Дифференциальные уравнения первого и высших порядков. Учебное пособие

Предисловие

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Л.А. Нежельская

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Учебное пособие

Томск Издательство Томского государственного университета

2022

1. Дифференциальныеуравнения первого порядка

Предисловие

Дисциплина «Дифференциальные уравнения», являющаяся одной из базовых дисциплин в университетской программе подготовки студентов физико-математических направлений, состоит из разделов, посвящённых различным областям этой научной теории.

Настоящее учебное пособие посвящено рассмотрению обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, разрешённых и не разрешённых относительно производной, а также уравнений высших порядков. Пособие опирается на материал лекций по дисциплине «Дифференциальные уравнения», которые читаются автором для бакалавров, обучающихся по направлению «Прикладная математика и информатика» в Институте прикладной математики и компьютерных наук Национального исследовательского Томского государственного университета. Для каждого из рассмотренных в пособии классов уравнений формулируются определения и теоремы существования и единственности решений. Однако доказательства теорем вынесены за рамки данного пособия и приводятся в читаемом курсе лекций. Основной акцент в пособии сделан на решении большого количества примеров и задач, относящихся к дифференциальным уравнениям первого и более высоких порядков. Излагаются методы интегрирования уравнений, а также исследуются свойства получаемых решений – частные, особые, общие.

Поскольку дифференциальное уравнение представляет собой математическую модель, описывающую развитие объекта или реального процесса во времени по тому или иному закону, то вопросу построения таких математических моделей в данном учебном пособии уделено определённое внимание. К необходимости освещения вопроса применения аппарата теории дифференциальных

3

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

уравнений для решения реальных задач естествознания, техники, экономики, а также современных научных задач в телекоммуникации и компьютерных сетях автора побудило чтение лекций для магистрантов и аспирантов по научной специальности «2.3.1 – Системный анализ, управление и обработка информации». Такая подача классического материала через практические и научные задачи, по мнению автора, позволяет ответить на ряд вопросов, возникающих у студентов младших курсов обучения, о связи дисциплины «Дифференциальные уравнения» с другими предметными областями науки и техники, а также пробудить интерес к научным исследованиям.

Учебное пособие состоит из двух разделов: раздел 1 посвящён обыкновенным дифференциальным уравнениям первого порядка, раздел 2 – дифференциальным уравнениям высших порядков. Разобрано 50 примеров и задач, отдельные из которых сопровождаются рисунками. Для каждой из предложенных тем приводятся задачи для самостоятельной работы и ответы к ним. В конце разделов даются вопросы и темы для самоконтроля, позволяющие оценить степень усвоения материала.

Учебное пособие будет полезным как бакалаврам, магистрантам и аспирантам физико-математических направлений высших учебных заведений, так и всем специалистам-исследователям, имеющим интерес к дифференциальным уравнениям.

4

1.Дифференциальныеуравнения первого порядка

1.Дифференциальные уравнения

первого порядка

В первом разделе формулируются основные понятия теории дифференциальных уравнений, приводятся различные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы нахождения решений этих уравнений. Читателю предлагается достаточное количество разобранных примеров и задач, а также даётся задание для самостоятельной работы и для закрепления изученного материала по дифференциальным уравнениям первого порядка.

1.1. Основные определения

Определение 1. Уравнения, в которых неизвестная функция или вектор-функция входит под знаком производной или диффе-

ренциала, называются дифференциальными уравнениями.

Определение 2. Если в дифференциальном уравнении неизвестные функции или вектор-функции являются функциями одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение назы-

вается обыкновенным.

Определение 3. Если неизвестная функция, входящая в дифференциальное уравнение, является функцией двух или большего числа независимых переменных, то дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных.

Определение 4. Порядком дифференциального уравнения называется максимальный порядок входящей в уравнение производной (или дифференциала) неизвестной функции.

Определение 5. Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в дифференциальное уравнение обращает его в тождество.

5

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

Определение 6. Кривая, соответствующая решению, называет-

ся интегральной кривой.

Определение 7. Процесс нахождения решений дифференци-

ального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Определение 8. Задача нахождения решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего условию, заданному в одной точке (начальной), называется начальной задачей, или задачей Коши (Огюстен Луи Коши (1789–1857) – французский математик).

