3). Если известна фундаментальная система решений, то общее

решение системы (3.3) запишется в виде

где C1,C2 ,...,Cn – произвольные постоянные.

3.2. Методы интегрирования линейной однородной системы

3.2.1. Метод Эйлера

Будем искать решения системы (3.3) в виде

где все 1,..., n и k – постоянные, которые нужно определить так, чтобы функции (3.6) удовлетворяли (3.3). Подставляя в систе-

му (3.3), сокращая на множитель ekt 0 и выполняя необходимые преобразования, приходим к системе алгебраических уравнений

67

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

Для того, чтобы система (3.7) n линейных однородных уравнений c n неизвестными i , i 1, n , имела нетривиальное решение,

необходимо и достаточно, чтобы определитель системы (3.7) был равен нулю:

Уравнение (3.8) называется характеристическим уравнением, а его корни – характеристическими числами системы (3.3). Корень характеристического уравнения ki называют также собственным

значением матрицы A , а вектор

1i A i 2ini

– собственным вектором матрицы A , соответствующим данному корню ki .

Различные случаи корней характеристического уравнения

68

3. Линейныесистемы с постоянными коэффициентами

решая которую, находим ненулевой вектор A i . Этот вектор определяется неоднозначно – с точностью до множителя. Подстановка найденных значений 1, 2 ,..., n и k ki в (3.6) даст реше-

ние однородной системы (3.3), соответствующее корню ki :

x1i 1i ekit , x2i 2i ekit ,..., xni ni ekit .

Построив решения, соответствующие всем корням k1,k2 ,...,kn , находим фундаментальную систему решений

Общее решение системы (3.3) имеет вид (3.5).

2) Среди корней характеристического уравнений (3.8) имеются комплексные. Если все коэффициенты уравнения (3.8) действительные, то комплексные корни встречаются сопряженными парами.

Так, корню k p iq соответствует комплексное решение

x1 1e p iq t , x2 2e p iq t ,..., xn ne p iq t .

Взяв действительную и мнимую части комплексного решения X , находим два линейно независимых действительных решения:

X1 Re X Re Aekt , X2 Im X Im Aekt .

Комплексный сопряжённый корень p iq не даст новых ли-

нейно независимых действительных решений.

Таким образом, паре p iq простых комплексных сопряжён-

ных корней в общем решении системы (3.3) соответствует решение

69

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

где A – собственный вектор, соответствующий собственному значению k p iq ; C1 , C2 – произвольные постоянные.

3) Среди корней характеристического уравнения (3.8) имеется корень k кратности . Возможны случаи:

а) для корня k кратности имеется m линейно независимых

собственных векторов A 1 , A 2 ,..., A m , причём m ; тогда этому корню в общем решении системы (3.3) соответствует решение

надо подставить решение (3.10) в систему (3.3) и, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях t в левой и правой частях уравнений, выписать систему линейных алгебраических уравнений относительно искомых коэффициентов. При этом коэффи-

циентов являются произвольными.

Отметим, что здесь и далее x dxdt , y dydt , z dzdt . Пример 3.1. Найти общее решение системы

x y 2z x,y 4x y,

z 2x y z.

70