Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Линейные дифференциальные уравнения и системы линейных уравнений. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 156 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

2. Линейныеуравнения с постоянными коэффициентами

k5 2k3 k 0 , k k4 2k2 1 0 .

Его корни равны k1 0 , k2,3 i , кратность 2 . Полученным

корням соответствуют линейно независимые решения

y1 1 , y2 sin x , y3 xsin x , y4 cos x , y5 xcos x .

Общее решение однородного уравнения есть

y0 C1 C2 C3 x sin x C4 C5 x cos x .

2) Подберём частное решение неоднородного уравнения по виду функции f x 4x 24sin x 8cos x или f x f1 x f2 x ,

где f1 x 4x , f2 x 24sin x 8cos x .

Согласно принципу суперпозиции найдём частные решения

y1 x и	y2 x	соответственно для уравнений
а)	y 5 2 y y		4x ; б) y 5 2 y y 24sin x 8cos x .
Для случая а) имеем				f x	4x e px A x , где	A x 4x ,
				1	m	m
m 1;	p 0	является	корнем		характеристического	уравнения,

кратность 1, резонансный случай. В этой связи частное решение имеет вид

y1 x x B0 B1x .

Подставляя		y	x B x B x2		,	y	x B	2B x ,	y x 2B ,
		1	0	1		1	0	1	1	1
y x yIV x y 5 x 0				в уравнение в п. а), получаем
1	1		1

B0 2B1x 4x .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x , имеем

	x0 : B	0	;	x1 : 2B 4 , тогда B 2 .
	0			1		1
Частное решение имеет вид y x 2x2 .
				1
Для	случая	б)		имеем		f2 x 24sin x 8cos x
e px P	x cos qx Q x		sin qx ,		P	x 8 ,	Q	x 24 ,
m		n			m		n

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

s max m 0, n 0 0 ; числа p iq i – корни характеристи-

ческого уравнения, кратность которых 2 , резонансный случай. Поэтому частное решение, согласно (2.18), имеет вид

y2 x x2 Acos x Bsin x .

Подставляя

y2 x x2 Acos x Bsin x ,

y2 x 2x Acos x Bsin x x2 Asin x B cos x ,

y2 x 2 Acos x Bsin x 4x Asin x Bcos x x2 Acos x Bsin x ,y2 x 6 Asin x Bcos x 6x Acos x Bsin x x2 Asin x Bcos x ,y2IV x 12 Acos x Bsin x 8x Asin x Bcos x x2 Acos x Bsin x ,y2 5 x 20 Asin x Bcos x 10x Acos x Bsin x x2 Asin x Bcos x

в уравнение в п. б) и выполняя несложные преобразования, получаем

8Asin x 8B cos x 24sin x 8cos x .

Сравнивая коэффициенты при одинаковых функциях в левой и правой частях уравнения, находим

sin x : 8A 24 ,

cos x : 8B 8 , откуда A 3 , B 1 ,

y2 x x2 3cos x sin x .

Частное решение исходного неоднородного уравнения запишется в виде

y y1 x y2 x , y 2x2 x2 3cos x sin x . 3) Общее решение неоднородного уравнения есть

yC1 C2 C3 x sin x C4 C5 x cos x 2x2 x2 3cos x sin x .

Пример 2.12. Решить уравнение

y 2 y 3y e x 20x cos 2x 24sin 2x .

2. Линейныеуравнения с постоянными коэффициентами

Решение. Имеем линейное неоднородное уравнение. 1) Решим однородное уравнение

y 2y 3y 0 .

Соответствующее характеристическое уравнение k2 2k 3 0 имеет корни k1 1, k2 3 ; тогда найденным корням соответствуют частные линейно независимые решения

y1 e x , y2 e3x .

Общее решение однородного уравнения принимает вид y0 C1e x C2e3x .

2) Построим частное решение неоднородного уравнения. Име-

ем f x e x 20xcos2x 24sin 2x epx P			x cosqx Q	x sin qx ,
		m	n
Pm x 20x ,	Qn x 24 ,	s max m 1,n 0 1 ;			числа

p iq 1 2i не являются корнями характеристического уравне-

ния, значит, согласно (2.17), частное решение следует искать в виде

y x e x A0 A1x cos 2x B0 B1x sin 2x .

