Естественнонаучное образование в вузе. Проблемы и перспективы. Сборник статей IV Международной научно-методической конференции 27-28 ноября 2012 г.

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

U(x, y) = ( u(x, y), v(x, y)), принадлежащую пространству L2

= L (R2, R 2),

для которой найдется последовательность

(R2 ,R2 ), такая, что ||Un

→ 0, ||lUn – F||L

→ 0 при n → ∞.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

892 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1914 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Библиографический список

1.Ершина, А.К. Основы теории ветротурбины Дарье / А.К. Ершина, Ш.А. Ершин, У.К. Жапбасбаев. – Алматы, 2001. – 104 с.

2.Иванов, И.И. Модельные исследования роторных рабочих колес ветроэнергетических станций: Сборник научных трудов гидропроекта / И.И. Иванов, Г.А. Иванова, О.Л. Перфилов. – М., 1988. – С. 106 -113.

3.Экспериментальное исследование поля течения стационарного воздушного потока при работе четырехлопастной турбины «Дарье» / Ершина и др. // Известия МН-АН РК: Серия физико-математическая. – 2000. – № 3(211). – С. 72-78.

4.The Vortex Model of the Windturbine Darrie /A.K. Tulepbergenov, , K.E. Sherniazov // IV Congress of the Turkic World Mathematical Society. –Azerbaijan, Baku, 2011. – 475 p.

5.Numerical modeling of modern wind turbines (carousel

type) / A.M. Satymbekov, A.K. Tulepbergenov, Zh. . Ualiev // VWorld Congress of the engineering and Technologies – WСET– 2012. – Kazakhstan,Almaty, 2012. – P.294-296.

О СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЯ ОДНОЙ ВЫРОЖДАЮЩЕЙСЯ СИСТЕМЫ

В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

А.В. Галамагин

Казахский агротехнический университет им. С. Сейфуллина

В работе рассмотрена вырождающаяся эллиптическая система типа Бельтрами с правой частью из пространства L2(R2, R 2). Для широкого класса коэффициентов получены достаточные условия однозначной разрешимости рассматриваемой системы. Настоящие результаты могут быть использованы в гидро- и газодинамике, теории аналитических функций, а также теории поверхностей и оболочек.

131

В работе рассматривается система:

lU = BCU + G(x, y)U = F(x, y), (x, y) R2,

(1)

c(x, y)

∂

-1

∂

где

, c(x,

y) ≥ 0,

∂x

∂y

c(x, y)

U = (u, v),

(x, y)

G(x, y) =

, F(x,y) = (f(x,y), g(x,y).

(x, y)

a21

a22 (x, y)

Здесь c(x, y)(c(x, y) ≥ 0) – непрерывно дифференцируема,

aij = aij (x, y) (i, j = 1,2) – непрерывны, а f(x, y) и g(x, y) принад-

лежат пространству L2(R2).

Если положить ω = u + iv систему (1) в комплексной форме можно переписать так:

w = ∂zw - q∂zw + Aw + B

= Ф,

(2)

где функции g(x, y) A, B и Ф выглядят следующим образом:

q =	1 −c(х, y) , A = a11 + a22 +i(a21 −a12 ) ,
	1 +c(х, y)	2(1 +c(х, y))
B = a11 −a22 +i(a21 + a12 )		, Φ =	f (x, y) +ig(x, y)	.

	2(1 +c(х, y))		2(1 +c(х, y))

Эта система носит название система типа Бельтрами. Простейшей из рассматриваемого класса систем является система Коши-Римана (когда q ≡ 0, A ≡ 0, B ≡ 0 и Ф ≡ 0). Эта система впервые исследовалась Л.Эйлером в 1755 году в связи с задачами гидродинамики и картографии. В гидродинамике решение этой системы описывает потенциал плоскопараллельного установившегося течения жидкости. Более сложные режимы движения жидкости описываются различными обобщениями системы Коши – Римана, в том числе и нелинейными в случае, когда коэффициенты системы зависят от решения.

