Линейные дифференциальные уравнения и системы линейных уравнений. Учебное пособие

2 1 2 2 0,

откуда 1

2 .

2

2

0,

2

1

Собственный вектор

2 и второе частное решение X2 имеют

A

вид

2

1

, X2

1

3t

A

.

e

1

1

в) Общее решение однородной системы

X0

x

1

t

1 3t

.

C1

e

C2 e

y

1

1

2) Решение неоднородной системы будем искать в виде

x C

t e t C

2

t e3t ,

y C t e t C

2

t e3t

,

1

1

где функции C1 t

и C2 t

пока неизвестны. Находим

x C t

e t C

t e t C

t e3t

3C

t e3t ,

1

1

2

2

y C t e t C

t e t C

t e3t 3C

t e3t ,

1

1

2

2

и, подставляя

x k ,

y k ,

k 0,1 , в исходную неоднородную си-

ления C t , C t :

1

2

C t e t C

t e3t et ,

1

2

C t e t C t e3t 0.

1

2

x 1 e2t

C

e t

1 e 2t

C

e3t ,

4

1

4

2

1

e

2t

C1

t

1

e

2t

3t

y

4

e

4

C2 e

или

x

C

1 e t C

1 e3t

0

2

1

t

.

y

1

1

1

e

2

dX

AX F

(3.2)

dt

имеет заданный вид, то частное решение

системы (3.2) можно

X

отыскивать по виду функций fi t ,

i

,

используя метод не-

1, n

определённых коэффициентов.

1) Пусть

f

i

t e pt P

t , где

P

t A

A t ... A tmi

–

m

m

0

1

m

i

i

i

xi e pt B0i B1it ... Bmi tm ;

(3.23)

xi e pt B0i B1it ... Bmi tm .

(3.24)

xi e pt Rmi

t cos qt Smi t sin qt ;

(3.25)

б) если числа p iq

–

-кратные корни характеристического

уравнения, то частное решение следует искать в виде

xi e pt Rmi t cos qt Smi t sin qt .

(3.26)

Здесь m max mi ,ni ,

i

; коэффициенты многочленов в

1, n

m

является сумма Xi решений Xi

уравнений

i 1

dX

AX F

, i

.

1,m

dt

i

Пример 3.8. Найти общее решение системы

x y e

t

,

x

2x 4 y e2t .

y

Решение. 1) Решим соответствующую однородную систему

x

x y,

2x

4 y

y

методом Эйлера, полагая x ekt ,

y

2

ekt .

1

Составим и решим характеристическое уравнение

1 k

1

0 , 1 k 4 k 2 0 , k2 5k 6 0 , k 2 , k

2

3 .

2

4 k

1

0,

тогда 1

2 .

1

2

0,

2 2

2

1

2 1 2

0,

откуда 2

2 1 .

2

0,

2

1

Собственный вектор

2

и второе линейно независимое част-

A

ное решение X2

имеют вид

2

1

1

3t

A

;

, X2

e

2

2

в) общее решение однородной системы есть

X

0

C

1 e2t C

1 e3t .

1

2

1

2

по виду F :

2) Будем отыскивать частное решение X

et

F

.

e2t

Здесь функции

f

t et ,

f

2

t e2t

имеют заданный вид. При

1

этом p 1 для функции

f1 t ;

p 2 для функции

f2 t . Поэтому,

соответственно для систем

шения X1

и X2

t

,

x

x y,

а) x

x y e

б)

2x

4 y e2t .

y

2x 4 y.

y

Имеем

F

et

;

f t et e pt P

t

,

P

t 1 ,

m 0 ;

1

1

m

m

1

0

1

1

f

2

t 0 ept P

t

,

P

t 0 ,

m 0 . Здесь

m max m ,m

0 ;

m

m

2

1

2

2

2

x

t

Bet

1

.

X1

y1

t

Cet

Подставляя

k

t Be

t

,

k

t C1e

t

, k 0,1

, в систему а),

x1

y1

f

2

t e2t ept P

t ,

P

t 1 ,

m 0 . Здесь

m max m ,m 0 ;

m

m

2

1

2

2

2

p 2 – корень характеристического уравнения кратности

1.

