Естественнонаучное образование в вузе. Проблемы и перспективы. Сборник статей IV Международной научно-методической конференции 27-28 ноября 2012 г.

В работе найдены условия, обеспечивающие скорость сходимости приближенных решений полупериодической задачи Дирихле для одного класса вырождающихся нелинейных уравнений нечетного порядка, т.е. получены двусторонние оценки поперечников по Колмогорову множества:

M ={u D(L) :Lu 2 + u 2 ≤ T}.

Здесь оператор L соответствует задаче:

А – любое фиксированное число, где функции φk иψk удовлетворяют соответственно условиям i)-ii).

101

По определению, k-поперечником по Колмогорову множе-

где {yk} – множество всех подпространств L2(Ω), размерности которых не превосходят k. Оценки поперечников M могут быть использованы для определения скорости сходимости приближенных решений уравнения Lu = f к точному.

Теорема. Пусть выполнены условия а)-б). Тогда для попе-

где C0 > 0 – не зависит от k.

Библиографический список

1. Об одной абстрактной теореме и ее приложениях к краевым задачам для некласических уравнений / Ю.А. Дубинский // Математический сборник. – 1969. – Т. 79(121). –

Дифференциальные уравнения. – 1967. – Т. 3. – № 11. – С. 1957-1970.

3. О граничных задачах для уравнений содержащих

d 2m+1

в главной части операторы вида dt 2m+1 + A / Н.И. Юрчук //

Дифференциальные уравнения. – 1974. – Т. 10. – № 4. – С. 759-762.

4. Nonlocal estimates for solutions of Chaplygin type equations / М.Б. Муратбеков // 8-ой Международной конгресс ISAAC. – М., 2011.

102

5. On Approximate properties of solutions of a nonlinear mixed-type equation / M.B. Muratbekov, M.M. Muratbekov, K.N. Ospanov // Journal of Mathematical Scienes. – Vol. 150. – № 6. – 2008. – P. 2521-2530.

О ПРИМЕНЕНИИ МЕТОДА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ДРОБНОГО ПОРЯДКА К РЕШЕНИЮ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ПОТЕНЦИАЛА ВЕБЕРА

А.Ш. Надырбекова

Таразский государственный педагогический институт, Казахстан

Данная работа посвящена построению алгоритма решения двумерной обратной задачи потенциала Вебера, которые являются математической моделью многих задач дистанционной оптики, фотометрии и других областей физической оптики. Рассматриваемые в работе обратные задачи относятся к некорректно поставленным задачам. Основываясь на известных результатах теории обратной задачи потенциала Вебера и теории некорректных задач, с использованием метода регуляризации дробного порядка гладкости построены приближенные решения двумерной обратной задачи потенциала Вебера, получены оценки полной погрешности полученных приближенных решений.

Рассмотрим двумерный потенциал Вебера:

где y = (y1, y2) D, x = (x1, x2), D1, D ∩ D1 , а область D любая ограниченная из R2 с гладкой границей.

Исследуется обратная задача об определении плотности μ(y1, y2), если известно значение потенциала Вебера.

103

Потенциал Вебера («обратных квадратов расстояний») был первым в физической науке нового времени экспериментально открытым потенциалом. И. Кеплер, потом Вебер в серии оптических экспериментов установили и опубликовали свой «закон обратных квадратов расстояний» для интенсивности света от точечного источника. Позднее этот потенциал, задолго до введения в математическую физику Лапласом Ньютоновского потенциала, успешно использовал П. Бугер, затем и И. Ламберт в теоретической и практической фотометрии, в частности для объяснения характера свечения лунного диска.