Подставляя y x ,

y x e x cos 2x A		A		2B	A x 2B x
	0	1		0	1		1
	sin 2x B0 B1	2A0		B1x 2A1x ,
y x	e x cos 2x 3A 2A		4B		4B	3A x 4B x
	0	1		0	1	1	1

sin 2x 3B0 2B1 4A0 4 A1 4A1x 3B1x

висходное уравнение и сокращая на множитель e x 0 , приходим к уравнению

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

cos 2x 3A0 2A1 4B0 4B1 3A1x 4B1xsin 2x 3B0 2B1 4A0 4A1 4A1x 3B1x2cos 2x A0 A1 2B0 A1x 2B1x

2sin 2x B0 B1 2A0 B1x 2A1x

3cos 2x A0 A1x 3sin 2x B0 B1x 20xcos 2x 24sin 2x.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых функциях в левой и правой частях уравнения, получаем систему алгебраических урав-

нений для нахождения A0 ,					A1 ,	B0 , B1 :
cos 2x : 4 A 4A 8B 4B						0,	A A 2B B 0,
0		1		0	1		0	1	0	1
sin 2x : 8A0 4A1 4B0				4B1		24,	2A0 A1 B0 B1			6,
xcos 2x : 4A	8B			20,		или	A 2B		5,
1		1					1	1
xsin 2x : 8A1 4B1 0,							2A1 B1 0.
xsin 2x : 8A1 4B1 0,							2A1 B1 0.
Решая выписанную систему, находим							A0 1 ,	A1 1 ,		B0 1,
B1 2 . Тогда частное решение неоднородного уравнения прини-
мает вид
y x e x 1 x cos 2x 1 2x sin 2x .
3) Общее решение линейного неоднородного уравнения есть
y C e x C			e3x e x 1 x cos 2x 1 2x sin 2x .
1		2
Уравнения вида
a0 xn y n a1xn 1 y n 1						... an 1xy an y f x				(2.19)
или
a		ax b n y n a ax b n 1 y n 1						...
0						1
		... an 1 ax b y an y f x								(2.20)

называются неоднородными уравнениями Эйлера.

2. Линейныеуравнения с постоянными коэффициентами

Если функция f x в указанных уравнениях имеет специаль-

ный вид, то интегрирование каждого из уравнений сводится к преобразованию в линейное неоднородное уравнение с постоянными

коэффициентами при помощи замены x et для уравнения (2.19)

и ax b et для уравнения (2.20). Далее для каждого из полученных уравнений с постоянными коэффициентами находится общее решение соответствующего однородного уравнения и подбирается частное решение линейного неоднородного уравнения по правилу, описанному в п. 1 и п. 2 настоящего подраздела.

Пример 2.13. Решить уравнение

x3 y x2 y 2xy 2 y x3 3x .	(2.21)
Решение. 1) Уравнение Эйлера (2.21) заменой	x et t ln x

преобразуется в линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами относительно функции y t . Имеем

dydx y t e t ,

d 2 y y t y t e 2t , dx2

d3 y

dx3 y

t 3y

t e

t 2y

x e

d k y

Подставляя

k 1,3 , в (2.21), получаем

dxk

e3t y t 3y t 2 y t e 3t e2t y t y t e 2t

2et y t e t 2y t e3t 3et

или

y t 4 y t 5y t 2 y t e3t

3et .

(2.22)

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

2) Решения однородного уравнения, соответствующего (2.22), отыскиваем в виде y ekt . Характеристическое уравнение

k3 4k 2 5k 2 0 или k 1 2 k 2 0

имеет корни k1 k2 1, кратность 2 (резонансный случай),

k3 2 .

Выписанным корням соответствуют линейно независимые частные решения

y1 et , y2 tet , y3 e2t .

Общее решение соответствующего однородного уравнения y0 C1 C2t et C3e2t .

	3) Частное решение неоднородного уравнения (2.22) подберём
по	виду	функции			f t	e3t 3et ;	f t f	t f	2	t , где
							1		2
f	t e3t ,	f	2	t 3et .
1			2
	Имеем	f	t e3t		e pt A	t , A t 1 , m 0 ;		p 3	не являет-
		1			m	m

ся корнем характеристического уравнения. Поэтому частное решение отыскивается в виде

				y	t B e3t .
				1		0
Подставляя	y	t ,	y	t 3B e3t ,		y t	9B e3t ,	y t 27B e3t		в
	1		1		0	1	0	1	0

уравнение

y t 4 y t 5y t 2 y t e3t ,

получаем

4B0e3t e3t .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях, имеем

4B 1,	B	1	и	y	t 1 e3t .
0	0	4		1	4
		4			4

2. Линейныеуравнения с постоянными коэффициентами

Имеем	f	2	t 3et e pt A	t ,	A	t 3 ,	m 0 ;	p 1 является
		2	m		m

корнем характеристического уравнения, кратность 2 . Поэтому частное решение отыскивается в виде

							y	t B t2et .
							2			0
Подставляя		y	t ,				y t		2B tet B t2et ,				y t 2B et
		2					2			0		0	2	0
4B tet B t		2et ,	y t		6B et 6B tet						2B t2et		в уравнение
0	0		2				0			0		0
		y t 4 y t 5y t 2 y t 3et
и выполняя		в	нём			необходимые					преобразования,			получаем
2B et 3et , откуда B						3		и	y	t 3 t2et .
0				0			2		2		2
							2				2
Частное решение уравнения (2.22) принимает вид
		y y		t			y	t	,	y 1 e3t		3 t2et .
			1				2				4	2
											4	2

Общее решение уравнения (2.22) есть

y C1 C2t et C3e2t 14 e3t 32 t2et .