Значит, частное решение, согласно (3.24), следует искать в виде

x

t

B

B t e2t

2

1

2

.

X

2

y2

t

D t e2t

D

1

2

Подставляя

x2 t B1

B2t e

2t

,

2t

2 B1 B2t e

2t

,

x2 t B2e

y2 t D1

D2t e

2t

,

t D2e

2t

2 D1

D2t e

2t

в систему б)

и

y2

сокращая на множитель

e2t 0 ,

приходим к системе уравнений

относительно B1 , B2 , D1 , D2 :

B 2B 2B t B B t D D t,

2

1

2

1

2

1

2

D2 2D1 2D2t 2B1 2B2t 4D1 4D2t 1.

t0 : B 2B B D ,

B

B D 0,

2 1 1 1

D2 2D1 2B1 4D1 1.

1

2

1

t1 : 2B2 B2 D2 ,

или 2B1 2D1

D2 1,

B

D .

2D2 2B2 4D2 .

2

2

1

1

1

0

0

1 1

1 0

0

2

2

2

0

1

1

0

0 1

1

1

0 1

0 1

0

0

0 1

0

1 1

1 0

0

1 1

1 0

0

0 1

0 1

0

1

0

0 1

0 .

2

0 1

0

0 1

1

0 0

1

Находим однозначно

D2 1, B2

1;

B1 D1 B2 ,

B1 D1 1.

x

x y cost,

2x y sin t cost.

y

Решение. 1) Решим соответствующую однородную систему

x

x y,

2x y,

y

полагая

x ekt

, y

2

ekt .

1

Выпишем и решим характеристическое уравнение

1 k

1

0 , k 1 k 1 2 0 , k2 1 0 , k

i .

2

1 k

1,2

а) Для корня k i запишем собственный вектор, решив систе-

му

1 i

2

0,

1

0, откуда 2

i 1 1 .

2 1 i

2

1

Тогда собственный вектор

можно задать в виде

A

1 .

A

i 1

Комплексное решение, соответствующее корню k i , равно

1

1

cost

sin t

X

eit

cost i sin t

i

.

i 1

i 1

cost sin t

cost sin t

X1

Re

cos t

,

X2

Im

sin t

;

X

X

cost sin t

cost sin t

сопряжённый корень

k i

не даёт новых линейно независимых

решений;

X0

x

cost

C2

sin t

C1

.

y

cost sin t

cost sin t

cost

F

.

sin t cost

t sin qt ,

Здесь

f1 t cost e pt Pm

t cos qt Qn

Pm t 1 ,

1

1

1

m1 0 ,

Qn

t 0 ,

n1 0 ;

f2 t sin t cost ept Pm t

cos qt

1

2

Qn t

sin qt ,

Pm

t 1 ,

m2

0 ,

Qn

t 1,

n2 0 .

Тогда

2

2

2

m max m1,m2 , n1,n2 0 . Числа p iq 0 i 1 i

– корни ха-

рактеристического уравнения кратности

1.

Значит,

частное

решение, (согласно 3.2.6), следует искать в виде

x t

B1 B2t cos t B3

B4t sin t

X

y t

D D t

cos t D

D t sin t

.

1

2

3

4

Вычисляя производные от x t ,

y t , подставляя

k

t ,

y

k

t ,

x

нахождения Bi , Di , i

1, 4

:

cost : B1 B2 B3 D1 1,

t cost : B2 B4 D2 0,

2B1 D1 D2 D3 1,

2B2 D2 D4 0,

sin t : B1 B3 B4 D3 0,

t sin t : B2 B4 D4 0,

2B3 D1 D3 D4 1,

2B4 D2 D4 0.

Между

остальными

коэффициентами обнаружена

зависимость

B1 B3 D3 ,

D1 2B3 D3 .

Полагая

B3 D3

0 , находим

B1 D1

0 .

Частное решение X неоднородной системы имеет вид

t cost

X

.

t cost t sin t

3) Общее решение неоднородной системы есть

X X0

x

cost

sin t

t cost

X ,

y

C1

cost sin t

C2

cost

sint

cost sin t

.

t

2.

2x y t te

3t

,

x

y

x 4 y.