Математический аппарат для построения развитой теории потенциала с ядром – r12 был разработан в 60–70-х го-

дах прошлого века в рамках теории хантовских потенциалов, а обратные задачи впервые были исследованы (1983 г.) В.Р. Кирейтовым. Наибольший интерес и трудности представляет случай, когда область задания значений потенциала Вебера и область локализации искомых источников не пересекаются. Известно, что если потенциальный оператор обратим, тогда обратную задачу потенциала Вебера можно сформулировать и как задачу определения правой части ин- тегро-дифференциального уравнения из класса искомых распределений по заданному следу решения этого уравнения на некотором подмножестве. Однако когда область задания значенийпотенциалаиобластьлокализацииискомыхисточников не пересекаются, интегральный оператор является вполне непрерывным, следовательно рассматриваемая обратная задача относиться к типу некорректных задач. Поэтому центральное место при исследовании обратных задач потенциала Вебера являются теоремы единственности, условно – устойчивости решении и построение приближенного решения. В 1992 году

104

в классе непрерывных функции была доказана теорема единственности, а на множестве корректности получены логарифмическая оценка [1], а вопрос построения приближенного решения был открыто.

В настоящей работе рассматривается вопрос о равномерном приближении точного решения уравнения (1) по методу регуляризации дробного порядка. В качестве приближения к точному решению в методе регуляризации дробного порядка берется μаб, доставляющий минимум сглаживающему функционалу:

Mα[μ, wδ] = ||Aμ – wδ||2 + αΩ[μ],

где стабилизирующий функционал Ω[μ] = ||μ||2 + ||∂1/2μ||2 > 0, α > 0 – параметр регуляризации, ∂1/2 – оператор дифференцирования порядка 1/2. Регуля-

ризация дробного порядка обеспечивает принадлежность приближенных решении множеству корректности M из пространства непрерывных функции C(D).

Применяя метод регуляризации дробного порядка, интегральное уравнение первого рода сводится к регуляризованному уравнению второго рода, которое заменяется системой разностных уравнений.

В работе используются следующие символики:

μ – решение исходного (интегрального) уравнения первого рода (1) с точной правой частью w;

μδ – решение исходного уравнения с неточной правой частью wδ: ||w – wδ|| ≤ δ, δ – малая величина;

μα – решение регуляризованного (интегро-дифференциаль- ного) уравнения второго рода без погрешности (δ = 0);

μaδ – решение того же уравнения с правой частью wδ;

μh – решение разностной задачи – системы линейных алгебраических уравнений.

105

Путем последовательных оценок уклонения между соседними парами решений в определенных метриках составляется полная погрешность решений, полученных с помощью метода регуляризации с названными стабилизаторами, и она имеет вид:

||μ – μaδ|| ≤ ω(δ), причем ω(δ) → 0, когда δ → 0.

Таким образом, доказаны следующие утверждения: Лемма 1. Если при данной правой части w(x)

где μδ – решение уравнения Aμδ = wδ.

Лемма 3. Если μaδ – решение регуляризованного урав-

нения A*Aμaδ + α(μaδ + μaδ) = A*wδ, является приближенным решением исходного уравнения (1), тогда справедлива

устойчивость решения от малой погрешности правой части стремится к нулю при δ → 0.

106

Теорема 2.4. Если точное решение (1) μ(y1, y2) M, тогда при δ → 0 решение регуляризирующего уравнения A*Aμaδ + α(μaδ + μaδ) =A*wδ на множестве корректности стремится к точному решению и справедливо неравенство:

характеризующая устойчивость решения от малой погрешности

Библиографический список

1. Об устойчивости решений обратной задачи потенциала Вебера / А.У. Серикбаев // Известия АН РК. Серия физ.

мат. – № 5. – 1992. – С. 41-44.

КОМПЛЕКСНЫЙ АЛГОРИТМ ПРИНЯТИЯ СЛОЖНЫХ РЕШЕНИЙ

А.Х. Галеев, С.А. Пиявский

ФГБОУ ВПО «Самарский государственный архитектурно-строительный университет»

Необходимостьпринятиярешений–однаизнаиболееслож- ных, но вместе с тем и интересных проблем, сопровождающих человека на протяжении всей его жизни. Действительно, в повседневной жизни проблемы выбора оптимального варианта из числа нескольких возникают с повышенной частотой. Это могут быть как локально значимые бытовые проблемы, так и глобальные вопросы, возникающие на различных

этапах трудовой деятельности (чаще всего в экономических и политических аспектах). Многие повседневные решения

107

принимаются машинально, без долгого и систематического обдумывания, рассмотрения всех альтернатив. Однако даже такие проблемы зачастую требуют взвешенного подхода и долговременного обдумывания проблемы.