132

Если функция c(x, y) ограничена и c(x, y) ≥ σ > 0, то из представления функции q видно, что она оказывается отделенной отединицыисистема(1)будетэллиптической.Когдаc(x,y) ≥ 0

либо c(x, y) ≥ σ > 0, но:

lim c(x, y) = +∞ ,

x2 + y 2 →+∞

условие |q| ≤ q(σ) < 1 нарушается, т.е. функция q в (2) может оказаться не отделенной от единицы. Это показывает, что в последнем случае система (1) вырождается из эллиптической в параболическую.

Под решением системы (1) будем понимать функцию

Теорема. Пусть c(x, y)(c(x, y) ≥ 0) непрерывно дифференци-

руема, а aij(i, j = 1,2) непрерывны и удовлетворяют условиям:

∂c(x, y)

а)

(x, y) −

u2 −(

(x, y)

)uv−

∂x

∂c(x, y)

≥δ 2 (x, y)(u2 + v2), δ(x, y) ≥δ0 > 0,

− µ2 a22 (x, y) +

∂x

0 < μ1, μ2 < 1;

б)(a11(x, y) + a21(x, y))u +(a12 (x, y) + a22 (x, y))v ≤ ≤C1 G(x, y)U .

∑

aij (x, y)

в)

i=1

≤ C2

< ∞ (j =1,2)приy, τ :

y -τ

≤

;

∑

aij (x,τ)

i=1

133

	2
	∑	aij (x, y) −aij		(t, y)			< ∞ (j =1,2, ), при
г)	i=1				≤ c	2
г)	2				≤ c	2
		∑	aij (t, y)
		i=1

x -t ≤ 12 .

Тогда оператор l имеет ограниченный обратный, определенный на всем пространстве L2 и для каждой функции U(x, y) D(l) справедлива оценка:

c(x, y)u

− v

+ c(x, y)v

(x, y)

∫

∑

R 2

i =1

(x, y)

dxdy ≤C

∑

i=1

Условие а) теоремы в случае a12 = a21 есть условие положительной определенности матрицы G(x,y), а условие б) есть условие коэрцитивности элементов матрицы G(x, y). Условия в), г) означают, что функции aij(x,y),(i,j =1,2) являются не сильно колеблющимися функциями по одной переменной и удовлетворяют неравенству типа Титчмарша по другой переменной.

Библиографический список

1.ОвырождающейсясистемеуравненийтипаБельтрами/ К.Н. Оспанов // Изв. МН-АН РК. Сер. физ.-мат. – № 3. – 1997. – С. 41-46.

2.О гладкости одной вырожденной системы в весовом банаховом пространстве / А.В. Галамагин, К.Н. Оспанов // Материалы 5 международной научной конференции «Проб-

лемы дифференциальных уравнений, анализа и алгебры». – Актобе, 2009. С. 189-191.

134

ОСВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ТИПА БЕЛЬТРАМИ В ПРОСРАНСТВЕ Lp = Lp(E)

А.В. Галамагин

Казахский агротехнический университет им. С. Сейфуллина

В работе рассматривается сингулярная эллиптическая система типа Бельтрами с правой частью из пространства Lp(E) (1 < p < ∞ ). Для широкого класса коэффициентов получены достаточные условия компактности минимального оператора, порожденного системой, а также аппроксимативные свойства решений рассматриваемой системы. Настоящие результаты могут быть использованы в гидро- и газодинамике, теории аналитических функций, а также теории поверхностей и оболочек.

Работа посвящена изучению свойств решений сингулярной системы двух вещественных уравнений первого порядка, которая в комплексной записи имеет вид:

Lλw = ∂zw - q(z)∂zw + A(z)w + (B(z) + λ)w = F(z),

λ ≥ 0.

(1)

Под сингулярностью системы здесь понимается задание ее на некомпактной области и то, что коэффициенты могут расти вблизи бесконечно удаленной точки.

