Дифференциальные уравнения первого и высших порядков. Учебное пособие

1. Дифференциальныеуравнения первого порядка

Необходимо получить систему дифференциальных уравнений для априорных вероятностей состояний процесса t для MAP-

ные ситуации на полуинтервале t,t t , связанные с поведением процесса t :

31

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

i t t0 i t o t P1 i i i P1 i i i t t0 t o t ;

3)в момент времени t значение процесса t j с вероят-

ностью j t t0 , j 1,2 , j i , и за промежуток времени длитель-

ности t закончится состояние S j процесса t с вероятностью

P1 i j ; вероятность рассмотренной ситуации равна

j t t0 j t o t P1 i j j P1 i j j t t0 t o t ;

4)в момент времени t значение процесса t j с вероят-

ностью j t t0 , j 1,2 , j i , и за промежуток времени длитель-

ности t закончится состояние S j процесса t с вероятностью1 e j t j t o t , не наступит событие потока, и процесс

t перейдёт из состояния S j в состояние Si с вероятностью P0 i j ; вероятность ситуации есть

j t t0 j t o t P0 i j j P0 i j j t t0 t o t .

Других возможностей не имеется.

32

1. Дифференциальныеуравнения первого порядка

1 t t0 2 t t0 1.

Интегрирование полученной системы требует знания методов нахождения решений системы линейных дифференциальных уравнений, поэтому здесь не приводится.

33

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

1.4.1. Задачи для самостоятельной работы

1.Найти кривые, у которых отрезок касательной от точки прикосновениядопересеченияс осью Ox равен постоянной величинеа.

2.Найти кривые, у которых отрезок нормали от точки кривой до оси Ox есть постоянная величина a .

3.Найти кривые, у которых тангенс угла между нормалью и положительным направлением оси Ox прямо пропорционален ординате точки касания.

4.Найти кривые, у которых подкасательная вдвое больше абсциссы точки касания.

5.Закон распада радия состоит в том, что скорость распада

пропорциональна количеству R радия. Найти зависимость R от t ; составить дифференциальное уравнение и определить коэффициент пропорциональности из опытных данных, утверждающих, что через 1 600 лет останется половина начального количества радия.

6. Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью 10 км/ч. На полном ходу её мотор был выключен и через t 20 c

скорость лодки уменьшилась до v1 6 км/ ч. Определить скорость

лодки через 2 мин после остановки мотора, считая, что сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки.

7. Истечение жидкости из сосуда. В гидравлике выводится за-

кон, по которому скорость v истечения воды из отверстия, находящегося на глубине h от свободной поверхности, даётся формулой

v 0,6 2gh см / с,

где g 10 м / с2 – ускорение силы тяжести.

Воронка имеет форму конуса радиуса R 6 см и высоты H 10 см, обращённого вершиной вниз. За какое время вытечет

вся вода из воронки через круглое отверстие диаметром 0,5 см, сделанное в вершине конуса?

34

1.Дифференциальныеуравнения первого порядка

8.Парашютист прыгнул с высоты 1,5 км, а раскрыл парашют на высоте 0,5 км. Сколько времени он падал до раскрытия парашюта? Известно, что предельная скорость падения человека в воздухе нормальной плотности составляет 50 м/с. Изменением плотности с высотой пренебречь. Сопротивление воздуха пропорционально

квадрату скорости. Ускорение силы тяжести считать равным

10 м/с2.

1.5Однородные уравнения и уравнения, приводящиеся к однородным

1)Уравнение вида

называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Заметим, что правая часть однородного уравнения является однородной функцией переменных x и y нулевой степени однород-

ности, поэтому однородные уравнения также могут быть записаны в виде

35

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

M x, y dx N x, y dy 0 ,

где M x, y и N x, y – однородные функции переменных x и y одинаковой степени однородности, так как в этом случае

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными, если ввести новую искомую функцию

z xy .

Пример 1. Решить уравнение

x2 2xy y2 dx y2 2xy x2 dy 0 .

Решение. Здесь M x, y x2 2xy y2 , N x, y y2 2xy x2 –

однородные функции степени m 2 . Покажем это. Для любого t 0 имеем

M tx,ty tx 2 2 tx ty ty 2 t2 x2 2xy y2 t2M x, y , N tx,ty ty 2 2 tx ty tx 2 t2 y2 2xy x2 t2 N x, y .

Полагая y zx , dy zdx xdz , получим

x2 2zx2 z2 x2 dx z2 x2 2zx2 x2 zdx xdz 0 .

Собирая члены при dx и dz , находим

x2 z2 1 z 1 dx x3 z2 2z 1 dz 0 .

В последнем уравнении разделяем переменные и интегрируем

36

1. Дифференциальныеуравнения первого порядка

Представив общий интеграл в виде

C x2 y2 x y, C C1 ,

обнаруживаем, что решение исходного уравнения y x , которое

могло быть потеряно при разделении переменных и находится из уравнения z 1 0 , может быть включено в найденное семейство

решений при C 0 .

2) Уравнение вида

зуется в однородное путём переноса начала координат в точкуx1, y1 пересечения прямых

a1x b1 y c1 0 и a2 x b2 y c2 0 .

37

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

В (1.9) выполним замену X x x1 , Y y y1 и, принимая во

или

Пример 2. Решить уравнение

y x 1 y y 2x 3 0 .

38

1. Дифференциальныеуравнения первого порядка

приходим к однородному уравнению

39

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

Если в уравнении (1.9) коэффициенты ai ,bi ,ci ,i 1,2 , таковы,

a1x b1 y c1 0 и a2 x b2 y c2 0

параллельны, то описанный выше метод нельзя применить. Но в этом случае коэффициенты при текущих координатах пропорциональны

и уравнение (1.9) может быть записано в виде

или

dydx F a1x b1 y ,

и, как изложено в параграфе 1.3, замена переменных z a1x b1 y

приводит рассматриваемое уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример 3. Решить уравнение

2 y 6x y y 3x 2 0 .

40