Вместо выражения «решить дифференциальное уравнение» говорят: «интегрировать дифференциальное уравнение». Операцию взятия неопределённого интеграла называют «квадратурой» [1, 2].

Основная задача теории дифференциальных уравнений – нахождение неизвестных функций, определяемых дифференциальными уравнениями (решений), и изучение их свойств.

Поставим и решим задачу, обратную задаче интегрирования дифференциального уравнения.

Чтобы построить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют кривые семейства

x, y,C1,C2 ,...,Cn 0 ,

надо продифференцировать равенство n раз, считая y функцией от x , y y x , а затем из полученных уравнений и заданного соотношения исключить произвольные постоянные C1,C2 ,...,Cn [3].

Пример 1. Составить дифференциальное уравнение семейства кривых

y3 C1 x C2 2 .

Решение. Дифференцируя заданное соотношение два раза, считая y функцией от x , приходим к системе уравнений относитель-

но постоянных C1,C2 :

6

1. Дифференциальныеуравнения первого порядка

3y2 y 2C1 x C2 ,

Разделим первое уравнение системы на второе и получим выражение

подставляя которое в первое уравнение системы, находим

C1 32 2yy 2 y2 y .

Подставляя C1 и x C2 в заданное соотношение, определяю-

щее семейство кривых, после упрощений получим дифференциальное уравнение

y 2 2yy 0.

Пример 2. Составить дифференциальное уравнение семейства кривых

x C1 y2 C2 y C3.

Решение. Дифференцируя соотношение по x , обнаруживаем, что постоянная C3 исключена из полученного уравнения:

1 2C1 yy C2 y .

Выразим C2 из последнего уравнения. Имеем

C2 y1 2C1 y

и снова дифференцируем по x

0 y 2C1 y . y 2

Выразим 2C1 из последнего уравнения. Находим

7

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

2C1 yy 3 .

Наконец, дифференцируя последнее уравнение по x , приходим к искомому дифференциальному уравнению

которое после упрощения принимает вид y y 3y 2 .

1.1.1. Задачи для самостоятельной работы

Составить дифференциальные уравнения семейства кривых:

9.12 C1 y x C12 x C2 3 C3.

10.x C1 2 y C2 2 C32.

11.Составить дифференциальное уравнение окружностей радиуса 1, центры которых лежат на прямой y 2x.

12.Составить дифференциальное уравнение всех парабол с осью, параллельной оси Oy , и проходящих черезначалокоординат.

Ответы

1.y x2 y xy.

2.y 3 4y xy 2y .

8

1. Дифференциальныеуравнения первого порядка

3.y 2 y ex 1 2 .

xx

4.2 x2 ln y dy 4xydx.

5.yy xe2x y2 .

6.2 x2 y 1 x4 y2 dx x3dy 0.

7.y3 y 1.

8.x2 2yy y 2 1 2xyy .

9.y 2 2y y 1 0.

10.y 1 y 2 3y y 2.

11.y 2x 2 y 2 1 2y 1 2 .

12.x2 y 2xy 2 y 0.

1.2.Уравнения первого порядка, разрешённые относительно производной. Изоклины

Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка,

разрешённое относительно производной, имеет вид

где f x, y – непрерывная заданная функция от x, y .

Если f x, y f x , где f x определена и непрерывна на интервале a x b , то имеем простейший пример уравнения (1.1)

решение которого имеет вид

9

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

C .

Таким образом, выражение (1.3) представляет собой общее решение уравнения (1.2).

Задаваясь определённым численным значением С, получаем

частное решение.

Для выяснения смысла произвольной постоянной в формуле (1.3) целесообразно написать неопределённый интеграл в виде определённого с переменным верхним пределом

x

y f x dx C ,

x0

где x0 – любая внутренняя точка интервала a x b . Полагая x x0 , находим y x0 C .

Итак, начальное условие y x0 y 0 определяет единственное решение уравнения (1.2)

x

y y0 f x dx .

x0

Для уравнения (1.1) справедлива следующая теорема существования и единственности решения.

Теорема 1 (о существовании и единственности решения).

Если в уравнении (1.1)

dydx f x, y

функция f x, y непрерывна в прямоугольнике D

x0 a x x0 a , y0 b y y0 b ,

и удовлетворяет в D условию Липшица

10