Когда q(z) = q(z), коэффициенты A(z) и B(z) непрерывны, отделены от нуля и могут иметь неограниченный рост набесконечности,аF(z)принадлежитпространствуLp = Lp(E), p (1,∞), система (1) с помощью метода Титчмарша впервые была исследована в работе [1]. В работе [2] метод работы [1] модернизирован и применен к системе уравнений типа Бельтрами (1) для комплекснозначной функции q(z). В настоящей работе исследования, начатые в работе [2], продолжены. В ней

135

для широкого класса коэффициентов найдены условия компактности резольвенты оператора, порожденного системой (1), а также изучены аппроксимативные свойства решений, когда правая часть принадлежит пространству Lp, p (2,∞).

Функцию w(z) Lp (E) назовем решением системы (1), если найдется последовательность {wn (z)}∞n=1 C0∞ (E), такая, что wn -w p →0, Lλwn - F p →0 при n → ∞. Здесь p – норма в пространстве Lp.

Оператор Lλ, соответствующий системе (1), считаем определенным на множестве бесконечно дифференцируемых финитных вектор-функций C0∞ (E). Его замыкание по норме пространства Lp = Lp(E), 1 < p < ∞, также обозначим через Lλ.

Предположение1.Пустьq(z)–непрерывнодифференцируема, А(z), B(z) – непрерывные функции, удовлетворяющие условиям:

a) ε Re B(z)−2(

A(z)

(Req(z))x

(Imq(z))x

(Req(z))y

(Im(z))y

)≥δ > 0, 0 <ε <1;

б)

Re q(z)

Im q(z)

≤ q0 <1;

B(z)

, Re B(z)

в) sup max

≤ K, K >1;

z−t

≤1

B(t)

Re B(t)

г)

A(z) − A(t)

B(z) − B(t)

(Re q(z))x − (Re q(t))x

(Re q(z))y − (Re q(t))y

(Imq(z))x − (Imq(t))x

(Imq(z))

−(Imq(t))

≤ Ξ

B(t)

z −t

β , где t E

z −t

≤1, β (0,1],α − β −1 < 0 , (Re q(z)) , (Re q(z)) _

136

частные производные по x и по y функции Re q(z), а (lm q(z))x,

lm q(z))y – частные производные по x и по y функции lm q(z).

Теорема 1. Пусть выполнены все условия предположе-

ния 1. Тогда найдется такое число λ

> 0, что при всех λ ≥ λ

λ ≥ λ0 , решение w(z) системы (1)0

существует для любой0

функции F (z) Lp (1 < p < ∞), и справедлива оценка:

∂

L p +

q( )∂zw

L p +

A( )w

L p +

(λ + B( )

≤C

L p .

L p

(2)

Доказательство теоремы 1 приводится в [2].

Теорема 2. Пусть выполнены все условия теоремы 1 и

lim

B(z)

= ∞.

(3)

→∞

Тогда оператор L-λ1 , обратный к минимальному оператору Lλ, является вполне непрерывным в пространстве Lp.

Теорема 2 влечет дискретность спектра оператора L-λ1

(λ≥λ0)идаетвозможностьрассматриватьзадачуобоценкефункции распределения поперечников по Колмогорову множества:

M = w :

∂

w - q( )∂zw + A( )w + (B( ) + λ)w

≤ T .

Далее считаем, что p (2, + ∞), а λ0 – постоянная из теоремы 1. Под поперечниками по Колмогорову множества M понимается последовательность чисел:

dk = inf sup inf u -v X , k = 0,1,2,...,

{Gk }u M v Gk

где Gk – подпространство пространства Lp	размерности k. Че-
рез Np(γ) обозначим количество поперечников dk, больших
заданного числа γ > 0, т.е. N p(γ) =	∑1 .

{k:dk >γ}

137

Оценки функции Np(γ), которая называется функцией распределения поперечников по Колмогорову множества М, позволяют получить более тонкие, чем компактность свойства резольвенты L-λ1 (если последняя существует).

Теорема 4. Если для функций q(z), А(z) и B(z) выполнены все условия теоремы 3, то справедливы оценки:

C γ -2

µ(z:

B(z)

≤ C -1γ -1 )≤ N

(γ) ≤

≤ C2γ

-2 µ(z:

B(z)

≤ C0γ -1 ),

(4)

где μ – мера Лебега на Е.