Возвращаясь к независимой переменной x et , запишем общее решение неоднородного уравнения Эйлера (2.21):

yC1 C2 ln x x C3 x2 14 x3 32 x ln x 2 .

2.5.Общее решение неоднородного уравнения

справой частью произвольного вида

Если в уравнении

a0 y n a1 y n 1 ... an 1 y an y f x

(2.1)

функция f x имеет произвольный вид, то для нахождения общего решения неоднородного уравнения (2.1) применяется метод ва-

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

риации произвольных постоянных, описанный в подразделе 1.3. Согласно методу общее решение уравнения (2.1) имеет вид

y C1 x y1 x C2 x y2 x ... Cn x yn x ,

где функции yi x ,

i 1, n

образуют фундаментальную систему

решений

соответствующего

однородного уравнения;

C x ,

, – решения системы алгебраических уравнений

1, n

x y

x C x y

... C x

y x 0,

x y x C x y

x ... C x y x 0,

.........................................................................................

... Cn x ynn 1 x f x .

a0 C1 x y1n 1 x C2 x y2n 1 x

Пример 2.14. Решить уравнение

4 y

y cos2

x .

Решение. Имеем линейное неоднородное уравнение с правой частью произвольного вида.

1) Найдём общее решение соответствующего однородного уравнения

4y y 0 .

Замена y ekx приводит к характеристическому уравнению

4k 2 1 0 ,

которое имеет пару простых комплексных сопряжённых корней

k 1 i . Этим корням соответствуют два линейно независимых
1,2	2
	2
решения
	y	x cos	x	,	y	2	x sin	x	.
	y	x cos		,	y		x sin		.
	1	2					2
		2					2

2. Линейныеуравнения с постоянными коэффициентами

Общее решение однородного уравнения есть y C1 cos 2x C2 sin 2x ,

где C1 , C2 – произвольные постоянные.

2) Общее решение исходного неоднородного уравнения будем искать в виде

									y C							x cos								x		C			2		x sin								x		;															(2.23)
									y C							x cos										C					x sin										;															(2.23)
												1												2															2
																								2															2
C x , C x						– решения системы алгебраических уравнений
1	2
		C x cos												x		C							x			sin			x				0,
		C x cos														C							x			sin							0,
						1						2						2											2
												2																	2
									C1 x															C2 x
									C1 x										x					C2 x												x											1
		4													sin																	cos																			.
		4						2							sin			2								2						cos			2															x	.
								2										2								2									2								cos					2		x

																																																	4
																																																	4
Используя формулы Крамера, находим
		cos	x						sin		x																				0									sin						x						sin		x



																																								2
			2								2
																		2 ,																																				2		,
																		2 ,													1																x									,
		2sin				x			2cos				x											1							1							2cos									x					cos	2 x
						x							x																				2 x					2cos									2						2 x
																											cos																												4
					2							2
					2							2							x															4
																																		4
														cos												0										cos					x

																		2
																		2
							2														x					1														2					.
							2														x					1																			.
												2sin																								cos				2 x
												2sin								2								2 x												2 x
																				2					cos			2 x														4
																									cos					4												4
																														4
				1								sin					x																					sin						x
Тогда C	x			1								sin					2					и C x																sin						2				dx .
Тогда C	x																					и C x																										dx .
1																		x								1																					x
										2cos2								x																			2 cos2										x
										2cos2								4																			2 cos2										4
																		4																													4

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

Поскольку

2cos

cos

1 , то

sin

d cos

C x 2

2ln

cos

C ;

cos

2 cos

2 x

C2 x

, тогда

2cos2

C2 x

dx , C2 x dx 2

2cos2

cos2

C2 x x 2tg

C2 .

Подставляя найденные функции C1 x и C2 x

в (2.23), полу-

чаем общее решение линейного неоднородного уравнения

sin

x 2tg

y cos

2ln

cos

или

y C1 cos 2x C2 sin 2x 2cos 2x ln cos 2x 1 xsin 2x 2sin 2x tg 4x .

2.6. Задачи для самостоятельной работы и ответы к ним

Решить уравнения:

1.y 6 y 12 y 8y e2x .

2.y 2 y 4x2 exp x2 .

3.4 y 8 y 11y 3y 18ex .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 156 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]