Возможности современных информационных технологий позволяют на сегодняшний день существенно упростить задачу выбора для лица, принимающего решение (ЛПР). Основными возможностями информационных систем, осуществляющих поддержку принятия решений, является документирование множества критериев выбора, вариантов решения, характеризующих конкретную задачу, и выдача рекомендаций ЛПР о наиболее предпочтительной «политике» (направленности) решения. В упрощенном варианте такая рекомендация является выбором одного или нескольких наиболее оптимальных вариантов решения. Именно выдача итоговых рекомендаций ЛПР, которые могут существенно упростить выбор, подкрепить итоговое решение (которое, в конечном счете, должно всегда оставаться за человеком) или же, наоборот, заставить его оценить задачу более объективно, пересмотреть свое «первоначальное» решение, и является важнейшей функциональной составляющей систем поддержки принятии решений.

Особой группой задач принятия решений являются слабоструктуризуемые задачи, характеризующиеся такими особенностями,какнедостаточнаястепеньформализациипроблемы, большая доля субъективности лиц, принимающего решения. Большая часть таких задач встречается в таких сферах, как политика, управление. Для решения задач данного направления в сфере поддержки принятия решения возникло самостоятельное направление – вербальный анализ решений.

Одним из наиболее успешных методов направления является метод ЦИКЛ, направленный на отнесение предъявляемому ЛПР варианта решения к одному из заранее

108

определенных классов решения. Отличительной особенностью метода является использование для принятия решения заранее предустановленной в соответствии с предпочтениями ЛПР классификационной функции.

Вто же время практическое применения данного метода на практических задачах принятия решений выявило ряд его недостатков:

• достаточно рутинный процесс опроса ЛПР;

• недостаточная гибкость алгоритма, невозможность заранее отсеять ряд неподходящих вариантов;

• невозможность задания приоритета критериев – все критерии равнозначны;

• невозможность переиспользовать/перестроить классификационную функцию по ходу ее формирования.

Всвязи с этим возникла необходимость создания собственного модифицированного метода на его основе, сочетающего

всебе преимущества количественных и качественных методов принятия решений.

Вновомметодепредлагается2блокаусовершенствований, позволяющих обойти недостатки метода ЦИКЛ: возможность задавать правила классификации и расчет эффективностей альтернатив.

1. Правила классификации – правила будут задаваться и воздействовать непосредственно на потенциальные альтернативы, позволяя ЛПР жестко задавать свои предпочтения по определенным критериям (в случае его уверенности).

Пример правила:

«Относить все альтернативы, у которых значение по критерию «Тип патента» хуже или равно, чем «На полез-

ную модель», к классу «Не поддерживать».

109

ЛПР сможет формировать данные правила в любой удобный для него момент в процессе формирования классификационной функции, т.е. решение о необходимости такой детализации он сможет принять, например, проанализировав недостаточную скорость сходимости метода.

Принципиальным является тот момент, что данные правила не будут являться композитными, т.е. одно правило будет задаваться на один критерий и не более. Для более сложных случаев более подходящим является сам метод ЦИКЛ. Таким образом, данное расширение метода ЦИКЛ не является его замещением, а лишь усовершенствует в более гибкую сторону.

2. Эффективность потенциальных альтернатив – воз-

можность задавать приоритеты критериев и рассчитывать эффективность потенциальных альтернатив перед началом формирования классификационной функции.

Какотмечалосьвыше,ограничениемметодаЦИКЛявляется равнозначность всех критериев, при этом распространение по доминированию происходит на основе метода ПАРЕТО для равнозначных критериев.

Возможность задания приоритетов критериев позволит ЛПР более гибко формировать свои предпочтения, что в конечно счете позволит автоматически классифицировать большее число альтернатив с каждым ответом ЛПР.

С точки зрения пользователя системы данные правила будут задаваться посредством отнесения критериев к группам важности.

Всамомметодемодификациязаключаетсявизменениипроцедуры распространения по доминированию. К определению отношений доминирования по ПАРЕТО добавляются определения доминирования по методу ПРИНН-У, предложенному профессором С.А. Пиявским. Данное нововведение также дает большее преимущество в скорости сходимости метода.

110