Оценки в правой и левой частях в (4) относительно γ имеют один порядок. Это говорит о том, что функция Np(γ) имеет слабую асимптотику. Помимо этого, выражения в правой и левой частях оценки не зависят от р. Это есть следствие используемого метода.

Библиографический список

1.О свойствах решения обобщенной системы типа Бель-

трами в пространствах Lp / А.В. Галамагин, К.Н. Оспанов // Вестник Карагандинского Университета. Серия МАТЕМА-

ТИКА. –№ 3(39). – 2005. – С. 11-17.

2.О коэрцитивной разрешимости системы типа Бельтрами / К.Н. Оспанов, А.В. Галамагин // Вестник. Павлодар: Научный журнал ПГУ им. С.Торайгырова, Физико-математи-

ческая серия. – № 3. – 2009. – С. 72-83.

3.Мынбаев, К.Т. Весовые функциональные пространства и спектр дифференциальных операторов / К.Т. Мынбаев, М. Отелбаев. – М.: Наука, 1988. – 286 с.

138

ЗАДАЧА С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

Н.А. Куликова

ФГБОУ ВПО «Самарский государственный архитектурно-строительный университет»

В статье в явном виде получено решение задачи с интегральными краевыми условиями для дифференциального уравнения с частными производными гиперболического типа в прямоугольной области.

Для уравнения:

u		+	γ	u		= (x + y)−γ ω( y), γ R,γ ≠ 0	(1)
	xy		x + y		x

на множестве H = {(x, y) : 0 < x < a, 0 < y <b} дадим обоснование существования и единственности решения задачи в следующей постановке.

Задача N1. Найти функцию u(x, y) со свойствами: 1) u(x, y) C(H );

2) u(x, y) является решением уравнения (1) на множестве H 3) u(x, y) удовлетворяет условиям:

α∫u(x, y)dx =ϕ( y),	y [0,b],	0 <α ≤ a,	(2)
0
β
∫u(x, y)dy =ψ(x),	x [0,a],	0 < β ≤b,	(3)
0

где φ(y), ψ(x) – заданные достаточно гладкие функции. Используем вид решения задачи Гурса для уравнения (1)

на множестве H с краевыми условиями u(0, y) =f(y), y [0,b],

139

u(x, 0) = g(x), x [0,a] [1]. Если f (y) C[0,b]∩C1 (0, b),

g (x) C(0, a) ∩ L[0, a],		ω( y) [0,b], 0 < γ <1,					то реше-
′
ние имеет вид:							y
u(x, y) = f ( y) + ∫x g′(t) tγ (t					(x + y)1−γ − y1−γ		y
		+ y)−γ dt +			(x + y)1−γ − y1−γ		∫ω(t)dt. (4)
		+ y)−γ dt +					∫ω(t)dt. (4)
0						1−γ	0
Учитывая условие (2), получаем:
ϕ( y) =α f ( y) + α∫∫x			g′(t) tγ			(t + y)−γ dtdx +
	0	0
α	(x + y)1−γ − y1−γ					y
+ ∫	(x + y)1−γ − y1−γ			dx∫ω(s)ds =
+ ∫				dx∫ω(s)ds =
0	1 −γ					0

=α f ( y) + C1 ( y) + C2 ( y).

Меняя порядки интегрирования во втором и третьем слагаемом, находим:

C1 ( y) = α∫g′(t) tγ (t + y)−γ (α −t)dt,

(α + y)

2−γ

α y

1−γ

( y) =

−

ω(s)ds.

(1−γ)(2

−γ)

(1−γ)(2

−γ)

1−γ

∫0

Тогда:

ϕ( y) =α f ( y) + α∫g′(t) tγ (t + y)−γ (α −t)dt +

(α + y)2−γ

∫ω(s)ds −

(1 −γ)(2 −γ) 0

y2−γ

α y1−γ

−

∫ω(s)ds −

∫ω(s)ds.

(1 −γ)(2

−γ)

(1 −γ) 0

140

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1914 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]