Линейные дифференциальные уравнения и системы линейных уравнений. Учебное пособие

3. Линейныесистемы с постоянными коэффициентами

Решение. Будем отыскивать решение системы в виде

x 1ekt . y 2ekt , z 3ekt .

Составляем и решаем характеристическое уравнение

1) Строим собственный вектор, соответствующий простому корню k1 1. Решим систему (3.7), подставляя k 1 :

2 1 2 2 3 0,4 1 0,2 1 2 2 3 0.

2) Построим два линейно независимых частных решения, соот-

71

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

Для нахождения коэффициентов ai , bi , ci , i 1, 2 , подставим (3.11) в исходную систему и получим

Приравнивая коэффициенты при t0 и t1 в левой и правой частях каждого уравнения, приходим к системе

В качестве линейно независимых частных решений, соответствующих характеристическим числам k2 k3 1, можно взять

72

3. Линейныесистемы с постоянными коэффициентами

2 k 3 1 1 1 2 k 1 2 k 1 2 k 0 , k3 6k 2 9k 4 0 .

Подбором находим корень k1 1; тогда характеристическое уравнение принимает вид k 1 k2 5k 4 0 или k 1 2 k 4 0 .

независимых собственных векторов. При k 1 система (3.7) принимает вид

73

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

Размерность матрицы последней системы n 3 , ранг r 1. Число линейно независимых собственных векторов m n r 2 и совпадает с кратностью корня. Так как 1 2 3 , то в качестве

собственных векторов A 1 и A 2 можно взять

Два линейно независимых частных решения, соответствующих корню k 1 кратности 2 , запишутся в виде

74

3.Линейныесистемы с постоянными коэффициентами

3)Общее решение исходной системы, согласно (3.5), запишется

ввиде

Пример 3.3. Найти общее решение системы

x 3x y 2z,y 5y 3z,

z x 3y.

Решение. Составим и решим характеристическое уравнение

корней k2,3 3 i .

Таким образом, все корни характеристического уравнения различные. Построим фундаментальную систему решений.

1) Строим собственный вектор, соответствующий корню k1 2 . Решая систему

находим 1 3 , 2 3 . Тогда собственный вектор A 1 и частное решение X1 , соответствующие простому корню k1 2 , имеют вид

75

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

Выпишем связь между элементами собственного вектора:

2 23 i 3 , 1 3 2 3 i 3 .

Тогда собственный вектор можно задать в виде

Комплексное решение, соответствующее корню k2 3 i , есть

76

3. Линейныесистемы с постоянными коэффициентами

Взяв действительную и мнимую части от комплексного реше-

ния X , получим два линейно независимых действительных решения

3) Общее решение системы – линейная комбинация векторфункций Xi , i 1,3 :

3.2.2. Матричный метод

Линейную однородную систему всегда можно проинтегрировать матричным методом. Это значит, что всегда можно найти сразу всю фундаментальную матрицу системы.

Пусть дана система

где все a ji – постоянные действительные числа. Введём в рассмотрение две матрицы

где X – фундаментальная матрица системы (3.12), A – транспонированная матрица коэффициентов системы (3.12).

77

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

Тогда систему (3.12) можно записать в виде одного равносильного матричного уравнения

находится дифференцированием всех элементов матрицы X . Всякая невырожденная матрица (с определителем, отличным

от нуля), обращающая уравнение (3.13) в тождество, называется

решением этого уравнения или интегральной матрицей.

где E – единичная матрица той же размерности, что и матрица A . Ряд сходится для любой матрицы A .

Интегральной матрицей уравнения (3.13) является матрица ви-

да

Каждый элемент интегральной матрицы (3.15) представляет собой степенной ряд по степеням t , сходящийся при всех t . Все эти ряды можно просуммировать, так что интегральная матрица (3.15) будет состоять из элементарных функций.

Рассмотрим возможные случаи матрицы системы

1) Матрица A каноническая, при этом чисто диагональная

A k1, k2 ,...,kn ,

так что всем характеристическим числам k1,k2 ,...,kn матрицы A соответствуют простые элементарные делители

k k1, k k2 ,...,k kn ,

78

3. Линейныесистемы с постоянными коэффициентами

тогда как среди характеристических чисел k1,k2 ,...,kn могут быть и равные между собой. Пользуясь формулой (3.14), находим

главной диагонали.

Замечание. Матрица A чисто диагональная, если:

а) все собственные значения ki простые, т.е. имеют кратность

i 1;

б) среди собственных значений ki имеются кратные, но каждо-

k ki i , i 1, s .

79

Нежельская Л. А. Линейные дифференциальныеуравнения

Среди характеристических чисел k1,k2 ,...,kn могут быть и равные

между собой.

В этом случае, пользуясь формулой (3.14), находим интегральную матрицу

3)Матрица A произвольного вида.

Вэтом случае её всегда можно привести к каноническому виду при помощи преобразования подобия, т.е. можно построить такую

была канонической.

В матричном уравнении (3.13) выполним подстановку

X ZS , (3.19)

где Z – новая неизвестная интегральная матрица (решение нового дифференциального матричного уравнения). Получаем

ddtΖS ZSA , ddtZ ZSAS 1

или

80